第五章 5.2平面向量基本定理及坐标表示-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测




判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　×　)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　√　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　)
(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　√　)

作业检查



无
第2课时


阶段训练



题型一　平面向量基本定理的应用
例1　(1)在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________.(用e1，e2表示)
(2) 如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，＝2，设∥，若＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为(　　)

A. B.
C. D．2
答案　(1)－e1＋e2　(2)C
解析　(1)如图，＝－
＝＋2＝＋
＝－＋(－)
＝－e2＋(e2－e1)
＝－e1＋e2.

(2)因为＝2，所以＝＋＝＋.又∥，可设＝m，所以＝＋＝＋＋＝(1＋)＋.因为＝＋λ，所以＝，λ＝1＋＝.
思维升华　平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
　在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，
所以＝－，所以λ＋μ＝.
题型二　平面向量的坐标运算
例2　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，则2a－b等于(　　)
A．(4,0) B．(0,4)
C．(4，－8) D．(－4,8)
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)由已知3c＝－a＋2b
＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．
所以c＝.
(2)因为向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，
所以1×4＋2m＝0，即m＝－2，
所以2a－b＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)．
思维升华　向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
　(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.

(2)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A．(2，) B．(2，－)
C．(3,2) D．(1,3)
答案　(1)4　(2)A
解析　(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，

则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即
解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.
(2)设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，
又＝2，∴∴故选A.
题型三　平面向量坐标的应用
命题点1　利用向量共线求向量或点的坐标
例3　已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
答案　(3,3)
解析　方法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，
所以＝＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3)．
方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．
命题点2　利用向量共线求参数
例4　(1)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，1＋sin θ)，若a∥b，则锐角θ＝________.
(2)设＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．
答案　(1)45°　(2)
解析　(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，
所以cos2θ＝，∴cos θ＝或cos θ＝－，
又θ为锐角，∴θ＝45°.
(2)由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，
又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，
即整理得2a＋b＝2，
所以＋＝(2a＋b)(＋)＝(3＋＋)≥(3＋2 )＝(当且仅当b＝a时，等号成立)．
思维升华　平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
命题点3　利用平面向量的坐标求最值
例5　在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝1，AD＝，P为平行四边形内一点，AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为________．
答案　1
解析　以点A为原点建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，D(，)，所以＝(1,0)，＝(，)．设，的夹角为θ(0