第九章 9.8曲线与方程-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测



判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　√　)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　×　)
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　×　)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　×　)
(5)y＝kx与x＝y表示同一直线．(　×　)

作业检查


无
第2课时


阶段训练


题型一　定义法求轨迹方程
例1　已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解　如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；

由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝3<4＝|O1O2|.
∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.
∴点M的轨迹方程为－＝1 (x≤－)．
思维升华　应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．
　已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 (x>3) D.－＝1 (x>4)
答案　C
解析　如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，

所以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10＝|AB|.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为－＝1 (x>3)．
题型二　直接法求轨迹方程
例2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
解　(1)依题意得，c＝，e＝＝，
因此a＝3，b2＝a2－c2＝4，
故椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是y＝k(x－x0)＋y0，
则由
得＋＝1，
即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，
Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，
整理得(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0.
又所引的两条切线相互垂直，
设两切线的斜率分别为k1，k2，
于是有k1k2＝－1，即＝－1，
即x＋y＝13(x0≠±3)．
若两切线中有一条斜率不存在，
则易得或或
或
经检验知均满足x＋y＝13.
因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2＋y2＝13.
思维升华　直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
　在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
解　(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，
整理得22＋－1＝0，
得＝－1(舍去)或＝.所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c，
得方程组的解
不妨设A，B(0，－c)．
设点M的坐标为(x，y)，
则＝，＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，＝(x，x)，由·＝－2，
即·x＋·x＝－2.
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，
得c＝>0.
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
题型三　相关点法求轨迹方程
例3　如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.

(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解　(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，
且切线MA的斜率为－，
所以点A的坐标为(－1，)，
故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，
所以y0＝－×(2－)＋
＝－， ①
y0＝－＝－. ②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A(x1，)，B(x2，)，x1≠x2.
由N为线段AB的中点，知
x＝， ③
y＝. ④
所以切线MA，MB的方程分别为
y＝(x－x1)＋， ⑤
y＝(x－x2)＋. ⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.
因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－. ⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，
AB的中点N为点O，坐标满足x2＝y.
因此AB的中点N的轨迹方程是x2＝y.
思维升华　“相关点法”的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
　设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．
解　设△ABC的重心为G(x，y)，
点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由方程组
消去y并整理得
x2－12ax＋16a2＝0.
∴x1＋x2＝12a，
y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.
∵G(x，y)为△ABC的重心，
∴∴
又点C(x0，y0)在抛物线上，
∴将点C的坐标代入抛物线的方程得
(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，
即(y－)2＝(x－4a)．
又点C与A，B不重合，∴x0≠(6±2)a，
∴△ABC的重心的轨迹方程为
(y－)2＝(x－4a)(x≠(6±)a)．

第3课时


阶段重难点梳理




1．曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的基本步骤

【知识拓展】
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．曲线的交点与方程组的关系：
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
重点题型训练



典例　已知抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，椭圆＋＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.
(1)求抛物线与椭圆的方程；
(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ(λ≠0)，试求Q的轨迹．
思想方法指导　(1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论．
(2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程．
(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题．
规范解答
解　(1)因为抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，
所以(－2)2＝4p，解得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x， [2分]
其焦点为F(1,0)，即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c＝1.
又椭圆的离心率为，所以a＝2，
可得b2＝4－1＝3，故椭圆的方程为
＋＝1. [5分]
(2)设Q(x，y)，其中x∈[－2,2]，
设P(x，y0)，因为P为椭圆上一点，
所以＋＝1，
解得y＝3－x2. [7分]
由＝λ可得＝λ2，
故＝λ2，
得(λ2－)x2＋λ2y2＝3，x∈[－2,2]．[9分]
当λ2＝，即λ＝时，得y2＝12，
点Q的轨迹方程为y＝±2，x∈[－2,2]，
此轨迹是两条平行于x轴的线段；
当λ2<，即0<λ<时，
得到＋＝1，
此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[－2,2]的部分； [12分]
当λ2>，即λ>时，得到＋＝1.
此轨迹表示实轴在x轴上的椭圆满足x∈[－2,2]的部分． [15分]

1．已知点F(，0)，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
答案　D
解析　由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，
点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
2．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一个射线
答案　D
解析　原方程可化为或－1＝0，
即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，
故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．
3．已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是(　　)
A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)
B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)
C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)
答案　C
解析　由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，
设P(x，y)，则＝2，
整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)，故选C.
4．过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是________________．
答案　＋＝1
解析　设MN的中点为P(x，y)，
则点M(x,2y)在椭圆上，∴＋＝1，
即＋＝1(a>b>0).


作业布置



1．设定点M1(0，－3)，M2(0,3)，动点P满足条件|PM1|＋|PM2|＝a＋(其中a是正常数)，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．椭圆或线段 D．不存在
答案　C
解析　∵a是正常数，∴a＋≥2＝6.
当|PM1|＋|PM2|＝6时，点P的轨迹是线段M1M2；
当a＋>6时，点P的轨迹是椭圆，
故选C.
2．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.＋＝1 D．x2＝16y
答案　B
解析　∵M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，∴M的轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.
A项，直线x＋y＝5过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；
B项，x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；
C项，＋＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆＋＝1与M的轨迹有交点，满足题意；
D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．
3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
答案　D
解析　由题意知，M为PQ中点，
设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，
代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
4．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案　B
解析　∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，
∴e＝2或e＝.
mx2＋4y2＝4m可化为＋＝1，
当它表示焦点在x轴上的椭圆时，
有＝，∴m＝3；
当它表示焦点在y轴上的椭圆时，
有＝，∴m＝；
当它表示焦点在x轴上的双曲线时，
可化为－＝1，
有＝2，∴m＝－12.
∴满足条件的圆锥曲线有3个．
5．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为(　　)
A．y＝－2x B．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
答案　B
解析　设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，
∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
6．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线
答案　A
解析　设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，
∵＝λ1＋λ2，∴
又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
7．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
答案　②③
解析　因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，且a>1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，所以③正确．
8．已知△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，则C点的轨迹方程为________________．
答案　＋＝1(x≠±5)
解析　由sin B＋sin A＝sin C可知b＋a＝c＝10，
则|AC|＋|BC|＝10>8＝|AB|，∴满足椭圆定义．
令椭圆方程为＋＝1，
则a′＝5，c′＝4，b′＝3，则轨迹方程为
＋＝1(x≠±5)．
9.如图，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．

答案　＋＝1
解析　由于＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，
则＝－＝(－，－)，
即P点坐标为(－，－)，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．
答案　＋＝1(y≠0)
解析　设抛物线的焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，
则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，
由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，
∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，
长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
11．已知实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－.
(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)若m＝，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？
解　(1)设S(x，y)，则kSA＝，kSB＝.
由题意，得＝－，
即＋y2＝1(x≠±m)．
∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.
(2)m＝，则曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．
由
消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.
令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.
∵t>0，∴t＝3.
此时直线l与曲线C有且只有一个交点．
12．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过左焦点且倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程．
解　(1)因为椭圆E的离心率为，
所以＝.
解得a2＝2b2，故椭圆E的方程可设为
＋＝1，
则椭圆E的左焦点坐标为(－b,0)，
过左焦点且倾斜角为45°的直线方程为l′：y＝x＋b.
设直线l′与椭圆E的交点为A，B，
由消去y，
得3x2＋4bx＝0，解得x1＝0，x2＝－.
因为|AB|＝|x1－x2|
＝＝，
解得b＝1.
故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)①当切线l的斜率存在且不为0时，
设l的方程为y＝kx＋m，联立直线l和椭圆E的方程，
得消去y并整理，
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线l和椭圆E有且只有一个交点，
所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0.
化简并整理，得m2＝2k2＋1.
因为直线MQ与l垂直，
所以直线MQ的方程为y＝－(x－1)．
联立方程组解得
所以x2＋y2＝
＝
＝
＝，
把m2＝2k2＋1代入上式得x2＋y2＝2.(*)
②当切线l的斜率为0时，
此时Q(1,1)或Q(1，－1)，符合(*)式．
③当切线l的斜率不存在时，此时Q(，0)或Q(－，0)符合(*)式．
综上所述，点Q的轨迹方程为x2＋y2＝2.
*13.如图，已知圆E：(x＋)2＋y2＝16，点F(，0)，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q.

(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；
(2)设直线l与(1)中轨迹Γ相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2(其中k>0)，△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1，S2，若k1，k，k2恰好构成等比数列，求的取值范围．
解　(1)连接QF，根据题意，
|QP|＝|QF|，

则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|
＝4>|EF|＝2，
故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，
长轴长为4的椭圆．
设其方程为＋＝1(a>b>0)，
可知a＝2，c＝＝，则b＝1，
∴点Q的轨迹Γ的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程整理得，
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝16(1＋4k2－m2)>0，
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵k1，k，k2构成等比数列，
∴k2＝k1k2＝，
整理得km(x1＋x2)＋m2＝0，
∴＋m2＝0，解得k2＝.
∵k>0，∴k＝.
此时Δ＝16(2－m2)>0，
解得m∈(－，)．
又由A，O，B三点不共线得m≠0，
从而m∈(－，0)∪(0，)．
故S＝|AB|d＝|x1－x2|·
＝·|m|
＝|m|.
又＋y＝＋y＝1，
则S1＋S2＝(x＋y＋x＋y)
＝(x＋x＋2)
＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＋＝为定值．
∴＝×≥，
当且仅当m＝±1时等号成立．
综上，∈[，＋∞)．