第十二章 12.6圆锥曲线问题-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测



1．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A. B．2 C. D.
答案　D
解析　如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，

∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，
∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，
x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝ ＝，选D.
2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由已知得焦点坐标为F(，0)，
因此直线AB的方程为y＝(x－)，
即4x－4y－3＝0.
方法一　联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
方法二　联立方程得x2－x＋＝0，
故xA＋xB＝.
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋
＝12，
同时原点到直线AB的距离为h＝＝，
因此S△OAB＝|AB|·h＝.
3．已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)，
将y＝kx代入椭圆方程可解得x1＝，x2＝，
则|CD|＝|x1－x2|＝.
又点A(a,0)到直线y＝kx的距离d1＝，点B(0，b)到直线y＝kx的距离d2＝，
所以S四边形ACBD＝d1|CD|＋d2|CD|
＝(d1＋d2)·|CD|＝··
＝ab·.
令t＝，
则t2＝＝1＋2ab·
＝1＋2ab·≤1＋2ab·＝2，
当且仅当＝a2k，即k＝时，tmax＝，
所以S四边形ACBD的最大值为ab.
由条件，有ab＝2c2，
即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0，
解得e2＝或e2＝－1(舍去)，所以e＝，故选D.
4．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
答案　2
解析　设B为双曲线的右焦点，如图所示．

∵四边形OABC为正方形且边长为2，
∴c＝|OB|＝2，
又∠AOB＝，
∴＝tan＝1，即a＝b.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.


作业检查


无





第2课时


阶段训练


题型一　求圆锥曲线的标准方程
例1　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由e＝，得＝.①
又△AF1B的周长为4，
由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，
代入①，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，
故椭圆C的方程为＋＝1.
思维升华　求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．
　已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
答案　D
解析　双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)，
则a2＋b2＝4，①
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由题意得＝，②
联立①②解得b＝，a＝1，
所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.
题型二　圆锥曲线的几何性质
例2　(1)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．
答案　(1)D　(2)
解析　(1)由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.
(2)由(p>0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p>0)，

∴F，
|AB|＝|AF|＝p，
可得A(p，p)．
易知△AEB∽△FEC，∴＝＝，
故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p×
＝p2＝3，
∴p2＝6，∵p>0，∴p＝.
思维升华　圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．
　已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为____________．
答案　－1
解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.
当x＝时，代入抛物线方程得y＝±p，
又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.
所以|PE|＝ ＝p，
|PF|＝p，|EF|＝p.
故2a＝ p＋p,2c＝p，e＝＝－1.

题型三　最值、范围问题
例3　若直线l：y＝－过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围．
解　(1)由题意，可得c＝2，＝，
所以a2＝3b2，且a2＋b2＝c2＝4，
解得a＝，b＝1.故双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为
y＝kx＋1(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(1－3k2)x2－6kx－6＝0，
所以x1＋x2＝，
Δ＝36k2＋24(1－3k2)＝12(2－3k2)>0⇒0