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2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（word版，含解析）
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这是一份2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（word版，含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）计算：（﹣6）÷3的结果是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣18 D．18
2．（4分）已知一组数据13，13，14，15，17，x的中位数是14.5，对于数据x的判断，正确的是（ ）
A．x＝16 B．x＜13 C．x＞15 D．x≥15
3．（4分）若⊙O的半径是5，直线l上的一点P到圆心O的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
4．（4分）不等式x﹣1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（ ）
A．0.845×1010元 B．84.5×108元
C．8.45×109元 D．8.45×1010元
6．（4分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）若关于x的一元二次方程（x﹣b）2＝a的两根为1和3，则a，b的值分别为（ ）
A．1，2 B．4，1 C．1，﹣2 D．4，﹣1
8．（4分）如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A（1，2），B两点，给出下列结论：
①k1＜k2；
②当x＜﹣1时，y1＜y2；
③当y1＞y2时，x＞1；
④当x＜0时，y2随x的增大而减小．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（4分）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2
10．（4分）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：am﹣3an＝ ．
12．（5分）如图，AD∥CB，∠CBE＝75°，∠AEB＝30°，则∠EAD等于 ．
13．（5分）口袋内装有大小，质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球a个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 ．（用含a的代数式表示）
14．（5分）如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，∠DCE＝58°，则∠P的度数为 ．
15．（5分）已知一次函数y＝（3+a）x+b的图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），若满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则a的取值范围是 ．
16．（5分）如图，在菱形ABCD中，分别过B，D作对边的垂线，垂足分别为E，F，G，H，BF与DG相交于点P，BE与DH相交于点Q，围成面积为的小菱形PBQD，若cosA＝，则菱形ABCD的面积为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（6分）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（3﹣x），其中x＝2．
18．（8分）某企业生产甲，乙两种品牌的电子产品，甲品牌有A，B，C三种不同的型号，乙品牌有D，E两种不同的型号，某公司要从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的电子产品．
（1）写出所有的选购方案（利用画树状图或列表法表示）．
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么选中B，E型号电子产品的概率是多少？
19．（8分）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．
（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．
（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形）
20．（10分）疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．
A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系；
B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域）
（2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．
21．（10分）某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制成一个乙盒需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒共3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需要材料的总长度l（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料？
22．（12分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+（2a﹣4）x﹣2（a≠0）的图象经过（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2．
（1）求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（2）当a＝1时，若|x1﹣x2|＝1，则|y1﹣y2|＝1，求x1+x2的值．
（3）当1＜x1＜x2＜2时，y1＜y2，求a的取值范围．
24．（14分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在线段OD上．连接AE并延长交边DC于点G，点F在线段OC上，且OF＝OE，连接DF，与线段AG交于点H，连接EF，FG．
（1）求证：△AOE≌△DOF．
（2）如果FG∥BD．求证：四边形DEFG是菱形．
（3）当E运动到DO的某处时，发现FG⊥DC，试在备用图中画出符合条件的图形，并计算此时的的值．
2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）计算：（﹣6）÷3的结果是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣18 D．18
【分析】直接根据有理数的除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣6÷3＝﹣2．
故选：A．
2．（4分）已知一组数据13，13，14，15，17，x的中位数是14.5，对于数据x的判断，正确的是（ ）
A．x＝16 B．x＜13 C．x＞15 D．x≥15
【分析】根据中位数的意义和计算方法可以确定x的取值范围．
【解答】解：这组数据13，13，14，15，17，x的中位数是14.5，即＝14.5，
所以从小到大排列处在第3、第4位的数为14和15，
因此x＝15或x＞15，即x≥15，
故选：D．
3．（4分）若⊙O的半径是5，直线l上的一点P到圆心O的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【分析】由已知⊙O的半径是5，直线L上一点P到圆心O的距离OP＝6＞5，所以点P在⊙O外．可通过画图得到直线L与⊙O的位置关系有三种情况．
【解答】解：根据题意画图如下：
直线L与⊙O的位置关系有三种情况：
相离、相切或相交．
故选：D．
4．（4分）不等式x﹣1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求出不等式解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x﹣1＞0，
解得：x＞1．
表示在数轴上为：
故选：A．
5．（4分）宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（ ）
A．0.845×1010元 B．84.5×108元
C．8.45×109元 D．8.45×1010元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于84.5亿有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝9．
【解答】解：84.5亿元用科学记数法表示为8.45×109元．
故选：C．
6．（4分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．
【解答】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．
故选：B．
7．（4分）若关于x的一元二次方程（x﹣b）2＝a的两根为1和3，则a，b的值分别为（ ）
A．1，2 B．4，1 C．1，﹣2 D．4，﹣1
【分析】由关于x的一元二次方程（x﹣b）2＝a的两根为1和3，利用根与系数的关系，即可求得a与b的值．
【解答】解：方程（x﹣b）2＝a整理得，x2﹣2bx+b2﹣a＝0，
∵关于x的一元二次方程（x﹣b）2＝a的两根为1和3，
∴x1+x2＝2b＝1+3＝4，x1•x2＝b2﹣a＝1×3＝3，
∴b＝2，a＝1．
故选：A．
8．（4分）如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A（1，2），B两点，给出下列结论：
①k1＜k2；
②当x＜﹣1时，y1＜y2；
③当y1＞y2时，x＞1；
④当x＜0时，y2随x的增大而减小．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①根据待定系数法，可得k1，k2的值，根据有理数的大小比较，可得答案；②根据观察图象，可得答案；③根据图象间的关系，可得答案；④根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：①正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A（1，2），
∴k1＝2，k2＝2，k1＝k2，故①错误；
②由反比例函数的对称性可知，B点坐标为（﹣1，﹣2），
x＜﹣1时，一次函数图象在反比例图象下方，故②正确；
③y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞1，故③错误；
④k2＝2＞0，当x＜0时，y2随x的增大而减小，故④正确；
故选：C．
9．（4分）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2
【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的性质进行计算，判断即可．
【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴＝，A选项结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴＝，B选项结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误，符合题意；
故选：D．
10．（4分）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．
【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，
∴S2＝S1﹣S3，
∴S3＝2S1﹣2S2，
∴平行四边形面积＝2S1+2S2+S3＝2S1+2S2+2S1﹣2S2＝4S1．
故选：A．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：am﹣3an＝ a（m﹣3n） ．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式即可．
【解答】解：am﹣3an＝a（m﹣3n）．
故答案为：a（m﹣3n）．
12．（5分）如图，AD∥CB，∠CBE＝75°，∠AEB＝30°，则∠EAD等于 45° ．
【分析】由平行线的性质求出∠EFD，根据三角形外角定理即可求出∠EAD．
【解答】解：∵AD∥CB，∠CBE＝75°，
∴∠EFD＝∠CBE＝75°，
∵∠EFD是△AEF的外角，
∴∠EFD＝∠AEB+∠EAD，
∵∠AEB＝30°，
∴∠EAD＝∠EFD﹣∠AEB＝75°﹣30°＝45°，
故答案为：45°．
13．（5分）口袋内装有大小，质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球a个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 ．（用含a的代数式表示）
【分析】直接根据概率公式求解．
【解答】解：∵红色球3个，白色球a个，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是白色球的概率是；
故答案为：．
14．（5分）如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，∠DCE＝58°，则∠P的度数为 61° ．
【分析】根据垂直的定义得出∠CDO＝90°，∠CEO＝90°，求出∠AOB的度数，根据圆周角定理得出∠P＝∠AOB，再求出答案即可．
【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝90°，∠CEO＝90°，
∵∠DCE＝58°，
∴∠AOB＝360°﹣∠DCE﹣∠CDO﹣∠CEO＝360°﹣58°﹣90°﹣90°＝122°，
∴∠P＝∠AOB＝61°，
故答案为：61°．
15．（5分）已知一次函数y＝（3+a）x+b的图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），若满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则a的取值范围是 a＜﹣3 ．
【分析】由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0可得y随x的增大（减小）而减小（增大），利用一次函数图象的性质解答即可．
【解答】解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
∵（x1﹣x2）＞0，（y1﹣y2）＜0，或（x1﹣x2）＜0，（y1﹣y2）＞0．
∴x1＞x2，y1＜y2，或x1＜x2，y1＞y2．
即y随x的增大而减小或y随x的减小而增大．
∴3+a＜0．
∴a＜﹣3．
故答案为：a＜﹣3．
16．（5分）如图，在菱形ABCD中，分别过B，D作对边的垂线，垂足分别为E，F，G，H，BF与DG相交于点P，BE与DH相交于点Q，围成面积为的小菱形PBQD，若cosA＝，则菱形ABCD的面积为 4 ．
【分析】设PF＝3x，DP＝5x，在直角三角形DPF中，由勾股定理可求DF，由菱形面积公式可求x2＝，由三角函数可求AB＝10x，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：∵BF⊥AD，DG⊥AB，
∴∠AFP＝∠AGP＝90°，
∴∠A+∠FPG＝180°，
又∵∠DPF+∠FPG＝180°，
∴∠A＝∠DPF，
∴cosA＝＝cos∠DPF＝，
∴设PF＝3x，DP＝5x，
∴DF＝＝4x，
∵四边形DPBQ是菱形，
∴BP＝DP＝5x，
∴BF＝8x，
∴5x×4x＝，
∴x2＝，
∵cosA＝＝，BF＝8x，
∴AB＝10x，AF＝6x，
∴菱形ABCD的面积＝10x×8x＝80x2＝4，
故答案为4．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（6分）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（3﹣x），其中x＝2．
【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式将原式展开，再合并同类项即可化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣1+3x﹣x2
＝3x﹣1，
当x＝2时，原式＝3×2﹣1＝5．
18．（8分）某企业生产甲，乙两种品牌的电子产品，甲品牌有A，B，C三种不同的型号，乙品牌有D，E两种不同的型号，某公司要从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的电子产品．
（1）写出所有的选购方案（利用画树状图或列表法表示）．
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么选中B，E型号电子产品的概率是多少？
【分析】（1）画树状图，即可得出答案；
（2）共有6种等可能的选购方案；选中B，E型号电子产品的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如图：
共有6种选购方案；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的选购方案；选中B，E型号电子产品的结果有1种，
∴选中B，E型号电子产品的概率为．
19．（8分）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．
（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．
（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形）
【分析】（1）根据轴对称定义，在最上一行中间一列涂上阴影即可；
（2）根据中心对称定义，在最下一行、最右一列涂上阴影即可；
（3）在最上一行、中间一列，中间一行、最右一列涂上阴影即可．
【解答】解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示；
（3）如图3所示．
20．（10分）疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．
A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系；
B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域）
（2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）把x＝40代入（1）的结论以及公司方案，分别求出每家公司所需的费用，再进行比较即可．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k、b为常数，k≠0），
由一次函数的图象可知，其经过点（0，0.8）、（10，20.3），
代入得，
解得，
∴这个一次函数的解析式为y＝1.95x+0.8．
（2）如果在A公司购买，所需的费用为：y＝1.95×40+0.8＝78.8万元；
如果在B公司购买，所需的费用为：2×30+1.9×（40﹣30）＝79万元；
∵78.8＜79，
∴在A公司购买费用较少．
21．（10分）某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制成一个乙盒需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒共3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需要材料的总长度l（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料？
【分析】（1）设制作每个乙盒用x米材料，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，根据“同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个”，列出方程，即可解答；
（2）根据所需要材料的总长度l＝甲盒材料的总长度+乙盒材料的总长度，列出函数关系式；再根据“甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍”求出n的取值范围，根据一次函数的性质，即可解答．
【解答】解：（1）设制作每个乙盒用x米材料，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，
，
解得：x＝0.5，
经检验x＝0.5是原方程的解，
∴（1+20%）x＝0.6（米），
答：制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料．
（2）根据题意得：l＝0.6n+0.5（3000﹣n）＝0.1n+1500，
∵甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，
∴n≥2（3000﹣n）
解得：n≥2000，
∴2000≤n＜3000，
∵k＝0.1＞0，
∴l随n增大而增大，
∴当n＝2000时，l最小1700米．
22．（12分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD＝CD时，②如图3中，当AD＝AC时，③如图4中，当AC＝CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）设BD＝x，利用△BCD∽△BAC，得＝，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
②当AD＝AC时，如图3中，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．
③当AC＝CD时，如图4中，∠ADC＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB＝96°或114°．
（3）由已知AC＝AD＝2，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝，设BD＝x，
∴（）2＝x（x+2），
∵x＞0，
∴x＝﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝＝，
∴CD＝×2＝﹣．
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+（2a﹣4）x﹣2（a≠0）的图象经过（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2．
（1）求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（2）当a＝1时，若|x1﹣x2|＝1，则|y1﹣y2|＝1，求x1+x2的值．
（3）当1＜x1＜x2＜2时，y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）证明抛物线与x轴一定有两个交点，只需判断△＞0即可；
（2）当a＝1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣2，x1﹣x2＜0，|x1﹣x2|＝1，得出x1＝x2﹣1，再求出y1﹣y2＝﹣2x2+3，|y1﹣y2|＝1求出x2即可；
（3）由1＜x1＜x2＜2时，y1＜y2，分a＞0和a＜0两种情况讨论即可．
【解答】证明：（1）二次函数y＝ax2+（2a﹣4）x﹣2与x轴交点数即为方程ax2+（2a﹣4）x﹣2＝0的解的个数，
∵△＝（2a﹣4）2﹣4a×（﹣2）＝4a2﹣8a+16＝4（a﹣1）2+12≥12，
∴△＞0，
∴抛物线与x轴一定有两个交点；
解：（2）当a＝1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣2，
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
∵|x1﹣x2|＝1，
∴x1﹣x2＝﹣1，即x1＝x2﹣1，
∴＝﹣4x2+1，
，
∴y1﹣y2＝﹣2x2+3，
∵|y1﹣y2|＝1，
即|﹣2x2+3|＝1，
∴﹣2x2+3＝1或﹣1，
∴x2＝1或x2＝2，
∴x1＝x2﹣1＝0或1，
∴x1+x2 ＝1或3；
（3）由1＜x1＜x2＜2时，y1＜y2，得：
当a＞0时，有对称轴x＝﹣≤1，
∴a≥1，
当a＜0时，有对称轴x＝﹣≥2，
∴a≥，
∵a＜0，
∴无解，
综上所述，a的取值范围为a≥1．
24．（14分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在线段OD上．连接AE并延长交边DC于点G，点F在线段OC上，且OF＝OE，连接DF，与线段AG交于点H，连接EF，FG．
（1）求证：△AOE≌△DOF．
（2）如果FG∥BD．求证：四边形DEFG是菱形．
（3）当E运动到DO的某处时，发现FG⊥DC，试在备用图中画出符合条件的图形，并计算此时的的值．
【分析】（1）由正方形性质可得OA＝OD，∠AOE＝∠DOF＝90°，根据SAS即可得证；
（2）由∠EFO＝∠DCO证明EF∥CD，从而可得四边形DEFG是平行四边形，再证明对角线DF⊥EG，即可得证；
（3）设CG＝FG＝m，EO＝FO＝n，用m、n的代数式表示AB，由∠DAG＝∠EGF，tan∠DAG＝tan∠EGF列出方程，可得m＝n，从而可求得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OD，∠AOE＝∠DOF＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DOC＝90°，∠DCO＝45°，
∵OE＝OF，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠EFO＝∠DCO＝45°，
∴EF∥CD，
∵FG∥BD，
∴四边形DEFG是平行四边形，
由（1）知△AOE≌△DOF，
∴∠EDH＝∠EAO，
∴180°﹣∠EDH﹣∠DEH＝180°﹣∠EAO﹣∠AEO，即∠DHE＝∠AOE＝90°，
∴DF⊥EG，
∴四边形DEFG是菱形；
（3）FG⊥DC时，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DOC＝90°，∠DCO＝45°，
∵FG⊥DC，
∴△FGC是等腰直角三角形，
设CG＝FG＝m，则CF＝＝m，
∵OE＝OF，
∴△EOF是等腰直角三角形，
设EO＝FO＝n，则EF＝＝n，
∴OC＝CF+FO＝m+n，
∵∠DOC＝90°，∠DCO＝45°，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD＝＝2m+n，
∴AD＝AB＝2m+n，DG＝CD﹣CG＝（2m+n）﹣m＝m+n，
∵四边形ABCD是正方形，FG⊥DC，
∴AD∥FG，
∴∠DAG＝∠EGF，
∴tan∠DAG＝tan∠EGF，即＝，
∴＝，
解得m＝n（舍去）或m＝n，
∴AB＝2m+n＝（2+）n，
∴＝＝．
2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）计算：（﹣6）÷3的结果是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣18 D．18
2．（4分）已知一组数据13，13，14，15，17，x的中位数是14.5，对于数据x的判断，正确的是（ ）
A．x＝16 B．x＜13 C．x＞15 D．x≥15
3．（4分）若⊙O的半径是5，直线l上的一点P到圆心O的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
4．（4分）不等式x﹣1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（ ）
A．0.845×1010元 B．84.5×108元
C．8.45×109元 D．8.45×1010元
6．（4分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）若关于x的一元二次方程（x﹣b）2＝a的两根为1和3，则a，b的值分别为（ ）
A．1，2 B．4，1 C．1，﹣2 D．4，﹣1
8．（4分）如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A（1，2），B两点，给出下列结论：
①k1＜k2；
②当x＜﹣1时，y1＜y2；
③当y1＞y2时，x＞1；
④当x＜0时，y2随x的增大而减小．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（4分）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2
10．（4分）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：am﹣3an＝ ．
12．（5分）如图，AD∥CB，∠CBE＝75°，∠AEB＝30°，则∠EAD等于 ．
13．（5分）口袋内装有大小，质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球a个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 ．（用含a的代数式表示）
14．（5分）如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，∠DCE＝58°，则∠P的度数为 ．
15．（5分）已知一次函数y＝（3+a）x+b的图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），若满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则a的取值范围是 ．
16．（5分）如图，在菱形ABCD中，分别过B，D作对边的垂线，垂足分别为E，F，G，H，BF与DG相交于点P，BE与DH相交于点Q，围成面积为的小菱形PBQD，若cosA＝，则菱形ABCD的面积为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（6分）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（3﹣x），其中x＝2．
18．（8分）某企业生产甲，乙两种品牌的电子产品，甲品牌有A，B，C三种不同的型号，乙品牌有D，E两种不同的型号，某公司要从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的电子产品．
（1）写出所有的选购方案（利用画树状图或列表法表示）．
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么选中B，E型号电子产品的概率是多少？
19．（8分）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．
（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．
（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形）
20．（10分）疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．
A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系；
B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域）
（2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．
21．（10分）某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制成一个乙盒需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒共3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需要材料的总长度l（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料？
22．（12分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+（2a﹣4）x﹣2（a≠0）的图象经过（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2．
（1）求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（2）当a＝1时，若|x1﹣x2|＝1，则|y1﹣y2|＝1，求x1+x2的值．
（3）当1＜x1＜x2＜2时，y1＜y2，求a的取值范围．
24．（14分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在线段OD上．连接AE并延长交边DC于点G，点F在线段OC上，且OF＝OE，连接DF，与线段AG交于点H，连接EF，FG．
（1）求证：△AOE≌△DOF．
（2）如果FG∥BD．求证：四边形DEFG是菱形．
（3）当E运动到DO的某处时，发现FG⊥DC，试在备用图中画出符合条件的图形，并计算此时的的值．
2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）计算：（﹣6）÷3的结果是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣18 D．18
【分析】直接根据有理数的除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣6÷3＝﹣2．
故选：A．
2．（4分）已知一组数据13，13，14，15，17，x的中位数是14.5，对于数据x的判断，正确的是（ ）
A．x＝16 B．x＜13 C．x＞15 D．x≥15
【分析】根据中位数的意义和计算方法可以确定x的取值范围．
【解答】解：这组数据13，13，14，15，17，x的中位数是14.5，即＝14.5，
所以从小到大排列处在第3、第4位的数为14和15，
因此x＝15或x＞15，即x≥15，
故选：D．
3．（4分）若⊙O的半径是5，直线l上的一点P到圆心O的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【分析】由已知⊙O的半径是5，直线L上一点P到圆心O的距离OP＝6＞5，所以点P在⊙O外．可通过画图得到直线L与⊙O的位置关系有三种情况．
【解答】解：根据题意画图如下：
直线L与⊙O的位置关系有三种情况：
相离、相切或相交．
故选：D．
4．（4分）不等式x﹣1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求出不等式解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x﹣1＞0，
解得：x＞1．
表示在数轴上为：
故选：A．
5．（4分）宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（ ）
A．0.845×1010元 B．84.5×108元
C．8.45×109元 D．8.45×1010元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于84.5亿有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝9．
【解答】解：84.5亿元用科学记数法表示为8.45×109元．
故选：C．
6．（4分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．
【解答】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．
故选：B．
7．（4分）若关于x的一元二次方程（x﹣b）2＝a的两根为1和3，则a，b的值分别为（ ）
A．1，2 B．4，1 C．1，﹣2 D．4，﹣1
【分析】由关于x的一元二次方程（x﹣b）2＝a的两根为1和3，利用根与系数的关系，即可求得a与b的值．
【解答】解：方程（x﹣b）2＝a整理得，x2﹣2bx+b2﹣a＝0，
∵关于x的一元二次方程（x﹣b）2＝a的两根为1和3，
∴x1+x2＝2b＝1+3＝4，x1•x2＝b2﹣a＝1×3＝3，
∴b＝2，a＝1．
故选：A．
8．（4分）如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A（1，2），B两点，给出下列结论：
①k1＜k2；
②当x＜﹣1时，y1＜y2；
③当y1＞y2时，x＞1；
④当x＜0时，y2随x的增大而减小．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①根据待定系数法，可得k1，k2的值，根据有理数的大小比较，可得答案；②根据观察图象，可得答案；③根据图象间的关系，可得答案；④根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：①正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A（1，2），
∴k1＝2，k2＝2，k1＝k2，故①错误；
②由反比例函数的对称性可知，B点坐标为（﹣1，﹣2），
x＜﹣1时，一次函数图象在反比例图象下方，故②正确；
③y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞1，故③错误；
④k2＝2＞0，当x＜0时，y2随x的增大而减小，故④正确；
故选：C．
9．（4分）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2
【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的性质进行计算，判断即可．
【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴＝，A选项结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴＝，B选项结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误，符合题意；
故选：D．
10．（4分）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．
【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，
∴S2＝S1﹣S3，
∴S3＝2S1﹣2S2，
∴平行四边形面积＝2S1+2S2+S3＝2S1+2S2+2S1﹣2S2＝4S1．
故选：A．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：am﹣3an＝ a（m﹣3n） ．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式即可．
【解答】解：am﹣3an＝a（m﹣3n）．
故答案为：a（m﹣3n）．
12．（5分）如图，AD∥CB，∠CBE＝75°，∠AEB＝30°，则∠EAD等于 45° ．
【分析】由平行线的性质求出∠EFD，根据三角形外角定理即可求出∠EAD．
【解答】解：∵AD∥CB，∠CBE＝75°，
∴∠EFD＝∠CBE＝75°，
∵∠EFD是△AEF的外角，
∴∠EFD＝∠AEB+∠EAD，
∵∠AEB＝30°，
∴∠EAD＝∠EFD﹣∠AEB＝75°﹣30°＝45°，
故答案为：45°．
13．（5分）口袋内装有大小，质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球a个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 ．（用含a的代数式表示）
【分析】直接根据概率公式求解．
【解答】解：∵红色球3个，白色球a个，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是白色球的概率是；
故答案为：．
14．（5分）如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，∠DCE＝58°，则∠P的度数为 61° ．
【分析】根据垂直的定义得出∠CDO＝90°，∠CEO＝90°，求出∠AOB的度数，根据圆周角定理得出∠P＝∠AOB，再求出答案即可．
【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝90°，∠CEO＝90°，
∵∠DCE＝58°，
∴∠AOB＝360°﹣∠DCE﹣∠CDO﹣∠CEO＝360°﹣58°﹣90°﹣90°＝122°，
∴∠P＝∠AOB＝61°，
故答案为：61°．
15．（5分）已知一次函数y＝（3+a）x+b的图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），若满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则a的取值范围是 a＜﹣3 ．
【分析】由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0可得y随x的增大（减小）而减小（增大），利用一次函数图象的性质解答即可．
【解答】解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
∵（x1﹣x2）＞0，（y1﹣y2）＜0，或（x1﹣x2）＜0，（y1﹣y2）＞0．
∴x1＞x2，y1＜y2，或x1＜x2，y1＞y2．
即y随x的增大而减小或y随x的减小而增大．
∴3+a＜0．
∴a＜﹣3．
故答案为：a＜﹣3．
16．（5分）如图，在菱形ABCD中，分别过B，D作对边的垂线，垂足分别为E，F，G，H，BF与DG相交于点P，BE与DH相交于点Q，围成面积为的小菱形PBQD，若cosA＝，则菱形ABCD的面积为 4 ．
【分析】设PF＝3x，DP＝5x，在直角三角形DPF中，由勾股定理可求DF，由菱形面积公式可求x2＝，由三角函数可求AB＝10x，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：∵BF⊥AD，DG⊥AB，
∴∠AFP＝∠AGP＝90°，
∴∠A+∠FPG＝180°，
又∵∠DPF+∠FPG＝180°，
∴∠A＝∠DPF，
∴cosA＝＝cos∠DPF＝，
∴设PF＝3x，DP＝5x，
∴DF＝＝4x，
∵四边形DPBQ是菱形，
∴BP＝DP＝5x，
∴BF＝8x，
∴5x×4x＝，
∴x2＝，
∵cosA＝＝，BF＝8x，
∴AB＝10x，AF＝6x，
∴菱形ABCD的面积＝10x×8x＝80x2＝4，
故答案为4．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（6分）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（3﹣x），其中x＝2．
【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式将原式展开，再合并同类项即可化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣1+3x﹣x2
＝3x﹣1，
当x＝2时，原式＝3×2﹣1＝5．
18．（8分）某企业生产甲，乙两种品牌的电子产品，甲品牌有A，B，C三种不同的型号，乙品牌有D，E两种不同的型号，某公司要从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的电子产品．
（1）写出所有的选购方案（利用画树状图或列表法表示）．
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么选中B，E型号电子产品的概率是多少？
【分析】（1）画树状图，即可得出答案；
（2）共有6种等可能的选购方案；选中B，E型号电子产品的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如图：
共有6种选购方案；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的选购方案；选中B，E型号电子产品的结果有1种，
∴选中B，E型号电子产品的概率为．
19．（8分）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．
（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．
（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形）
【分析】（1）根据轴对称定义，在最上一行中间一列涂上阴影即可；
（2）根据中心对称定义，在最下一行、最右一列涂上阴影即可；
（3）在最上一行、中间一列，中间一行、最右一列涂上阴影即可．
【解答】解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示；
（3）如图3所示．
20．（10分）疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．
A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系；
B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域）
（2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）把x＝40代入（1）的结论以及公司方案，分别求出每家公司所需的费用，再进行比较即可．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k、b为常数，k≠0），
由一次函数的图象可知，其经过点（0，0.8）、（10，20.3），
代入得，
解得，
∴这个一次函数的解析式为y＝1.95x+0.8．
（2）如果在A公司购买，所需的费用为：y＝1.95×40+0.8＝78.8万元；
如果在B公司购买，所需的费用为：2×30+1.9×（40﹣30）＝79万元；
∵78.8＜79，
∴在A公司购买费用较少．
21．（10分）某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制成一个乙盒需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒共3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需要材料的总长度l（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料？
【分析】（1）设制作每个乙盒用x米材料，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，根据“同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个”，列出方程，即可解答；
（2）根据所需要材料的总长度l＝甲盒材料的总长度+乙盒材料的总长度，列出函数关系式；再根据“甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍”求出n的取值范围，根据一次函数的性质，即可解答．
【解答】解：（1）设制作每个乙盒用x米材料，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，
，
解得：x＝0.5，
经检验x＝0.5是原方程的解，
∴（1+20%）x＝0.6（米），
答：制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料．
（2）根据题意得：l＝0.6n+0.5（3000﹣n）＝0.1n+1500，
∵甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，
∴n≥2（3000﹣n）
解得：n≥2000，
∴2000≤n＜3000，
∵k＝0.1＞0，
∴l随n增大而增大，
∴当n＝2000时，l最小1700米．
22．（12分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD＝CD时，②如图3中，当AD＝AC时，③如图4中，当AC＝CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）设BD＝x，利用△BCD∽△BAC，得＝，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
②当AD＝AC时，如图3中，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．
③当AC＝CD时，如图4中，∠ADC＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB＝96°或114°．
（3）由已知AC＝AD＝2，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝，设BD＝x，
∴（）2＝x（x+2），
∵x＞0，
∴x＝﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝＝，
∴CD＝×2＝﹣．
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+（2a﹣4）x﹣2（a≠0）的图象经过（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2．
（1）求证：抛物线与x轴一定有两个交点．
（2）当a＝1时，若|x1﹣x2|＝1，则|y1﹣y2|＝1，求x1+x2的值．
（3）当1＜x1＜x2＜2时，y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）证明抛物线与x轴一定有两个交点，只需判断△＞0即可；
（2）当a＝1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣2，x1﹣x2＜0，|x1﹣x2|＝1，得出x1＝x2﹣1，再求出y1﹣y2＝﹣2x2+3，|y1﹣y2|＝1求出x2即可；
（3）由1＜x1＜x2＜2时，y1＜y2，分a＞0和a＜0两种情况讨论即可．
【解答】证明：（1）二次函数y＝ax2+（2a﹣4）x﹣2与x轴交点数即为方程ax2+（2a﹣4）x﹣2＝0的解的个数，
∵△＝（2a﹣4）2﹣4a×（﹣2）＝4a2﹣8a+16＝4（a﹣1）2+12≥12，
∴△＞0，
∴抛物线与x轴一定有两个交点；
解：（2）当a＝1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣2，
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
∵|x1﹣x2|＝1，
∴x1﹣x2＝﹣1，即x1＝x2﹣1，
∴＝﹣4x2+1，
，
∴y1﹣y2＝﹣2x2+3，
∵|y1﹣y2|＝1，
即|﹣2x2+3|＝1，
∴﹣2x2+3＝1或﹣1，
∴x2＝1或x2＝2，
∴x1＝x2﹣1＝0或1，
∴x1+x2 ＝1或3；
（3）由1＜x1＜x2＜2时，y1＜y2，得：
当a＞0时，有对称轴x＝﹣≤1，
∴a≥1，
当a＜0时，有对称轴x＝﹣≥2，
∴a≥，
∵a＜0，
∴无解，
综上所述，a的取值范围为a≥1．
24．（14分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在线段OD上．连接AE并延长交边DC于点G，点F在线段OC上，且OF＝OE，连接DF，与线段AG交于点H，连接EF，FG．
（1）求证：△AOE≌△DOF．
（2）如果FG∥BD．求证：四边形DEFG是菱形．
（3）当E运动到DO的某处时，发现FG⊥DC，试在备用图中画出符合条件的图形，并计算此时的的值．
【分析】（1）由正方形性质可得OA＝OD，∠AOE＝∠DOF＝90°，根据SAS即可得证；
（2）由∠EFO＝∠DCO证明EF∥CD，从而可得四边形DEFG是平行四边形，再证明对角线DF⊥EG，即可得证；
（3）设CG＝FG＝m，EO＝FO＝n，用m、n的代数式表示AB，由∠DAG＝∠EGF，tan∠DAG＝tan∠EGF列出方程，可得m＝n，从而可求得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OD，∠AOE＝∠DOF＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DOC＝90°，∠DCO＝45°，
∵OE＝OF，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠EFO＝∠DCO＝45°，
∴EF∥CD，
∵FG∥BD，
∴四边形DEFG是平行四边形，
由（1）知△AOE≌△DOF，
∴∠EDH＝∠EAO，
∴180°﹣∠EDH﹣∠DEH＝180°﹣∠EAO﹣∠AEO，即∠DHE＝∠AOE＝90°，
∴DF⊥EG，
∴四边形DEFG是菱形；
（3）FG⊥DC时，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DOC＝90°，∠DCO＝45°，
∵FG⊥DC，
∴△FGC是等腰直角三角形，
设CG＝FG＝m，则CF＝＝m，
∵OE＝OF，
∴△EOF是等腰直角三角形，
设EO＝FO＝n，则EF＝＝n，
∴OC＝CF+FO＝m+n，
∵∠DOC＝90°，∠DCO＝45°，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD＝＝2m+n，
∴AD＝AB＝2m+n，DG＝CD﹣CG＝（2m+n）﹣m＝m+n，
∵四边形ABCD是正方形，FG⊥DC，
∴AD∥FG，
∴∠DAG＝∠EGF，
∴tan∠DAG＝tan∠EGF，即＝，
∴＝，
解得m＝n（舍去）或m＝n，
∴AB＝2m+n＝（2+）n，
∴＝＝．
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