专项03 平行性质综合七年级数学下册培优专项（人教版）

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2020-2021学年度初中数学期末考试卷

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

一、解答题

1．如图，直线和直线相交于点，连接，点分别在、、上，连接、，是上一点，已知

（1）求证：；

（2）若平分，，求的度数．（用表示）

【答案】（1）见解析（2）90°＋α

【分析】

（1）根据平行线的判定和性质解答即可；

（2）根据平行线的性质解答即可．

【详解】

解：（1）∵∠3＋∠DFE＝180°，∠1＋∠3＝180°

∴∠DFE＝∠1，

∴AB∥EF，

∴∠CEF＝∠EAD；

（2）∵AB∥EF，

∴∠2＋∠BDE＝180°

又∵∠2＝α

∴∠BDE＝180°−α

又∵DH平分∠BDE

∴∠1＝∠BDE＝（180°−α）

∴∠3＝180°− （180°−α）＝90°＋α．

【点睛】

本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定等知识点，注意：①内错角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．

2．如图，已知：∠DGA=∠FHC，∠A=∠F．求证：DF∥AC．（注：证明时要求写出每一步的依据）

【答案】见解析．

【分析】

先根据∠DGA=∠EGC证出AE∥BF，再根据平行证明出∠F=∠FBC即可求证出结论．

【详解】

证明：∵∠DGA=∠EGC(对顶角相等)

又∵∠DGA=∠FHC（已知）

∴∠EGC=∠FHC（等量代换）

∴AE∥BF (同位角相等，两直线平行）

∴∠A=∠FBC (两直线平行，同位角相等)

又∵∠A=∠F（已知）

∴∠F=∠FBC (等量代换)

∴DF∥AC (内错角相等,两直线平行)．

【点睛】

此题考查平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．

3．已知：如图，DE∥BC，BE∥FG．求证：∠1＝∠2．

【答案】证明见解析．

【分析】

由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，由，利用“两直线平行，同位角相等”可得出，进而可证出．

【详解】

证明：，

．

，

，

．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，牢记平行线的各性质定理是解题的关键．

4．如图，已知，，．

（1）请你判断与的数量关系，并说明理由；

（2）若，平分，试求的度数．

【答案】（1）∠1=∠ABD，证明见解析；（2）∠ACF=55°．

【分析】

（1）先根据在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行得出BC∥DE，再根据平行线的性质结合可得∠2=∠CBD，从而可得CF∥DB得出∠1=∠ABD；

（2）利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出∠2的度数，再根据∠ACB为直角，即可得出∠ACF．

【详解】

解：（1）∠1=∠ABD，理由：
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴BC∥DE，
∴∠3+∠CBD=180°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=∠CBD，
∴CF∥DB，
∴∠1=∠ABD．
（2）∵∠1=70°，CF∥DB，
∴∠ABD=70°，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴∠2=∠DBC=35°，
又∵BC⊥AG，
∴∠ACF=90°-∠2=90°-35°=55°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

5．如图，平分，点，分别在边，上，且，延长，交于点，求证：．

【答案】证明见解析．

【分析】

先根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定与性质可得，从而可得，然后根据对顶角相等可得，最后根据等量代换即可得证．

【详解】

平分，

，

，

，

，

，

又，

，

由对顶角相等得：，

．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义、对顶角相等、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．

6．已知：直线分别与直线，交于点，．平分，平分，并且．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为．

【答案】（1）见解析；（2），，，

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定可以解答；
（2）由已知及（1）的结论可知∠CFN=45°，然后结合图形根据角度的加减运算可以得到解答．

【详解】

（1）证明：∵，∴．

∵平分，平分，∴，．

∴．

∴．

（2）由（1）知ABCD，

∴∠AEF+∠CFE=180°，

∵∠AEF=2∠CFN=∠CFE，

∴∠AEF=∠CFE=90°，

∴∠CFN=∠EFN=∠FEM=∠BEM=45°，∠BEG=∠CFH=∠DFE=90°,

∴∠AEM=∠GEM=∠HFN=∠DFN=90°+45°=135°，

∴度数为135°的角有：、   、  、   ．

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质及角平分线的综合运用，熟练掌握平行线的判定和性质定理及角平分线的意义是解题关键．

7．如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．

（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；

（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；

（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．

【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析

【分析】

（1）过点E作直线a与AB，CD互相平行，运用平行线的性质证明即可；

（2）方法同（1），过E作直线b与AB，CD互相平行，运用平行线的性质证明即可；

（3）可先分别过点E，F，G，作直线c，d，e与AB，CD互相平行，同样运用平行线的性质证明即可．

【详解】

（1），理由如下：

如图所示，过点E作直线a，使得，

则，，（两直线平行，内错角相等），

∴，

即：；

（2），理由如下：

如图所示，过点E作直线b，使得，

则，，（两直线平行，同旁内角互补），

∴，

∵，

∴，

即：；

（3），理由如下：

如图所示，过点E，F，G作直线c，d，e，使得，

则，，，，（两直线平行，内错角相等），

∵，，

∴，

∴，

即：．

【点睛】

本题考查平行线性质的运用，准确掌握平行线的性质并灵活运用是解题关键．

8．三角形ABC中，D是AB上一点，交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接BE，若，，求的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若，BE平分，求的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）100°；（3）12°．

【分析】

（1）根据平行线的判定及其性质即可求证结论；

（2）过E作可得∥EK，再根据平行线的性质即可求解；

（3）根据题意设，则，根据∠AED＋∠DEB＋BEC＝180°，可得关于x的方程，解方程即可求解．

【详解】

（1）证明：∵DE∥BC，

∴，

又∵∠BCF＋∠ADE＝180°，

∴，

∴，

（2）解：过E作，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

又∵，

∴，

答：的度数是100°，

（3）解：∵BE平分， ，

∴，

∴，

∴设，则，

∵DE∥BC，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

答：的度数是12°．

【点睛】

本题考查平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定及其性质的有关知识．

9．问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥，， ，求度数．

经过讨论形成的思路是：如图2，过P作∥，通过平行线性质，可求得度数．

（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出度数；

（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时， ，．请你判断 、、 之间有何数量关系？并说明理由；

（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与 的平分线相交于点Q，求的度数．

【答案】（1）110°；（2）∠CPD＝＋β，见解析；（3）360°

【分析】

（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．

（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（3）由（1）可得，

再进行代入求解即可得出结论．

【详解】

解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，  

∴PE∥AB∥CD．

∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°

∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，

∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，

∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝110°．

（2）∠CPD＝＋β，

理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E．

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠DPE＝，∠CPE＝β，

∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝＋β．

（3）由（1）可得，

又QE平分，QF平分

∴

∴

【点睛】

本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．