2021年北京市九年级数学中考全真模拟卷（三）（word版 含答案）

这是一份2021年北京市九年级数学中考全真模拟卷（三）（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了当　 　时，分式有意义等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列垃圾分类的图标（不含文字与字母部分）中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）2020年新冠肺炎席卷全球．据经济日报3月8日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情，中国向世卫组织捐款2000万美元．其中的2000万用科学记数法表示为（ ）
A．20×106B．2×107C．2×108D．0.2×108
3．（2分）如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）
A．每两次必有1次反面朝上
B．可能有50次反面朝上
C．必有50次反面朝上
D．不可能有100次反面朝上
5．（2分）若将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据（ ）
A．平均数不变B．中位数不变C．众数不变D．方差不变
6．（2分）如图，几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）已知y是x的函数，如表是x与y的几组对应值：
对于y与x的函数关系有以下4个描述：
①可能是正比例函数关系；
②可能是一次函数关系；
③可能是反比例函数关系；
④可能是二次函数关系．
所有正确的描述是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
8．（2分）在新型冠状病毒防控战“疫”中，花溪榕筑花园小区利用如图①的建立了一个身份识别系统，图②是某个业主的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d算式a×23+b×22+c×21+d×20的运算结果为该业主所居住房子的栋数号．例如，图②第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，通过计算得0×23+1×22+0×21+1×20＝5，即可知该业主为5栋住户，小敏家住在11栋，则表示他家的识别图案是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）当 时，分式有意义．
10．（2分）点A的海拔高度是﹣100米，表示点A比海平面低100米，点B比点A高30米，那么点B的海拔是 ．
11．（2分）如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，BE＝CF，AF＝DE，则添加条件 ，可以判断△ABF≌△DCE．
12．（2分）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是 ．
13．（2分）方程组的解是 ．
14．（2分）若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为 ．
15．（2分）某校即将举行30周年校庆，拟定了A，B，C，D四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图．若该校有学生3000人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B的人数为 ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2020＝ ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2020﹣）0．
18．（5分）解不等式组．
19．（5分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，D是△ABC内一点，∠ADC＝∠BAC．过点B作BE∥CD交AD的延长线于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠CAD＝∠ABE；
（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于2，求a的取值范围．
22．（5分）已知某函数图象如图所示，请回答下列问题：
（1）自变量x的取值范围是 ；
（2）函数值y的取值范围是 ；
（3）当x为 时，函数值最大；当x为 时，函数值最小；
（4）当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ．
23．（6分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市举行．为了调查学生对冬奥知识的了解情况，某校随机抽取部分学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图表：
所抽取学生测试成绩在80≤m＜90这一组的具体成绩是：
80 82 83 83 85 85 86 86 86 88 89
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的学生共有 人，a＝ ；b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次调查中，所抽取学生的中位数落在 组；
（4）该校共有学生1200人，若成绩在85分以上（含85分）的为优秀，假如全部学生参加此次测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数．
24．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：▱ABCD是矩形；
（2）若AD＝4，cs∠ABE＝，求AC的长．
25．（6分）如图，AB为圆O的直径，射线OC交圆O于点P，连接AP、BP，∠POB＝α．
（1）请你从以下三个选项中选择适当个数的选项作为条件，求csA的值．
①AO＝2.5；②BP＝3；③tanα＝．
（说明：选择的条件个数越少，得分越高）
（2）用直尺和圆规在AB的延长线上找一点M，使PM与圆O相切．（保留作图痕迹）
26．（6分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．点P从点C出发沿CA以每秒2个单位的速度向点A运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；在点P出发的同时，点Q从点A出发沿AB以每秒2个单位的速度向终点B运动．当点Q到达终点时，点P也停止运动．以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与点C在PQ的同侧．设P、Q两点的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段BQ的长．
（2）当四边形APMQ为轴对称图形时，求t的值．
（3）当∠AQM为锐角时，求t的取值范围．
（4）当点M与△ABC一个顶点的连线垂直平分PQ时，直接写出t的值．
28．（7分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE•EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．解：2000万＝20000000＝2×107．
故选：B．
3．解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴＝＝，
故选：A．
4．解：抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，可能有50次反面朝上，
故选：B．
5．解：将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加3，方差不变，
故选：D．
6．解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左．
故选：A．
7．解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①②错误；
三个点的横坐标和纵坐标的积都为6，故都在反比例函数y＝图象上，故③正确；
设函数解析式为y＝ax2+bx+c，
把三个点的坐标代入得，
解得，
y＝﹣x2+x+1，
所以是二次函数，故④正确，
故选：C．
8．解：A．第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，通过计算得1×23+0×22+0×21+1×20＝9，即可知该业主为9栋住户，此选项不符合题意；
B．第一行数字从左到右依次为1，0，1，1，通过计算得1×23+0×22+1×21+1×20＝11，即可知该业主为11栋住户，此选项符合题意；
C．第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，通过计算得0×23+1×22+0×21+1×20＝5，即可知该业主为5栋住户，此选项不符合题意；
D．第一行数字从左到右依次为1，1，0，1，通过计算得1×23+1×22+0×21+1×20＝13，即可知该业主为13栋住户，此选项符合题意；
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．解：由题意得x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴当x≠2时，分式有意义．
故答案为x≠2．
10．解：点B的海拔高度为：﹣100+30＝﹣70（米）．
故答案为：﹣70．
11．解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
又∵AF＝DE，
∴若添加∠AFB＝∠DEC，可以利用“SAS”证明△ABF≌△DCE，
若添加AB＝DC，可以利用“SSS”证明△ABF≌△DCE，
所以，添加的条件为∠AFB＝∠DEC或AB＝DC．
故答案为：∠AFB＝∠DEC或AB＝DC．
12．解：∵正五边形ABCDE，
∴∠EAB＝＝108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB＝60°，
∴∠EAF＝108°﹣60°＝48°，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝（180°﹣48°）＝66°，
故答案为：66°．
13．解：
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：2+y＝5，
解得：y＝3，
即原方程组的解为：，
故答案为：．
14．解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∵a+3≠0，即a≠﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
15．解：根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人，占样本的22%，
∴样本容量为：44÷22%＝200，
∴赞成方案B的人数占比为：，
∴该校学生赞成方案B的人数为：3000×60%＝1800（人），
故答案为：1800人．
16．解：当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，
A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2＝﹣＝﹣，
B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2═﹣，
A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3＝﹣＝，
B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3＝﹣，
A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4＝﹣＝3，
B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，
…
由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴a2020＝a1＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．解：原式＝6×+7﹣2﹣8+1，
＝3+7﹣2﹣8+1，
＝．
18．解：，
解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x＞，
所以不等式组的解集是x≥4．
19．解：原式＝•
＝
＝
＝，
当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a＝﹣2时，原式＝﹣．
20．（1）解：图形如图所示．
（2）证明：∵CD∥BE，
∴∠CDE＝∠AEB，
∵∠ADC＝∠BAC，
∴∠ABC+∠ACB＝∠DAC+∠ACD＝∠CDE＝∠AEB，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∠BAE+∠DAC+2∠ABC＝180°，
∴∠BAE+∠ABE+2∠ABC＝180°，
∴∠CAD＝∠ABE．
（3）解：结论：CD＝AE．
理由：在AE的延长线上取一点T，使得CD＝CT，
∵CD＝CT，
∴∠T＝∠CDT，
∵CD∥BE，
∴∠AEB＝∠T，
∵AB＝AC，∠ABE＝∠CAT，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，
∴CD＝AE．
21．（1）证明：∵△＝（﹣a）2﹣4×（a﹣1）＝（a﹣2）2≥0，
∴无论a为何值，方程总有两个实数根；
（2）设方程的两个根分别是x1，x2，
解方程得x＝，
∴x1＝a﹣1，x2＝1．
由题意可知a﹣1＞2，即a＞3．
∴a的取值范围为a＞3．
22．解：观察函数图象得：
（1）自变量x的取值范围是﹣4≤x≤3；
（2）函数y的取值范围是﹣2≤y≤4；
（3）当x＝1时，函数值最大；当x为﹣2时，函数值最小；
（4）当y随x的增大而增大时，x的取值范围是﹣2≤x≤1．
故答案为：（1）﹣4≤x≤3；（2）﹣2≤y≤4；（3）1，﹣2；（4）﹣2≤x≤1．
23．解：（1）这次被调查的学生共有3÷0.06＝50（人），
b＝16÷50＝0.32，
a＝50×（1﹣0.06﹣0.24﹣0.32﹣0.16）＝11，
故答案为：50，11，0.32；
（2）由（1）知，a＝11，B组的频数为：50×0.24＝12，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）由频数分布表可知，本次调查中，所抽取学生的中位数落在C组；
（4）1200×＝360（人），
即该校学生成绩为优秀有360人．
24．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形；
（2）∵▱ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠CAD＝∠ABE，
在Rt△ACD中，AD＝4，cs∠CAD＝cs∠ABE＝，
∴AC＝10．
25．解：（1）选择条件③．
如图，过点P作PH⊥AB于H．
∵tan∠POH＝＝，
∴可以假设PH＝24k，OH＝7k，则OP＝25k，
∴OA＝OP＝25k，AH＝OA+OH＝32k，
∴AP＝＝＝40k，
∴csA＝＝＝．
（2）如图，点M即为所求作．
26．解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得
，
解得
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AC解析式为y＝mx+n，则
，
解得，
∴直线AC解析式为y＝x+1；
（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴N（0，3），
∵点P的横坐标为t；
∴P（t，﹣t2+2t+3），
过点P作PH⊥y轴于H，连接PN，设直线AC交y轴于G，则G（0，1），∠PHN＝90°
∴OA＝OG＝1，PH＝t，HN＝OH﹣ON＝﹣t2+2t，
∴∠AGO＝∠CGN＝45°
∵S△ACP＝S△ACN
∴PN∥AC
∴∠PNH＝∠CGN＝45°
∴PH＝HN
∴t＝﹣t2+2t，解得：t1＝0（舍去），t2＝1，
∴P（1，4）；
②如图2，过P作PS⊥x轴于S，过C作CK⊥PS于K，则∠CKP＝∠PSA＝90°
∵P（t，﹣t2+2t+3），A（﹣1，0），C（2，3），
∴CK＝2﹣t，PK＝﹣t2+2t，PS＝﹣t2+2t+3，AS＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵△ACP是以AC为斜边的直角三角形
∴∠APS+∠CPK＝∠APC＝90°
∵∠PCK+∠CPK＝90°
∴∠APS＝∠PCK
∴△APS∽△PCK
∴＝，即＝
解得：t＝
∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，
∴﹣1＜t＜2，但＞2
∴t＝
∴P（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4）
∴B（1，2），BD＝2，
以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形．
设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，
∵EF∥BD
∴EF＝BD
∴＝2，解得：m1＝0，m2＝1（舍去），m3＝，m4＝；
∴点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）．
27．解：（1）由题意，得AQ＝2t，
∵AB＝10，
∴BQ＝AB﹣AQ＝10﹣2t（0＜t≤5）．
（2）当四边形APMQ为轴对称图形时，PQ的垂直平分线过A点，
∴Rt△PMQ为轴对称图形，
∴PA＝AQ，
∵AP＝AC﹣CP，AC＝6，CP＝2t，
∴AP＝6﹣2t，即6﹣2t＝2t，
∴t＝．
（3）当∠AQM为直角时，∠AQM＝90°，
∵△PQM为等腰直角三角形，
∴∠PQM＝45°，
∴∠AQP＝∠AQM﹣∠PQM＝90°﹣45°＝45°，
如图，作PD⊥AQ交AQ于点D，
∴PD＝DQ，
∴APsin∠A＝AQ﹣APcs∠A，即（6﹣2t）×+（6﹣2t）×＝2t，
∴t＝，
当t＜时，∠AQM＞90°，
当t＞时，∠AQM＜90°，
∴．
（4）分三种情况，使得PQ的中垂线分别经过A、B、C．
①过A点，与（2）情况相同，PA＝AQ，
6﹣2t＝2t，
t＝；
②过B点，此时PB＝QB，
PB＝，QB＝10﹣2t，
∴，
∴t＝；
③过C点，此时CP＝CQ，CQ＝5，CP＝2t，即2t＝5，
∴t＝；
④当3＜t≤5时，CP的表示方法为12﹣2t，故CQ＝12﹣2t，t＝．
综上，t的值为或或或．
28．解：（1）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴＝，∠ACB＝∠B，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵CD∥AB，
∴∠BCD＝∠B，
∴∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BC•BE＝BE（BE+CE）＝BE2+BE•CE，
∴AB2﹣BE2＝BE•EC；
（3）由（2）知：AB2＝BC•BE，
∵BC•BE＝64，
∴AB＝8，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，∠BAD＝∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝8．x
…
﹣3
3
6
…
y
…
﹣2
2
1
…
组别
成绩分组（单位：分）
频数
频率
A
50≤x＜60
3
0.06
B
60≤x＜70
0.24
C
70≤x＜80
16
b
D
80≤x＜90
a
E
90≤x＜100
8
0.16