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2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（五）（word版 含答案）
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这是一份2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（五）（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（五）
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠C＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．x5•x＝x6
C．（xy2）3＝xy6 D．x2+x2＝2x4
3．下列各数，最小的数是（ ）
A．﹣2020 B．0 C． D．﹣1
4．若x＞﹣1，y＜1，则（ ）
A．x﹣y＜﹣2 B．x﹣y＞﹣2 C．x+y＜0 D．x+y＞0
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，AB＝2．若点M在边BC上（不与点B或点C重合），则线段AM的长可能等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知一次函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点（1，1），该函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．若a＝+，其中a，b，c是实数，则（ ）
A．b+c＝a B．b+c＝ C．b+c＝ D．b+c＝abc
8．设函数y＝ax（x+2m），其中a，m是实数，且a≠0，下列正确的是（ ）
A．若a＜1，则函数y的最大值是﹣am2
B．若a＞1，则函数y的最小值是﹣am2
C．若a＜1，则函数y的最大值是3am2
D．若a＞1，则函数y的最小值是3am2
9．一组数由m个0和x个a（0≤x≤6，且a是整数）组成，设这组数的平均数为y（如图），y与x之间的关系所描述的情况可能是（ ）
A．m＝6﹣x，a＝5 B．m＝6﹣x，a＝10 C．m＝6，a＝5 D．m＝6，a＝10
10．在矩形ABCD内，将两张直角边长分别为a和b（a＞b）的等腰直角三角形按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张等腰直角三角形纸片均有重叠部分），矩形未被这两张等腰直角三角形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD＝6，AB＝8时，S1﹣S2的值为（ ）
A．a+b﹣4 B．a+b﹣5 C．a+b﹣6 D．a+b﹣7
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）地球的赤道长约为40000千米．数据40000用科学记数法表示为 ．
12．（5分）因式分解：4﹣4x+x2＝ ．
13．（5分）如图，已知等边三角形△ABC内接于⊙O，AB＝2．设⊙O的半径为R，则R＝ ．
14．（5分）一个不透明布袋里共有4个球（只有编号不向），其中两个球的编号为1，另两个球的编号为2．从中任意摸出两个球，这两个球的编号之积为偶数的概率是 ．
15．（5分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，过点A作AF∥BC，分别交∠AED，∠ACB的平分线于点F，G．若BD＝2AD，CG平分线段BD，则＝ ．
16．（5分）如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则△BCE面积的最小值为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（6分）在解方程x（x﹣2）＝x﹣2时，圆圆同学的解答如下：
去括号，得x2﹣2x＝x﹣2．
移项，得x2﹣3x＝﹣2．
两边同时加上（）2，得：x2﹣3x+（）2＝﹣2+（）2，
即（x﹣）2＝．
所以x﹣＝．
所以x＝2．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
18．（8分）某市为实施用水定额管理前，对居民用水情况进行调查，通过简单随机抽样调查获得了500个家庭去年的月平均用水量（单位；吨），并把所得数据绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
某市500个家庭去年月平均用水量的频数表
组别（吨）
频数
2.0﹣3.8
150
3.8﹣5.6
a
5.6﹣7.4
110
7.4﹣9.2
40
（1）求a的值，并把频数直方图补充完整．
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使至少70%的家庭水费支出不受影响，你认为家庭月平均用水量的标准定为多少？请说明理由．
19．（8分）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别在线段AB，AD上，EG∥BC，FH∥DC，点G，H分别在线段CD，BC上，EG和FH相交于点P，BE＝DF．
（1）求证：四边形HCGP是菱形．
（2）若四边形BHPE是菱形，求证：点E是线段AB的中点．
20．（10分）“天空之城”摩天轮，位于宁波市杭州湾新区欢乐世界．摩天轮高约126米（最高点到地面的距离）．如图，点O是摩天轮的圆心，AB是其垂直于地面的直径，小明在地面C处用测角仪测得摩天轮最高点A的仰角为45°，测得圆心O的仰角为30°，求摩天轮的半径．（结果保留根号）
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上（不与点A，D重合），连接BE，CE．
（1）若点E是AD边的中点．求证；BE＝CE．
（2）设∠ABE＝α，∠CED＝β，＝k．
①求证：tanα•tanβ＝k．
②若tanα＝，BC＝CE，求k的值．
22．（12分）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．
（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
23．（12分）已知二次函数y1＝ax2+bx+1，y2＝x2+bx+a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若b≠0，且函数y1和函数y2的对称轴关于y轴对称，求a的值．
（2）若函数y2的图象过点（b，9a），求函数y1的图象与x轴的交点个数．
（3）设函数y1，y2的图象两个交点的纵坐标分别为m，n．求证：m﹣n的值与a无关．
24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（五）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠C＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A+∠B+∠C＝180°，然后把∠A＝70°，∠B＝60°代入计算即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
而∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣60°＝50°．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．x5•x＝x6
C．（xy2）3＝xy6 D．x2+x2＝2x4
【分析】分别根据完全平方公式，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A．x+y）2＝x2+2xy+y2，故本选项不合题意；
B．x5•x＝x6，故本选项符合题意；
C．（xy2）3＝x3y6，故本选项不合题意；
D．x2+x2＝2x2，故本选项不合题意．
故选：B．
3．下列各数，最小的数是（ ）
A．﹣2020 B．0 C． D．﹣1
【分析】由于正数大于0，0大于负数，要求最小实数，只需比较﹣2020与﹣1即可．
【解答】解：∵﹣2020＜﹣1＜0＜，
∴最小的数是﹣2020．
故选：A．
4．若x＞﹣1，y＜1，则（ ）
A．x﹣y＜﹣2 B．x﹣y＞﹣2 C．x+y＜0 D．x+y＞0
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：A、∵若x＞﹣1，y＜1，
∴x﹣y＞﹣2，故本选项不合题意；
B、∵若x＞﹣1，y＜1，
∴x﹣y＞﹣2，故本选项符合题意；
C、∵若x＞﹣1，y＜1，
∴x+y＜0或＞0或＝0，故本选项不合题意；
D、∵若x＞﹣1，y＜1，
∴x+y＜0或＞0或＝0，故本选项不合题意；
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，AB＝2．若点M在边BC上（不与点B或点C重合），则线段AM的长可能等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过点A作AD⊥BC于点D．由∠A＝90°，∠C＝60°，推出∠B＝30°，所以AD＝AB＝＝＝1，点M在边BC上（不与点B或点C重合），得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．
∵∠A＝90°，∠C＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AD＝AB＝＝1，
∵点M在边BC上（不与点B或点C重合），
∴AD≤AM＜AB，
即1≤AM＜2，
故选：A．
6．已知一次函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点（1，1），该函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】将（1，1）代入代入一次函数y＝ax+a（a≠0）中即可求出a，得到一次函数解析式，再分别将x＝2，x＝3，x＝4分别代入求出y的值即可选出正确选项．
【解答】解：将（1，1）代入一次函数y＝ax+a（a≠0）中得：1＝a+a，
∴a＝，
∴一次函数解析式为：y＝，
当x＝2时，y＝，故A、B错误；
当x＝3时，y＝2，故C正确；
当x＝4时，y＝，故D错误；
故选：C．
7．若a＝+，其中a，b，c是实数，则（ ）
A．b+c＝a B．b+c＝ C．b+c＝ D．b+c＝abc
【分析】根据等式性质，等式两边乘以bc即可选出正确答案．
【解答】解：∵a＝+．
根据等式的性质，等式两边乘以bc，等式仍然成立．
∴a•bc＝•bc+•bc．
∴abc＝c+b．
故选：D．
8．设函数y＝ax（x+2m），其中a，m是实数，且a≠0，下列正确的是（ ）
A．若a＜1，则函数y的最大值是﹣am2
B．若a＞1，则函数y的最小值是﹣am2
C．若a＜1，则函数y的最大值是3am2
D．若a＞1，则函数y的最小值是3am2
【分析】将题目中的函数解析式变形，利用配方法化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可判断哪个选项中的说法正确．
【解答】解：∵函数y＝ax（x+2m）＝ax2+2amx＝a（x+m）2﹣am2，
∴当a＜1时，无法确定该函数的最大值或最小值，故选项A、C不符合题意；
当a＞1时，该函数开口向上，该函数y的最小值是﹣am2，故选项B符合题意，D不符合题意；
故选：B．
9．一组数由m个0和x个a（0≤x≤6，且a是整数）组成，设这组数的平均数为y（如图），y与x之间的关系所描述的情况可能是（ ）
A．m＝6﹣x，a＝5 B．m＝6﹣x，a＝10 C．m＝6，a＝5 D．m＝6，a＝10
【分析】根据平均数的计算方法得y＝，将各选项中m、a的值代入即可得出结果．
【解答】解：这组数的平均数为y＝，
A、m＝6﹣x，a＝5，则y＝，与图象不符，不符合题意；
B、m＝6﹣x，a＝10，则y＝，与图象不符，不符合题意；
C、m＝6，a＝5，则y＝，与图象不符，不符合题意；
D、m＝6，a＝10，则y＝，与图象相符，符合题意；
故选：D．
10．在矩形ABCD内，将两张直角边长分别为a和b（a＞b）的等腰直角三角形按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张等腰直角三角形纸片均有重叠部分），矩形未被这两张等腰直角三角形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD＝6，AB＝8时，S1﹣S2的值为（ ）
A．a+b﹣4 B．a+b﹣5 C．a+b﹣6 D．a+b﹣7
【分析】根据题意用整式表示图形的面积进行计算即可．
【解答】解：如图1，
由已知可得，
∠DQF＝∠DFQ＝∠AEP＝∠APE＝45°，
作GH⊥AD于点H，
∵AD＝6，AB＝8，
则EF＝a+b﹣6，
如图2，同理可得EF＝a+b﹣8，
∴图1中阴影部分的面积是：6×8﹣﹣b2+（a+b﹣6）2，
同理可得，图2中阴影部分的面积是：6×8﹣a2﹣b2+×（a+b﹣8）2，
∴S1﹣S2＝（a+b﹣6）2﹣（a+b﹣8）2＝a+b﹣7．
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）地球的赤道长约为40000千米．数据40000用科学记数法表示为 4×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将40000用科学记数法表示为：4×104．
故答案为：4×104．
12．（5分）因式分解：4﹣4x+x2＝ （x﹣2）2 ．
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【解答】解：4﹣4x+x2＝（x﹣2）2．
故答案为：（x﹣2）2．
13．（5分）如图，已知等边三角形△ABC内接于⊙O，AB＝2．设⊙O的半径为R，则R＝ ．
【分析】作直径AD，连接BD，根据等边三角形性质求出∠C＝60°，根据圆周角定理求出∠D＝∠C＝60°，解直角三角形求出AD即可．
【解答】解：作直径AD，连接BD，如图，
∵等边三角形△ABC内接于⊙O，
∴∠C＝60°＝∠D，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵sin∠D＝＝，
∴AD＝＝＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
14．（5分）一个不透明布袋里共有4个球（只有编号不向），其中两个球的编号为1，另两个球的编号为2．从中任意摸出两个球，这两个球的编号之积为偶数的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，两个球的编号之积为偶数的结果有10个．再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两个球的编号之积为偶数的结果有10个，
∴两个球的编号之积为偶数的概率为＝，
故答案为：．
15．（5分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，过点A作AF∥BC，分别交∠AED，∠ACB的平分线于点F，G．若BD＝2AD，CG平分线段BD，则＝ 3 ．
【分析】根据线段中点的定义得到BH＝DH，确定BH＝BD，推出AD＝AB，根据相似三角形的性质得到＝＝，根据平行线的选择得到∠AED＝∠ACB，根据角平分线的定义得到∠AEF＝∠AED，∠ACG＝∠ACB，根据相似三角形的性质得到结论
【解答】解：∵CG平分线段BD，
∴BH＝DH，
∴BH＝BD，
∵BD＝2AD，
∴AD＝DH＝BH，
∴AD＝AB，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵CG是∠ACB的平分线，EF是∠AED的平分线，
∴∠AEF＝∠AED，∠ACG＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠ACG，
∴EF∥CG，
∴△AEF∽△ACG，
∴＝＝，
∴FG＝2AF，AG＝FG，
设AB与CG交于H，
∵AG∥BC，
∴△AGH∽△BCH，
∴＝＝2，
∴＝2，
∴＝3，
故答案为3．
16．（5分）如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则△BCE面积的最小值为 4﹣ ．
【分析】设出点E（m，n），先构造出△CME≌△END（AAS），进而确定出点D（m+n，n+2﹣m），再利用AD＝2，建立方程，利用两点间的距离得出点E是以O为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．
【解答】解：如图，设E（m，n），
过点E作EM⊥x轴于M，过点作DN⊥EM，交ME的延长线于N，
∴∠CME＝∠END＝90°，
∴∠MCE+∠MEC＝90°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，∠CED＝90°，
∴∠NED+∠MEC＝90°，
∴∠MCE＝∠NED，
∴△CME≌△END（AAS），
∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m，
∴D（m+n，n+2﹣m），
∵点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上，
连接AD，则AD＝2，
∴＝2，
∴＝，
即＝，
∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是的点的轨迹），
∵以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵C（2，0），
∴OC＝2，
∴BC＝2，
过点O作OH⊥BC于H，
∴OH＝＝，
设点E到BC的距离为h，
∴S△BCE＝BC•h＝×h＝h，
∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝OH﹣＝﹣，
∴S△BCE最小＝（﹣）＝4﹣，
故答案为：4﹣．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（6分）在解方程x（x﹣2）＝x﹣2时，圆圆同学的解答如下：
去括号，得x2﹣2x＝x﹣2．
移项，得x2﹣3x＝﹣2．
两边同时加上（）2，得：x2﹣3x+（）2＝﹣2+（）2，
即（x﹣）2＝．
所以x﹣＝．
所以x＝2．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：圆圆的解答错误，
正确解答如下：
∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝1．
18．（8分）某市为实施用水定额管理前，对居民用水情况进行调查，通过简单随机抽样调查获得了500个家庭去年的月平均用水量（单位；吨），并把所得数据绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
某市500个家庭去年月平均用水量的频数表
组别（吨）
频数
2.0﹣3.8
150
3.8﹣5.6
a
5.6﹣7.4
110
7.4﹣9.2
40
（1）求a的值，并把频数直方图补充完整．
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使至少70%的家庭水费支出不受影响，你认为家庭月平均用水量的标准定为多少？请说明理由．
【分析】（1）根据频数之和等于样本容量可求出a的值，进而补全频数分布直方图；
（2）求出样本容量的70%家庭的用水量即可．
【解答】解：（1）500﹣40﹣110﹣150＝200（个），
补全频数分布直方图如下：
（2）500×70%＝350（个），
而350个家庭的用水量在5.6吨以下，根据要求用水量定在5.6吨比较合适，
答：家庭月平均用水量的标准定为5.6吨比较合适．
19．（8分）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别在线段AB，AD上，EG∥BC，FH∥DC，点G，H分别在线段CD，BC上，EG和FH相交于点P，BE＝DF．
（1）求证：四边形HCGP是菱形．
（2）若四边形BHPE是菱形，求证：点E是线段AB的中点．
【分析】（1）先证四边形HCGP、四边形BCGE、四边形CDFH都是平行四边形，得BE＝CG，CH＝DF，再证CG＝CH，即可得出结论；
（2）由（1）可知，BE＝CG＝CH，再由菱形的性质得BE＝BH，AB＝BC，则BE＝BH＝CH＝BC＝AB，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EG∥BC，FH∥DC，
∴四边形HCGP、四边形BCGE、四边形CDFH都是平行四边形，
∴BE＝CG，CH＝DF，
∵BE＝DF，
∴CG＝CH，
∴平行四边形HCGP是菱形；
（2）由（1）可知，BE＝CG＝CH，
∵四边形BHPE是菱形，
∴BE＝BH，
∴BE＝BH＝CH＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴BE＝AB，
∴点E是线段AB的中点．
20．（10分）“天空之城”摩天轮，位于宁波市杭州湾新区欢乐世界．摩天轮高约126米（最高点到地面的距离）．如图，点O是摩天轮的圆心，AB是其垂直于地面的直径，小明在地面C处用测角仪测得摩天轮最高点A的仰角为45°，测得圆心O的仰角为30°，求摩天轮的半径．（结果保留根号）
【分析】延长AB与地面所在直线交于点D，根据题意可得AB⊥CD，及仰角度数，再根据锐角三角函数即可求出摩天轮的半径．
【解答】解：如图，
延长AB与地面所在直线交于点D，
根据题意可知：
AB⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝126，
∵∠OCD＝30°，
∴在Rt△OCD中，OD＝OB+BD＝OB+（AD﹣AB）＝126﹣OB，
∴tan30°＝，
即＝，
解得OB＝126﹣42（米）．
答：摩天轮的半径为（126﹣42）米．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上（不与点A，D重合），连接BE，CE．
（1）若点E是AD边的中点．求证；BE＝CE．
（2）设∠ABE＝α，∠CED＝β，＝k．
①求证：tanα•tanβ＝k．
②若tanα＝，BC＝CE，求k的值．
【分析】（1）用SAS证明△ABE≌△DCE即可证；
（2）①根据三角函数定义，把tanα、tanβ用线段比表示，化简即可得证；
②过C作CH⊥BE于H，AE＝m，则AB＝2m，用m的代数式表示BE、BC、DE的长度，即可得到的值，即k的值．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）①∵矩形ABCD中，点E在AD边上，∠ABE＝α，∠CED＝β，
∴tanα＝，tanβ＝，AB＝CD，
∴tanα•tanβ＝•＝，
∵＝k，
∴tanα•tanβ＝k；
②过C作CH⊥BE于H，如图：
∵tanα＝，
∴＝，
设AE＝m，则AB＝2m，
Rt△ABE中，BE＝＝m，
∵BC＝CE，CH⊥BE，
∴BH＝BE＝m，∠BCH＝90°﹣∠HBC＝∠ABE＝α，
Rt△BCH中，tan∠BCH＝，
∴＝，
∴CH＝m，
∴BC＝＝m，
∴AD＝BC＝m，
∴DE＝AD﹣AE＝m，
∴k＝＝＝．
22．（12分）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．
（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
【分析】（1）设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可；
（2）把y＝1500代入（1）的结论即可；
（3）设小聪坐上了第n班车，30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，可设函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，2700）代入y＝kx+b，得，解得，
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝150x﹣3000（20≤x≤38）；
（2）把y＝1500代入y＝150x﹣3000，解得x＝30，
30﹣20＝10（分），
∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；
（3）设小聪坐上了第n班车，则
30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪坐上了第5班车，
等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150＝8（分），
步行所需时间：1200÷（1500÷25）＝20（分），
20﹣（8+5）＝7（分），
∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟．
23．（12分）已知二次函数y1＝ax2+bx+1，y2＝x2+bx+a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若b≠0，且函数y1和函数y2的对称轴关于y轴对称，求a的值．
（2）若函数y2的图象过点（b，9a），求函数y1的图象与x轴的交点个数．
（3）设函数y1，y2的图象两个交点的纵坐标分别为m，n．求证：m﹣n的值与a无关．
【分析】（1）分别求得两个函数图象的对称轴方程，然后根据对称的性质列出等式并解答．
（2）由二次函数图象上点的坐标特征和根的判别式的意义解答．
（3）设函数y1，y2的图像两个交点的横坐标分别是p，t，然后分别代入函数y2，并求m﹣n的值．
【解答】解：（1）根据题意知：﹣+（﹣）＝0，
因为b≠0，
所以a＝﹣1；
（2）将点（b，9a）代入y2＝x2+bx+a，得b2+b•b+a＝9a．
整理，得b2﹣4a＝0．
令y1＝0，则ax2+bx+1＝0，
所以△＝b2﹣4a×1＝0．
所以函数y1的图像与x轴只有一个交点；
（3）证明：设函数y1，y2的图像两个交点的横坐标分别是p，t，
则m＝p2+bp+a，n＝t2+bt+a．
所以m﹣n＝（p2+bp+a）﹣（t2+bt+a）＝（p2﹣t2）+b（p﹣t），
所以m﹣n的值与a无关．
24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝180°，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC＝90°，则可求出答案；
②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，解得x＝，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，
（2）如图1，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴，
∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，
∴AG＝，
在Rt△ADE中，AE＝AD，
∴，
∴，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，
∴x＝，
∴ED＝AD＝，
∴CE＝CD+DE＝，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝CE＝，
∴DM＝DE﹣EM＝，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝，
∴S△DEF＝DE•FM＝．
2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（五）
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠C＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．x5•x＝x6
C．（xy2）3＝xy6 D．x2+x2＝2x4
3．下列各数，最小的数是（ ）
A．﹣2020 B．0 C． D．﹣1
4．若x＞﹣1，y＜1，则（ ）
A．x﹣y＜﹣2 B．x﹣y＞﹣2 C．x+y＜0 D．x+y＞0
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，AB＝2．若点M在边BC上（不与点B或点C重合），则线段AM的长可能等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知一次函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点（1，1），该函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．若a＝+，其中a，b，c是实数，则（ ）
A．b+c＝a B．b+c＝ C．b+c＝ D．b+c＝abc
8．设函数y＝ax（x+2m），其中a，m是实数，且a≠0，下列正确的是（ ）
A．若a＜1，则函数y的最大值是﹣am2
B．若a＞1，则函数y的最小值是﹣am2
C．若a＜1，则函数y的最大值是3am2
D．若a＞1，则函数y的最小值是3am2
9．一组数由m个0和x个a（0≤x≤6，且a是整数）组成，设这组数的平均数为y（如图），y与x之间的关系所描述的情况可能是（ ）
A．m＝6﹣x，a＝5 B．m＝6﹣x，a＝10 C．m＝6，a＝5 D．m＝6，a＝10
10．在矩形ABCD内，将两张直角边长分别为a和b（a＞b）的等腰直角三角形按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张等腰直角三角形纸片均有重叠部分），矩形未被这两张等腰直角三角形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD＝6，AB＝8时，S1﹣S2的值为（ ）
A．a+b﹣4 B．a+b﹣5 C．a+b﹣6 D．a+b﹣7
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）地球的赤道长约为40000千米．数据40000用科学记数法表示为 ．
12．（5分）因式分解：4﹣4x+x2＝ ．
13．（5分）如图，已知等边三角形△ABC内接于⊙O，AB＝2．设⊙O的半径为R，则R＝ ．
14．（5分）一个不透明布袋里共有4个球（只有编号不向），其中两个球的编号为1，另两个球的编号为2．从中任意摸出两个球，这两个球的编号之积为偶数的概率是 ．
15．（5分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，过点A作AF∥BC，分别交∠AED，∠ACB的平分线于点F，G．若BD＝2AD，CG平分线段BD，则＝ ．
16．（5分）如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则△BCE面积的最小值为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（6分）在解方程x（x﹣2）＝x﹣2时，圆圆同学的解答如下：
去括号，得x2﹣2x＝x﹣2．
移项，得x2﹣3x＝﹣2．
两边同时加上（）2，得：x2﹣3x+（）2＝﹣2+（）2，
即（x﹣）2＝．
所以x﹣＝．
所以x＝2．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
18．（8分）某市为实施用水定额管理前，对居民用水情况进行调查，通过简单随机抽样调查获得了500个家庭去年的月平均用水量（单位；吨），并把所得数据绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
某市500个家庭去年月平均用水量的频数表
组别（吨）
频数
2.0﹣3.8
150
3.8﹣5.6
a
5.6﹣7.4
110
7.4﹣9.2
40
（1）求a的值，并把频数直方图补充完整．
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使至少70%的家庭水费支出不受影响，你认为家庭月平均用水量的标准定为多少？请说明理由．
19．（8分）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别在线段AB，AD上，EG∥BC，FH∥DC，点G，H分别在线段CD，BC上，EG和FH相交于点P，BE＝DF．
（1）求证：四边形HCGP是菱形．
（2）若四边形BHPE是菱形，求证：点E是线段AB的中点．
20．（10分）“天空之城”摩天轮，位于宁波市杭州湾新区欢乐世界．摩天轮高约126米（最高点到地面的距离）．如图，点O是摩天轮的圆心，AB是其垂直于地面的直径，小明在地面C处用测角仪测得摩天轮最高点A的仰角为45°，测得圆心O的仰角为30°，求摩天轮的半径．（结果保留根号）
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上（不与点A，D重合），连接BE，CE．
（1）若点E是AD边的中点．求证；BE＝CE．
（2）设∠ABE＝α，∠CED＝β，＝k．
①求证：tanα•tanβ＝k．
②若tanα＝，BC＝CE，求k的值．
22．（12分）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．
（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
23．（12分）已知二次函数y1＝ax2+bx+1，y2＝x2+bx+a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若b≠0，且函数y1和函数y2的对称轴关于y轴对称，求a的值．
（2）若函数y2的图象过点（b，9a），求函数y1的图象与x轴的交点个数．
（3）设函数y1，y2的图象两个交点的纵坐标分别为m，n．求证：m﹣n的值与a无关．
24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
2021年浙江省宁波市中考数学冲刺试卷（五）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠C＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A+∠B+∠C＝180°，然后把∠A＝70°，∠B＝60°代入计算即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
而∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣60°＝50°．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．x5•x＝x6
C．（xy2）3＝xy6 D．x2+x2＝2x4
【分析】分别根据完全平方公式，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A．x+y）2＝x2+2xy+y2，故本选项不合题意；
B．x5•x＝x6，故本选项符合题意；
C．（xy2）3＝x3y6，故本选项不合题意；
D．x2+x2＝2x2，故本选项不合题意．
故选：B．
3．下列各数，最小的数是（ ）
A．﹣2020 B．0 C． D．﹣1
【分析】由于正数大于0，0大于负数，要求最小实数，只需比较﹣2020与﹣1即可．
【解答】解：∵﹣2020＜﹣1＜0＜，
∴最小的数是﹣2020．
故选：A．
4．若x＞﹣1，y＜1，则（ ）
A．x﹣y＜﹣2 B．x﹣y＞﹣2 C．x+y＜0 D．x+y＞0
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：A、∵若x＞﹣1，y＜1，
∴x﹣y＞﹣2，故本选项不合题意；
B、∵若x＞﹣1，y＜1，
∴x﹣y＞﹣2，故本选项符合题意；
C、∵若x＞﹣1，y＜1，
∴x+y＜0或＞0或＝0，故本选项不合题意；
D、∵若x＞﹣1，y＜1，
∴x+y＜0或＞0或＝0，故本选项不合题意；
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，AB＝2．若点M在边BC上（不与点B或点C重合），则线段AM的长可能等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过点A作AD⊥BC于点D．由∠A＝90°，∠C＝60°，推出∠B＝30°，所以AD＝AB＝＝＝1，点M在边BC上（不与点B或点C重合），得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．
∵∠A＝90°，∠C＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AD＝AB＝＝1，
∵点M在边BC上（不与点B或点C重合），
∴AD≤AM＜AB，
即1≤AM＜2，
故选：A．
6．已知一次函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点（1，1），该函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】将（1，1）代入代入一次函数y＝ax+a（a≠0）中即可求出a，得到一次函数解析式，再分别将x＝2，x＝3，x＝4分别代入求出y的值即可选出正确选项．
【解答】解：将（1，1）代入一次函数y＝ax+a（a≠0）中得：1＝a+a，
∴a＝，
∴一次函数解析式为：y＝，
当x＝2时，y＝，故A、B错误；
当x＝3时，y＝2，故C正确；
当x＝4时，y＝，故D错误；
故选：C．
7．若a＝+，其中a，b，c是实数，则（ ）
A．b+c＝a B．b+c＝ C．b+c＝ D．b+c＝abc
【分析】根据等式性质，等式两边乘以bc即可选出正确答案．
【解答】解：∵a＝+．
根据等式的性质，等式两边乘以bc，等式仍然成立．
∴a•bc＝•bc+•bc．
∴abc＝c+b．
故选：D．
8．设函数y＝ax（x+2m），其中a，m是实数，且a≠0，下列正确的是（ ）
A．若a＜1，则函数y的最大值是﹣am2
B．若a＞1，则函数y的最小值是﹣am2
C．若a＜1，则函数y的最大值是3am2
D．若a＞1，则函数y的最小值是3am2
【分析】将题目中的函数解析式变形，利用配方法化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可判断哪个选项中的说法正确．
【解答】解：∵函数y＝ax（x+2m）＝ax2+2amx＝a（x+m）2﹣am2，
∴当a＜1时，无法确定该函数的最大值或最小值，故选项A、C不符合题意；
当a＞1时，该函数开口向上，该函数y的最小值是﹣am2，故选项B符合题意，D不符合题意；
故选：B．
9．一组数由m个0和x个a（0≤x≤6，且a是整数）组成，设这组数的平均数为y（如图），y与x之间的关系所描述的情况可能是（ ）
A．m＝6﹣x，a＝5 B．m＝6﹣x，a＝10 C．m＝6，a＝5 D．m＝6，a＝10
【分析】根据平均数的计算方法得y＝，将各选项中m、a的值代入即可得出结果．
【解答】解：这组数的平均数为y＝，
A、m＝6﹣x，a＝5，则y＝，与图象不符，不符合题意；
B、m＝6﹣x，a＝10，则y＝，与图象不符，不符合题意；
C、m＝6，a＝5，则y＝，与图象不符，不符合题意；
D、m＝6，a＝10，则y＝，与图象相符，符合题意；
故选：D．
10．在矩形ABCD内，将两张直角边长分别为a和b（a＞b）的等腰直角三角形按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张等腰直角三角形纸片均有重叠部分），矩形未被这两张等腰直角三角形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD＝6，AB＝8时，S1﹣S2的值为（ ）
A．a+b﹣4 B．a+b﹣5 C．a+b﹣6 D．a+b﹣7
【分析】根据题意用整式表示图形的面积进行计算即可．
【解答】解：如图1，
由已知可得，
∠DQF＝∠DFQ＝∠AEP＝∠APE＝45°，
作GH⊥AD于点H，
∵AD＝6，AB＝8，
则EF＝a+b﹣6，
如图2，同理可得EF＝a+b﹣8，
∴图1中阴影部分的面积是：6×8﹣﹣b2+（a+b﹣6）2，
同理可得，图2中阴影部分的面积是：6×8﹣a2﹣b2+×（a+b﹣8）2，
∴S1﹣S2＝（a+b﹣6）2﹣（a+b﹣8）2＝a+b﹣7．
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）地球的赤道长约为40000千米．数据40000用科学记数法表示为 4×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将40000用科学记数法表示为：4×104．
故答案为：4×104．
12．（5分）因式分解：4﹣4x+x2＝ （x﹣2）2 ．
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【解答】解：4﹣4x+x2＝（x﹣2）2．
故答案为：（x﹣2）2．
13．（5分）如图，已知等边三角形△ABC内接于⊙O，AB＝2．设⊙O的半径为R，则R＝ ．
【分析】作直径AD，连接BD，根据等边三角形性质求出∠C＝60°，根据圆周角定理求出∠D＝∠C＝60°，解直角三角形求出AD即可．
【解答】解：作直径AD，连接BD，如图，
∵等边三角形△ABC内接于⊙O，
∴∠C＝60°＝∠D，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵sin∠D＝＝，
∴AD＝＝＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
14．（5分）一个不透明布袋里共有4个球（只有编号不向），其中两个球的编号为1，另两个球的编号为2．从中任意摸出两个球，这两个球的编号之积为偶数的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，两个球的编号之积为偶数的结果有10个．再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两个球的编号之积为偶数的结果有10个，
∴两个球的编号之积为偶数的概率为＝，
故答案为：．
15．（5分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，过点A作AF∥BC，分别交∠AED，∠ACB的平分线于点F，G．若BD＝2AD，CG平分线段BD，则＝ 3 ．
【分析】根据线段中点的定义得到BH＝DH，确定BH＝BD，推出AD＝AB，根据相似三角形的性质得到＝＝，根据平行线的选择得到∠AED＝∠ACB，根据角平分线的定义得到∠AEF＝∠AED，∠ACG＝∠ACB，根据相似三角形的性质得到结论
【解答】解：∵CG平分线段BD，
∴BH＝DH，
∴BH＝BD，
∵BD＝2AD，
∴AD＝DH＝BH，
∴AD＝AB，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵CG是∠ACB的平分线，EF是∠AED的平分线，
∴∠AEF＝∠AED，∠ACG＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠ACG，
∴EF∥CG，
∴△AEF∽△ACG，
∴＝＝，
∴FG＝2AF，AG＝FG，
设AB与CG交于H，
∵AG∥BC，
∴△AGH∽△BCH，
∴＝＝2，
∴＝2，
∴＝3，
故答案为3．
16．（5分）如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则△BCE面积的最小值为 4﹣ ．
【分析】设出点E（m，n），先构造出△CME≌△END（AAS），进而确定出点D（m+n，n+2﹣m），再利用AD＝2，建立方程，利用两点间的距离得出点E是以O为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．
【解答】解：如图，设E（m，n），
过点E作EM⊥x轴于M，过点作DN⊥EM，交ME的延长线于N，
∴∠CME＝∠END＝90°，
∴∠MCE+∠MEC＝90°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，∠CED＝90°，
∴∠NED+∠MEC＝90°，
∴∠MCE＝∠NED，
∴△CME≌△END（AAS），
∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m，
∴D（m+n，n+2﹣m），
∵点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上，
连接AD，则AD＝2，
∴＝2，
∴＝，
即＝，
∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是的点的轨迹），
∵以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵C（2，0），
∴OC＝2，
∴BC＝2，
过点O作OH⊥BC于H，
∴OH＝＝，
设点E到BC的距离为h，
∴S△BCE＝BC•h＝×h＝h，
∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝OH﹣＝﹣，
∴S△BCE最小＝（﹣）＝4﹣，
故答案为：4﹣．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（6分）在解方程x（x﹣2）＝x﹣2时，圆圆同学的解答如下：
去括号，得x2﹣2x＝x﹣2．
移项，得x2﹣3x＝﹣2．
两边同时加上（）2，得：x2﹣3x+（）2＝﹣2+（）2，
即（x﹣）2＝．
所以x﹣＝．
所以x＝2．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：圆圆的解答错误，
正确解答如下：
∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝1．
18．（8分）某市为实施用水定额管理前，对居民用水情况进行调查，通过简单随机抽样调查获得了500个家庭去年的月平均用水量（单位；吨），并把所得数据绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
某市500个家庭去年月平均用水量的频数表
组别（吨）
频数
2.0﹣3.8
150
3.8﹣5.6
a
5.6﹣7.4
110
7.4﹣9.2
40
（1）求a的值，并把频数直方图补充完整．
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使至少70%的家庭水费支出不受影响，你认为家庭月平均用水量的标准定为多少？请说明理由．
【分析】（1）根据频数之和等于样本容量可求出a的值，进而补全频数分布直方图；
（2）求出样本容量的70%家庭的用水量即可．
【解答】解：（1）500﹣40﹣110﹣150＝200（个），
补全频数分布直方图如下：
（2）500×70%＝350（个），
而350个家庭的用水量在5.6吨以下，根据要求用水量定在5.6吨比较合适，
答：家庭月平均用水量的标准定为5.6吨比较合适．
19．（8分）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别在线段AB，AD上，EG∥BC，FH∥DC，点G，H分别在线段CD，BC上，EG和FH相交于点P，BE＝DF．
（1）求证：四边形HCGP是菱形．
（2）若四边形BHPE是菱形，求证：点E是线段AB的中点．
【分析】（1）先证四边形HCGP、四边形BCGE、四边形CDFH都是平行四边形，得BE＝CG，CH＝DF，再证CG＝CH，即可得出结论；
（2）由（1）可知，BE＝CG＝CH，再由菱形的性质得BE＝BH，AB＝BC，则BE＝BH＝CH＝BC＝AB，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EG∥BC，FH∥DC，
∴四边形HCGP、四边形BCGE、四边形CDFH都是平行四边形，
∴BE＝CG，CH＝DF，
∵BE＝DF，
∴CG＝CH，
∴平行四边形HCGP是菱形；
（2）由（1）可知，BE＝CG＝CH，
∵四边形BHPE是菱形，
∴BE＝BH，
∴BE＝BH＝CH＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴BE＝AB，
∴点E是线段AB的中点．
20．（10分）“天空之城”摩天轮，位于宁波市杭州湾新区欢乐世界．摩天轮高约126米（最高点到地面的距离）．如图，点O是摩天轮的圆心，AB是其垂直于地面的直径，小明在地面C处用测角仪测得摩天轮最高点A的仰角为45°，测得圆心O的仰角为30°，求摩天轮的半径．（结果保留根号）
【分析】延长AB与地面所在直线交于点D，根据题意可得AB⊥CD，及仰角度数，再根据锐角三角函数即可求出摩天轮的半径．
【解答】解：如图，
延长AB与地面所在直线交于点D，
根据题意可知：
AB⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝126，
∵∠OCD＝30°，
∴在Rt△OCD中，OD＝OB+BD＝OB+（AD﹣AB）＝126﹣OB，
∴tan30°＝，
即＝，
解得OB＝126﹣42（米）．
答：摩天轮的半径为（126﹣42）米．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上（不与点A，D重合），连接BE，CE．
（1）若点E是AD边的中点．求证；BE＝CE．
（2）设∠ABE＝α，∠CED＝β，＝k．
①求证：tanα•tanβ＝k．
②若tanα＝，BC＝CE，求k的值．
【分析】（1）用SAS证明△ABE≌△DCE即可证；
（2）①根据三角函数定义，把tanα、tanβ用线段比表示，化简即可得证；
②过C作CH⊥BE于H，AE＝m，则AB＝2m，用m的代数式表示BE、BC、DE的长度，即可得到的值，即k的值．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）①∵矩形ABCD中，点E在AD边上，∠ABE＝α，∠CED＝β，
∴tanα＝，tanβ＝，AB＝CD，
∴tanα•tanβ＝•＝，
∵＝k，
∴tanα•tanβ＝k；
②过C作CH⊥BE于H，如图：
∵tanα＝，
∴＝，
设AE＝m，则AB＝2m，
Rt△ABE中，BE＝＝m，
∵BC＝CE，CH⊥BE，
∴BH＝BE＝m，∠BCH＝90°﹣∠HBC＝∠ABE＝α，
Rt△BCH中，tan∠BCH＝，
∴＝，
∴CH＝m，
∴BC＝＝m，
∴AD＝BC＝m，
∴DE＝AD﹣AE＝m，
∴k＝＝＝．
22．（12分）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．
（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
【分析】（1）设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可；
（2）把y＝1500代入（1）的结论即可；
（3）设小聪坐上了第n班车，30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，可设函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，2700）代入y＝kx+b，得，解得，
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝150x﹣3000（20≤x≤38）；
（2）把y＝1500代入y＝150x﹣3000，解得x＝30，
30﹣20＝10（分），
∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；
（3）设小聪坐上了第n班车，则
30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪坐上了第5班车，
等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150＝8（分），
步行所需时间：1200÷（1500÷25）＝20（分），
20﹣（8+5）＝7（分），
∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟．
23．（12分）已知二次函数y1＝ax2+bx+1，y2＝x2+bx+a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若b≠0，且函数y1和函数y2的对称轴关于y轴对称，求a的值．
（2）若函数y2的图象过点（b，9a），求函数y1的图象与x轴的交点个数．
（3）设函数y1，y2的图象两个交点的纵坐标分别为m，n．求证：m﹣n的值与a无关．
【分析】（1）分别求得两个函数图象的对称轴方程，然后根据对称的性质列出等式并解答．
（2）由二次函数图象上点的坐标特征和根的判别式的意义解答．
（3）设函数y1，y2的图像两个交点的横坐标分别是p，t，然后分别代入函数y2，并求m﹣n的值．
【解答】解：（1）根据题意知：﹣+（﹣）＝0，
因为b≠0，
所以a＝﹣1；
（2）将点（b，9a）代入y2＝x2+bx+a，得b2+b•b+a＝9a．
整理，得b2﹣4a＝0．
令y1＝0，则ax2+bx+1＝0，
所以△＝b2﹣4a×1＝0．
所以函数y1的图像与x轴只有一个交点；
（3）证明：设函数y1，y2的图像两个交点的横坐标分别是p，t，
则m＝p2+bp+a，n＝t2+bt+a．
所以m﹣n＝（p2+bp+a）﹣（t2+bt+a）＝（p2﹣t2）+b（p﹣t），
所以m﹣n的值与a无关．
24．（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝180°，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC＝90°，则可求出答案；
②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，解得x＝，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，
（2）如图1，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴，
∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，
∴AG＝，
在Rt△ADE中，AE＝AD，
∴，
∴，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，
∴x＝，
∴ED＝AD＝，
∴CE＝CD+DE＝，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝CE＝，
∴DM＝DE﹣EM＝，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝，
∴S△DEF＝DE•FM＝．
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