2021年浙江省宁波市鄞州区中考数学第一次段考试题（word版 含答案）

这是一份2021年浙江省宁波市鄞州区中考数学第一次段考试题（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省宁波市鄞州区中考数学第一次段考试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．若9x＝5y，则＝（　　）
A． B． C． D．
2．下列事件是随机事件的是（　　）
A．抛一枚质地均匀的硬币，正好正面朝上
B．掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为7
C．从一副扑克牌中任抽2张都是红心5
D．从装满红球的口袋中随意摸一个球是红球
3．下列二次函数的图象的对称轴是y轴的是（　　）
A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝﹣（x﹣1）2+1 D．y＝﹣x2+1
4．如图，该几何体是由4个相同的小正方体搭建而成的，则它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
5．已知点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（0，y3）是抛物线y＝﹣x2+2x+1上的三个点，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
6．如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（　　）

A．2 B． C． D．4
7．如图，AC为⊙O的弦，B为优弧ABC上任意一点，过点O作AB的平行线交⊙O于点D，交弦AC于点E，连接OA，其中∠OAB＝20°，∠CDO＝40°，则∠CED＝（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
8．如图，在△ABC中，E是线段AC上一点，且AE：CE＝1：2，过点C作CD∥AB，交BE的延长线于点D．若△BCE的面积等于4，则△CDE的面积等于（　　）

A．8 B．16 C．24 D．32
9．如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈，tan53°≈）

A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米
10．如图，点A是二次函数y＝x2图象上的一点，且位于第一象限，点B是直线y＝﹣x上一点，点B′与点B关于原点对称，连接AB，AB′，若△ABB′为等边三角形，则点A的坐标是（ ）

A．（，） B．（，） C．（1，） D．（，）

二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为_____．
12．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：
抽取只数（只）
50
100
150
500
1000
2000
10000
50000
合格频率
0.82
0.83
0.82
0.83
0.84
0.84
0.84
0.84
估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____．
13．如图，点A，B，C都在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝30°，则劣弧AC的长为_____．

14．将二次函数y＝x2+2的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为_____．
15．如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC＝90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，A为OE的中点，则AC的长是_____．

16．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，D为△ABC内部的一点，且CD⊥BD，在BD的延长线上取一点E，使得∠CAE＝∠BAD．若∠ADE＝∠ABC，且∠DBC＝30°，则AD的长为_____．


三、解答题
17．计算：4sin260°﹣tan45°+|cos30°﹣1|；
18．若＝3，求的值．
19．小刚所在的社区为了做好应对新冠疫情的防控工作，特招募社区抗疫志愿工作者．小刚的爸爸决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A（体温检测），B（便民代购），C（环境消杀）其中一组．
（1）求小刚的爸爸被分到C组的概率；
（2）小明的爸爸也加入了该社区的志愿者队伍，请利用画树状图或列表的方法求小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的概率．
20．近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝33cm，灯罩DE＝20cm，BC⊥AB，CD，DE分别可以绕点C，D上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

21．如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的格点上（小正方形的顶点称为格点）．
（1）在图中画一个Rt△ABC，使其同时满足以下三个条件：①A为直角顶点；②点C在格点上；③tan∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，请在网格中找到另一个格点D，满足tan∠CBD＝1，连接CD，求线段CD的长．

22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．

23．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣8）两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当2≤x≤5时，函数在点C处取得最大值，在点D处取得最小值，求△BCD的面积．

24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），B是y轴正半轴上的一个动点，以OA为直径作圆，交AB于点C．
（1）求证：△AOB∽△ACO；
（2）当∠OAB＝30°时，求点C到x轴的距离；
（3）求的最大值．

25．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是　 　；
（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG．
①求证：EG＝DG；
②若BC＝n•BG，求n的值；
（3）如图2，在Rt△ABC中，＝2，AB＝，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积．



参考答案
1．B
【分析】
直接利用已知变形进而得出答案．
【详解】
解：∵9x＝5y，
∴．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
2．A
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】
解：A、抛一枚质地均匀的硬币，正好正面朝上，是随机事件；
B、掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为7，是不可能事件；
C、从一副扑克牌中任抽2张都是红心5，是不可能事件；
D、从装满红球的口袋中随意摸一个球是红球，是必然事件；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是随机事件与必然事件，不可能事件的含义，掌握事件发生的可能性的大小是解题的关键．
3．D
【分析】
根据二次函数顶点式的性质，分别得出对称轴即可．
【详解】
解：A. y＝﹣（x+1）2+1，对称轴是直线x＝﹣1，故此选项不合题意；
B. y＝（x﹣1）2+1，对称轴是直线x＝1，故此选项不合题意；
C. y＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴是直线x＝1，故此选项不合题意；
D. y＝﹣x2+1对称轴是y轴，符合题意．
故答案选：D．
【点睛】
本题考查二次函数顶点式的基本性质，二次函数顶点式的基本形式为（），其中顶点坐标为，函数的对称轴为直线.
4．A
【分析】
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】
解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：A．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5．D
【分析】
根据配方法将一般式转化为顶点式，得出函数的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质即可判断．
【详解】
解：由题意得：，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线开口向下，且﹣2＜0＜1，
∴y2＜y3＜y1．
故答案选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的增减性。先判断二次函数的对称轴，如果开口向上，则对称轴左侧是y随x的增大而减小，对称轴右侧是y随x的增大而增大；如果开口向下，则对称轴左侧是y随x的增大而增大，对称轴右侧是y随x的增大而减小.
6．B
【分析】
通过，利用相似三角形的性质得出BC2＝AC•CD，进而得出答案．
【详解】
解：∵，
∴＝，
∵AC＝4，CD＝2，
∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，
∴BC＝（负值已舍去）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边成比例的关系是解题关键．
7．B
【分析】
连接OC，AD，延长DE交⊙O于Q，根据平行线的性质和已知条件求出∠EOA＝∠OAB＝20°，求出∠COD，根据圆周角定理得出∠CAD＝COD，∠QDA＝QOA，求出∠CAD＝50°，∠QDA＝10°，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】
解：连接OC，AD，延长DE交⊙O于Q，

∵∠CDO＝40°，OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝40°，
∴∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠ODC＝100°，
∵∠OAB＝20°，DE∥AB，
∴∠EOA＝∠OAB＝20°，
由圆周角定理得：∠CAD＝COD，∠QDA＝QOA，
∴∠CAD＝50°，∠QDA＝10°，
∴∠CED＝∠CAD+∠QDA＝50°+10°＝60°，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理、平行线的性质，灵活使用等角的转换是关键，添加辅助线是难点
8．A
【分析】
由△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等可求得S△ABE＝2，根据相似三角形的判定证得△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】
解：∵△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等，且AE：CE＝1：2，
∴S△BCE＝2S△ABE，
∵S△BCE＝4，
∴S△ABE＝×4＝2，
∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴＝＝．
∴S△CDE＝8，
故答案选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定以及面积比等于相似比的平方，根据三角形的面积公式求出△ABE的面积的值是本题解题关键.
9．C
【分析】
设CD＝x，利用∠DAC及∠DBC的正切值，根据线段的和差故选列方程即可得出答案．
【详解】
解：由题意可知，AB＝5米，∠DAC＝37°，∠C＝90°，∠DBC＝53°，设CD＝x，
在Rt△DBC中，tan∠DBC＝tan53°＝，
∴BC＝x，AC＝5+x，
在Rt△ACD中，，
解得：x≈8.6，即CD的高度约为8.6米，
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
10．B
【分析】
连接OA，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，根据题意∠ABO＝60°，AO⊥BB′，即可得到tan∠ABO＝＝，设A（m，m2），通过证得△AOM∽△OBN，得到B（﹣m2，m），代入直线y＝﹣x即可得到关于m的方程，解方程即可求得A的坐标．
【详解】
解：连接OA，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∵点B′与点B关于原点对称，
∴OB＝OB′，
∵△ABB′为等边三角形，
∴∠ABO＝60°，AO⊥BB′，
∴∠BON+∠AOM＝90°，tan∠ABO＝=，
∴＝，
∵∠BON+∠OBN＝90°，
∴∠AOM＝∠OBN，
∵∠BNO＝∠AMO＝90°，
∴△AOM∽△OBN，
∴＝，
设A（m，m2），
∴OM＝m，AM＝m2，
∴BN＝m，ON＝m2，
∵点A在第一象限内，
∴B（﹣m2，m），
∵点B是直线y＝﹣x上一点，
∴m＝﹣•（﹣m2），
解得m＝或m＝0（舍去），
当m＝时，m2=
∴A（，），

故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数上的点的坐标特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握相关性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
11．
【分析】
根据三角函数的定义直接解答．
【详解】
解：如图：

∵在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴tanA＝＝ ．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．
12．0.84
【分析】
观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到口罩合格的概率即可．
【详解】
解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84，
∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．
故答案为：0.84．
【点睛】
本题考查了用频率估计概率，解题关键是熟练运用频率估计概率解决问题．
13．π
【分析】
连接OA，OC，根据同圆中，同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半，解得∠AOC的度数，再根据弧长公式解题即可．
【详解】
连接OA，OC，

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∴，
故答案为：π．
【点睛】
本题考查圆周角定理、弧长公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．y＝（x+2）2﹣1
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，
将二次函数y＝x2+2的图象先向左平移2个单位长度，
可得函数解析式为：
再向下平移3个单位长度后所得新函数图象的表达式为：
，即．
故答案为．
【点睛】
本题考查的是二次函数图像的平移，掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．
15．
【分析】
连接OD，如图，根据切线的性质得∠ODE＝90°，在Rt△ODE中利用正弦的定义可求出∠E＝30°，接着再在Rt△BCE中利用含30度的直角三角形三边的关系求出BC，然后利用勾股定理计算AC的长．
【详解】
解：连接OD，如图，
∵直线CE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∴∠ODE＝90°，
∵A为OE的中点，
∴OA＝AE＝4，
在Rt△ODE中，
∵sinE＝＝，
∴∠E＝30°，
在Rt△BCE中，BC＝BE＝12×＝4，
在Rt△ABC中，AC＝＝4．
故答案为4．

【点睛】
本题考查了切线的性质和解直角三角形，解题关键是连接半径，构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识进行计算．
16．
【分析】
连接CE，先证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得＝＝，可得＝，再证明△ACE∽△ABD，得＝＝，设CD＝x，根据含30°角的直角三角形的性质得BC＝2x，BD＝x，求出CE，在Rt△CDE中，根据勾股定理求出DE，即可求解．
【详解】
解：连接CE，

∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAC，
∵∠ADE＝∠ABC，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴△ACE∽△ABD，
∴＝＝，
设CD＝x，
∵CD⊥BD，∠DBC＝30°，∠DCB＝60°，
∴BC＝2x，BD＝x，
∴，
∴CE＝x，
在Rt△CDE中，DE＝＝x，
∵，
∴，
∴AD＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线，利用三角形相似解决问题．
17．
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式＝
＝
＝．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数、绝对值的求法以及实数运算法则，正确记住特殊角的三角函数是解本题的关键．
18．．
【分析】
直接利用已知得出b＝3a，进而代入化简得出答案．
【详解】
∵，
∴b＝3a，
∴＝．
【点睛】
本题考查了比例的性质和分式性质，利用等式性质求得b＝3a是解题关键．
19．（1）；（2）见解析，
【分析】
（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的的结果数为3，再根据概率公式求解可得．
【详解】
解：（1）P（小刚的爸爸被分到C组）＝；
（2）根据题意，画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组的结果有3种，
∴P（小明的爸爸和小刚的爸爸被分到同一组）＝．
【点睛】
本题考查概率的求解，简单概率问题直接利用概率公式 即可得出，复杂一些的概率题目可通过画树状图或列表来求得概率.
20．点D到桌面AB的距离约为43.4cm
【分析】
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到DF的长，再根据FG＝CB，即可求得DG的长，从而可以解答本题．
【详解】
解：过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点C作CF⊥DG，垂足为F，如图所示，

∵CB⊥AB，FG⊥AB，CF⊥FG，
∴∠B＝∠BGF＝∠GFC＝90°，
∴四边形BCFG为矩形，
∴∠BCF＝90°，FG＝BC＝18cm，
又∵∠DCB＝140°，
∴∠DCF＝50°，
∵CD＝33cm，∠DFC＝90°，
∴DF＝CD•sin50°≈33×0.77＝25.41（cm），
∴DG≈25.41+18≈43.4（cm），
答：点D到桌面AB的距离约为43.4cm．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）作直角边分别为，的直角三角形即可．
（2）作等腰直角三角形BCD即可．
【详解】
解：（1）由题意，知．
∵，
∴．
如图，Rt△ABC即为所求：

（2）∵tan∠CBD＝1，
∴∠CBD＝45°．
如图所示，点D和点D′即为所求：

∴．
【点睛】
本题考查利用勾股定理、三角函数等知识，在格点图中作符合要求的线段长度、三角形或者求解线段长度；解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题.
22．（1）；（2）
【分析】
（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．
【详解】
解：（1）如图，连接AD．

∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．

∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵•AF•BC＝•AC•AB，
∴，
∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴．
【点睛】
本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（1）二次函数的表达式为y＝﹣x2+6x﹣8；（2）
【分析】
（1）利用待定系数法，可以直接求出b和c的值，二次函数表达式也就求出来了；
（2）先对二次函数进行配方，得到最大值为x＝3时取到，从而求的C的坐标，x＝5时，有最小值，这样D的坐标能得到，最后过点C作x轴垂线，交BD于点M，以CM为底，分别求出和的面积，相加即为的面积．
【详解】
解：（1）将（2，0），（0，﹣8）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+6x﹣8．
（2）∵y＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，
∴当x＝3时，函数取得最大值，且最大值为1，
∴C（3，1）．
当x＝5时，函数在2≤x≤5的范围内取得最小值，最小值为﹣3，
∴D（5，﹣3）．
如图，连接BC，CD，BD，过点C作CM⊥x轴，交BD于点M．

设直线BD的表达式为y＝kx+b，
将（0，﹣8），（5，﹣3）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线BD的表达式为y＝x﹣8．
∵CM⊥x轴，
∴点M的横坐标为3，
将x＝3代入y＝x﹣8，
得y＝﹣5，
∴M（3，﹣5），
∴CM＝6，
∴．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及给定自变量的范围，二次函数的最值，以及利用“铅垂底，水平高”求三角形面积，能根据函数的性质找到极值点是解答此题的关键．
24．（1）见解析；（2）点C到x轴的距离为；（3）
【分析】
（1）由∠ACO＝∠AOB＝90°即可得证；
（2）过点C作CD⊥x轴于D，用30°角的三角函数即可得答案；
（3）由△COD∽△ABO得，当CD最大时最大．
【详解】
解：（1）证明：∵OA为直径，
∴∠OCA＝90°，
又∵∠BAO＝∠OAC，∠BOA＝90°，
∴△AOB∽△ACO；
（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，如图：

∵A（4，0），
∴OA＝4．
在Rt△OAC中，∠OAC＝30°，
∴，
在Rt△DAC中，∠DAC＝30°，
∴，
即点C到x轴的距离为；
（3）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，如图：

∵∠ABO＝90°﹣∠BOC，∠COD＝90°﹣∠BOC，
∴∠ABO＝∠COD，
且∠CDO＝∠AOB＝90°，
∴△COD∽△ABO，
∴．
∵直径OA＝4为定值，
∴当CD最大，即CD为半径时，取得最大值，此时CD的最大值为2，
∴的最大值为．
【点睛】
本题考查圆、直角三角形以及相似三角形的综合知识，解题的关键时熟练掌握相似的判定以及圆的相关定理.
25．（1）矩形；（2）①见解析；②；（3）四边形ACBD的面积为或
【分析】
（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析；
（2）①通过△ADF≌△CDG的性质推知DF＝DG；然后根据四边形DEFG是垂等四边形的性质知EG＝DF；最后由等量代换证得结论；
②如图1，过点G作GH⊥AD，垂足为H，首先证明△BFG为等腰直角三角形，则∠GFB＝45°；然后证得△AEF为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：BC＝3AE，BG＝2AE．代入求值即可；
（3）解：如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F，构造矩形CEDF．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝2，BC＝1．再由垂等四边形四边形ACBD的性质知．
分两种情况：当△ACB∽△BED时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB求得结果；当△ACB∽△DEB时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB求得结果．
【详解】
解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形的垂等四边形．
故答案是：矩形；
（2）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C．
又∵AF＝CG，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴DF＝DG．
∵四边形DEFG是垂等四边形，
∴EG＝DF，
∴EG＝DG．
②解：如图1，过点G作GH⊥AD，垂足为H，

∴四边形CDHG为矩形，
∴CG＝DH．
由①知EG＝DG，
∴DH＝EH．
由题意知∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AF＝CG，
∴AB﹣AF＝BC﹣CG，
即BF＝BG，
∴△BFG为等腰直角三角形，
∴∠GFB＝45°．
又∵∠EFG＝90°，
∴∠EFA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AE＝AF＝CG，
∴AE＝EH＝DH，
∴BC＝3AE，BG＝2AE．
∵BC＝n•BG，
∴．
（3）解：如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F，

∴四边形CEDF为矩形．
∵，
∴AC＝2BC．
在Rt△ABC中，，
根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2BC）2+BC2＝5，
∴AC＝2，BC＝1．
∵四边形ACBD为垂等四边形，
∴．
第一种情况：
当△ACB∽△BED时，，
设DE＝x，则BE＝2x，
∴CE＝1+2x．
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2，
即（1+2x）2+x2＝5，
解得，（舍去），
∴，，
∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB＝；
第二种情况：
当△ACB∽△DEB时，，
设BE＝y，则DE＝2y，
∴CE＝1+y．
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2，
即（1+y）2+（2y）2＝5，
解得，（舍去），
∴，，
∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB＝．
综上所述，四边形ACBD的面积为或．
【点睛】
本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大．