2021年江西省宜春市中考数学一模试卷（word版 含答案）

这是一份2021年江西省宜春市中考数学一模试卷（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江西省宜春市中考数学一模试卷
一、选择题（共6小题，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．下列四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C． D．0
2．下列计算正确的是（　　）
A．3a2+a2＝4a4 B．a2•a3＝a6
C．2a2+3a3＝5a5 D．（a2）3＝a6
3．如右图所示的是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC＝4，则EF的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，直线y1＝﹣x+1与双曲线y2＝交于A（﹣2，a）、B（3，b）两点，则当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2或0＜x＜3 B．﹣2＜x＜0或x＞3
C．x＜﹣2或0＜x＜3 D．﹣2＜x＜3
6．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点A（﹣1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（　　）

A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
二、填空题（共6小题，共18分）
7．化简（x+y）（x﹣y）＝　 　．
8．某公益机构设立了网站接受爱心捐助，旨在推动社会和谐、发展公益慈善事业．据网站统计，目前已有大约2600000人献爱心，将“2600000”用科学记数法表示为　 　．
9．已知α、β是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两实数根，则代数式αβ﹣4＝　 　．
10．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点M、N处，若∠EFM＝2∠BFM，则∠EFC的度数为　 　．

11．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，点D在BC上，且DC＝2，点M在△ABC的边上，点F为MD的中点，则当BM＝2MD时，CF的长为　 　．

三、解答题（本大题共5小题，共30分）
14．先化简，再求值：，其中a＝．
15．为了准备2021年九年级物理、化学实验操作考试，某中学对九年级学生进行了模拟训练，物理、化学各有4个不同的实验操作题目，物理实验用①、②、③、④表示，化学实验用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
（1）某位同学抽签的所有可能情况有　 　种．
（2）小明对物理的②④实验和化学的a、d实验的准备比较充分，请用画树状图或列表的方法求小明同时抽到两科都准备较充分的实验题目的概率．
16．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC的中线BD；
（2）在图2中，作一个以△ABC的中线BD为边的平行四边形BDEF．

17．在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买10瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
四、（本大题共3小题，共24分）
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点C，CD⊥x轴，tan∠BAO＝，OA＝4，OD＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点E是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E作EF⊥y轴，垂足为点F，连接OE、AF，如果S△BAF＝4S△EFO，求点E的坐标．

19．某学校共有学生2350名，学校为了解疫情期间学生对网课内容的喜欢程度，开展了一次网上问卷调查，随机抽取部分学生，按四个类别统计，其中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据图中提供信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取多少名学生进行统计调查？扇形统计图中D类所在的扇形的圆形角度数是多少？
（2）将条形统计图补充完整．
（3）估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人？
20．市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，车轮半径为31cm，∠ACD＝70°，AC＝62cm，坐垫F与点A的距离AF为13cm．
（1）求坐垫F到地面的距离．
（2）根据经验，当坐垫F到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为85m，现将坐垫F调整至坐骑舒适高度位置F′，求FF′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70≈0.94，cos70≈0.34，tan70≈2.75）

五、（本大题共2小题，共18分）
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）证明：EF2＝4OD•OP；
（3）若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的长．

22．如图，已知抛物线L1：y1＝x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L2的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD＝2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

六、（本大题共12分）
23．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．
求证：四边形ABCD是等补四边形．
探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD中，BA＝BC，连接BD，BD是否平分∠ADC？请说明理由．
运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD中，CB＝CD，其外角∠FCB的平分线交AB的延长线于点E，AB＝20，CE＝10，求BE的长．


2021年江西省宜春市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C． D．0
【分析】正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜，
∴最小的数是﹣2，
故选：B．
2．下列计算正确的是（　　）
A．3a2+a2＝4a4 B．a2•a3＝a6
C．2a2+3a3＝5a5 D．（a2）3＝a6
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法等法则计算求解判断即可．
【解答】解：A，3a2+a2＝4a2，故此选项不符合题意；
B，a2•a3＝a2+3＝a5，故此选项不符合题意；
C，2a2+3a3≠5a5，故此选项不符合题意；
D，（a2）3＝a2×3＝a6，故此选项符合题意；
故选：D．
3．如右图所示的是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，是一个正方形，正方形的上边中点与正方形的右下角顶点用虚线连接．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC＝4，则EF的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，进而证明∠BCF＝∠EFC，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理解答即可．
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，AE＝EC，
∴∠BCF＝∠EFC，
∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC＝AC＝2，
故选：B．
5．如图，直线y1＝﹣x+1与双曲线y2＝交于A（﹣2，a）、B（3，b）两点，则当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2或0＜x＜3 B．﹣2＜x＜0或x＞3
C．x＜﹣2或0＜x＜3 D．﹣2＜x＜3
【分析】当y1＞y2时，x的取值范围就是y1的图象落在y2图象的上方时对应的x的取值范围．
【解答】解：根据图象可得，当y1＞y2时，
x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜3，
故选：C．
6．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点A（﹣1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（　　）

A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
【分析】连接OB，证△AOB是等边三角形，得AB＝OA＝1，过B作BG⊥OA于点G，则AG＝OA＝，BG＝AG＝，得B（，），C（，），E（，﹣），再由题意得P，Q第一次相遇地点的坐标在点C（，），第二次相遇地点在点E（，﹣），第三次相遇地点在点A（﹣1，0），如此循环下去，即可求出第2021次相遇地点的坐标．
【解答】解：连接OB，如图所示：
∵A（1，0），O为正六边形的中心，
∴OA＝1，∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
过B作BG⊥OA于点G，
则AG＝OA＝，BG＝AG＝，
∴B（，），
∴C（，），E（，﹣），
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），
此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，
此时P，Q相遇地点的坐标在点C（，），
以此类推：第二次相遇地点在点E（，﹣），
第三次相遇地点在点A（﹣1，0），
…如此下去，
∵2021÷3＝673…2，
∴第2021次相遇地点在点E，E的坐标为（，﹣），
故选：C．

二、填空题
7．化简（x+y）（x﹣y）＝　x2﹣y2　．
【分析】根据平方差公式求出即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
故答案为：x2﹣y2．
8．某公益机构设立了网站接受爱心捐助，旨在推动社会和谐、发展公益慈善事业．据网站统计，目前已有大约2600000人献爱心，将“2600000”用科学记数法表示为　2.6×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2600000＝2.6×106，
故答案为：2.6×106．
9．已知α、β是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两实数根，则代数式αβ﹣4＝　﹣5　．
【分析】利用根与系数的关系得到αβ＝﹣1，从而得到代数式αβ﹣4的值．
【解答】解：根据题意得αβ＝﹣1，
所以αβ﹣1＝﹣1﹣4＝﹣5．
故答案为﹣5．
10．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点M、N处，若∠EFM＝2∠BFM，则∠EFC的度数为　72°　．

【分析】由折叠的性质得到∠EFM＝∠EFC，，根据已知角的关系求出所求即可．
【解答】解：由折叠得：∠EFM＝∠EFC，
∵∠EFM＝2∠BFM，
∴设∠EFM＝∠EFC＝x，则有∠BFM＝x，
∵∠MFB+∠MFE+∠EFC＝180°，
∴x+x+x＝180°，
解得：x＝72°，
则∠EFC＝72°．
故答案为：72°．
11．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为　240x＝150x+12×150　．
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，
据题题意：240x＝150x+12×150，
故答案为：240x＝150x+12×150
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，点D在BC上，且DC＝2，点M在△ABC的边上，点F为MD的中点，则当BM＝2MD时，CF的长为　3或或　．

【分析】分点M在AB上、AC上、BC上三种情况，①当点M在AB上时，如图1，过点D作DM⊥BC交AB于M，根据勾股定理求出DF的长，由直角三角形的性质求出CF的长．②当点M在BC上时，求出BM＝，MD＝，则可得出答案；③当点M在AC上时，设CM＝x，由勾股定理求出x，由直角三角形的性质可求出答案．
【解答】解：∵DC＝2，BC＝6，
∴BD＝4，
①当点M在AB上时，如图1，过点D作DM⊥BC交AB于M，

∵∠B＝30°，
∴BM＝2MD，
则MD＝BD•tanB＝4×＝，
∵点F为MD的中点，
∴DF＝DM＝，
∴CF＝＝＝．
②当点M在BC上时，
∵BD＝4，BM＝2MD，
∴BM＝，MD＝，
∵点F为MD的中点，
∴DF＝，
∴CF＝CD+DF＝．
③当点M在AC上时，如图2，

设CM＝x，
在Rt△CDM中，DM＝＝，
在Rt△BCM中，BM＝＝，
∵BM＝2MD，
∴＝2，
解得，x＝，
∴MD＝＝，
∵点F为MD的中点，
∴CF＝DM＝．
故答案为或或．
三、解答题
14．先化简，再求值：，其中a＝．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：
＝[+]÷
＝•
＝，
当a＝时，原式＝＝﹣6．
15．为了准备2021年九年级物理、化学实验操作考试，某中学对九年级学生进行了模拟训练，物理、化学各有4个不同的实验操作题目，物理实验用①、②、③、④表示，化学实验用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
（1）某位同学抽签的所有可能情况有　16　种．
（2）小明对物理的②④实验和化学的a、d实验的准备比较充分，请用画树状图或列表的方法求小明同时抽到两科都准备较充分的实验题目的概率．
【分析】（1）画出树状图得出所有等可能的情况数即可；
（2）共有16个等可能的结果，小明同时抽到两科都准备较充分的实验题目的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如图：

某位同学抽签的所有可能情况共16种．
故答案为：16．

（2）与树状图可知，共有16个等可能的结果，小明同时抽到两科都准备较充分的实验题目的结果有4个，
则小明同时抽到两科都准备较充分的实验题目的概率为＝．
16．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC的中线BD；
（2）在图2中，作一个以△ABC的中线BD为边的平行四边形BDEF．

【分析】（1）利用平行线等分线段定理取AC的中点D，连接DE即可．
（2）取格点P，Q，连接PQ，取PQ的中点E，格点F，作四边形BDEF即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图，线段BD即为所求作．
（2）如图，四边形BDEF即为所求作（答案不唯一）．

17．在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买10瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
【分析】（1）根据购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；
（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．
【解答】解：（1）设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a元、b元，
，
解得，
即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；
（2）方案一的花费为：（15×100+8×60）×0.8＝1584（元），
方案二的花费为：15×100+8×（60﹣100÷10×5）＝1580（元），
1584﹣1580＝4（元），1584＞1580，
答：学校选用方案二更节约钱，节约4元．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点C，CD⊥x轴，tan∠BAO＝，OA＝4，OD＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点E是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E作EF⊥y轴，垂足为点F，连接OE、AF，如果S△BAF＝4S△EFO，求点E的坐标．

【分析】（1）由条件可求得点A坐标及AD，由tan∠BAO＝则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式，把点A，点C坐标代入y＝kx+b求出一次函数的解析式；
（2）设出E的坐标，从而可分别表示出△BAF和EDFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得E点坐标．
【解答】解：（1）∵OA＝4，OD＝2，
∴A（﹣4，0），D（2，0），
∴AD＝OA+OD＝4+2＝6，
∵∠BAO＝∠CAD，
∴tan∠BAO＝tan∠CAD＝，
∵tan∠CAD＝，
∴CD＝tan∠CAD•AD＝×6＝3，
∵D（2，0），CD⊥x轴，
∴点C的坐标为C（2，3），
∵一次函数y＝kx+b图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内交于点C，
∴将A（﹣4，0），C（2，3）代入y＝kx+b中，
联立可得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+2，
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴将C（2，3）代入y＝中，
可得：3＝，
解得：m＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）设点E（﹣x，﹣），根据题意得，
∵点E在第三象限，
∴EF＝x，OF＝，
∴S△EFO＝EF•OF＝x•＝3，
∵由（1）可知一次函数的解析式为y＝x+2，
又∵一次函数图象与y轴交于点B，
∴令x＝0代入y＝x+2可得：y＝2，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
∴BF＝OB+OF＝2+，
∴S△BAF＝BF•OA＝（2+）×4＝2（2+），
∵S△BAF＝4S△EFO，
∴2（2+）＝4×3，
解得：x＝，
当x＝时，﹣＝﹣4，
∴E（﹣，﹣4）．
19．某学校共有学生2350名，学校为了解疫情期间学生对网课内容的喜欢程度，开展了一次网上问卷调查，随机抽取部分学生，按四个类别统计，其中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据图中提供信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取多少名学生进行统计调查？扇形统计图中D类所在的扇形的圆形角度数是多少？
（2）将条形统计图补充完整．
（3）估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人？
【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得抽取总人数，用360°乘以D类所占的百分比，计算即可得解；
（2）根据总数计算出A类的人数，然后再补图即可；
（3）利用样本估计总体的方法计算即可．
【解答】解：（1）抽取的学生总数：12÷24%＝50（人），
扇形统计图中D类所在的扇形的圆形角度数是360°×＝64.8°；

（2）A类学生人数：50﹣24﹣12﹣9＝5（人），
补全统计图如下：

（3）2350×＝1128（人），
答：该校表示“喜欢”的B类学生大约有1128人．
20．市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，车轮半径为31cm，∠ACD＝70°，AC＝62cm，坐垫F与点A的距离AF为13cm．
（1）求坐垫F到地面的距离．
（2）根据经验，当坐垫F到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为85m，现将坐垫F调整至坐骑舒适高度位置F′，求FF′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70≈0.94，cos70≈0.34，tan70≈2.75）

【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可；
（2）根据坐垫F到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为85cm，求出CF′，进而求出FF′即可．
【解答】解：（1）如图，过点F作FM⊥CD，垂足为M，

根据题意可知，CE＝31cm，AC＝62cm，AF＝13cm，
在Rt△FCM中，
FM＝FC•sin∠ACM≈（62+13）×0.94＝70.5（cm），
所以坐垫F到地面的距离为FM+CE＝70.5+31≈101.5（cm），
答：坐垫E到地面的距离约为101.5cm；
（2）如图，由题意得，当F′M′＝85×0.8＝68cm时，人骑行最舒服，
在Rt△F′CM′中，
CF′＝＝≈72.34（cm），
所以FF′＝CF﹣CF′＝62+13﹣72.34≈2.7（cm），
答：EE'的长约为2.7cm．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）证明：EF2＝4OD•OP；
（3）若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的长．

【分析】（1）先判断出PA＝PC，得出∠PAC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出Rt△AOD∽Rt△POA，得出OA2＝OP•OD，进而得出EF2＝OP•OD，即可得出结论；
（3）在Rt△ADF中，设AD＝2a，得出DF＝3a．OD＝BC＝4，AO＝OF＝3a﹣4，最后用勾股定理得出OD2+AD2＝AO2，即可得出结论．
【解答】（1）证明∵D是弦AC中点，
∴OD⊥AC，
∴PD是AC的中垂线，
∴PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；

（2）证明：由（1）知∠ODA＝∠OAP＝90°，
∴Rt△AOD∽Rt△POA，
∴，
∴OA2＝OP•OD．
又OA＝EF，
∴EF2＝OP•OD，即EF2＝4OP•OD．

（3）解：在Rt△ADF中，设AD＝2a，则DF＝3a．
OD＝BC＝4，AO＝OF＝3a﹣4．
∵OD2+AD2＝AO2，即42+4a2＝（3a﹣4）2，解得a＝，
∴DE＝OE﹣OD＝3a﹣8＝．
22．如图，已知抛物线L1：y1＝x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L2的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD＝2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由于二次函数的二次项系数表示的是抛物线的开口大小和开口方向，在平移过程中，抛物线的形状没有发生变化，所以二次项系数仍为，已知了平移后的抛物线经过x轴上的A、B两点，可由待定系数法求出平移后的抛物线解析式；
（2）由坐标轴上点的特征可得C（0，﹣3），根据两点间的距离公式得到AB，BC，AC的值，再根据等腰三角形的判定即可求解；
（3）可设P（a，a2﹣a﹣3），D（a，a2），根据PD＝2OC，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线L2的解析式为y＝x2+bx+c，经过点A（﹣1，0），B（4，0），根据题意，得，
解得
∴抛物线L2的解析式为y＝x2﹣x﹣3．

（2）△ABC的形状是等腰三角形．
理由：根据题意，得C（0，﹣3），
∵AB＝4﹣（﹣1）＝5，BC＝＝5，AC＝＝，
∴△ABC的形状是等腰三角形．

（3）存在PD＝2OC．
设P（a，a2﹣a﹣3），D（a，a2），
根据题意，得PD＝|a2﹣a﹣3﹣a2|＝|a+3|，OC＝3，
当|+3|＝6时，解得a1＝，a2＝﹣4．
∴P1（，﹣），P2（﹣4，18）．
六、（本大题共12分）
23．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．
求证：四边形ABCD是等补四边形．
探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD中，BA＝BC，连接BD，BD是否平分∠ADC？请说明理由．
运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD中，CB＝CD，其外角∠FCB的平分线交AB的延长线于点E，AB＝20，CE＝10，求BE的长．

【分析】（1）由圆内接四边形对角互补可知∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，再证AD＝CD，即可根据等补四边形的定义得出结论；
（2）过点B分别作BE⊥DC于点E，BF垂直DA的延长线于点F，证△ABF≌△CBE，得到BF＝BE，根据角平分线的判定可得出结论；
（3）连接AC，先证∠BAD＝∠BCF，推出∠BCE＝∠BAC，再证△BCE∽△CAE，利用相似三角形对应边的比相等可求出BE的长．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴弧AD＝弧CD，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是等补四边形；
（2）BD平分∠ADC，理由如下：
过点B分别作BE⊥DC于点E，BF垂直DA的延长线于点F，如图：

则∠AFB＝∠CEB＝90°，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠C+∠BAD＝180°，
又∠BAE+∠BAD＝180°，
∴∠C＝∠BAF，
∵AB＝BC，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴BF＝BE，
∴BD是∠ADC的平分线，即BD平分∠ADC；
（3）连接AC，如图：

∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
又∠BCD+∠BCF＝180°，
∴∠BAD＝∠BCF，
∵CF平分∠BCF，
∴∠BCE＝∠BCF，
由（2）知，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠BAD，
∴∠BCE＝∠BAC，
又∠E＝∠E，
∴△BCE∽△CAE，
∴＝，
∵AB＝20，CE＝10，
∴＝，解得BE＝10﹣10（﹣10﹣10舍去），
∴BE＝10﹣10．