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2021年湖南省常德市中考数学仿真模拟试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年湖南省常德市中考数学仿真模拟试卷（word版 含答案），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省常德市中考数学仿真模拟试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣7的倒数是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
2．如图图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90° B．180° C．210° D．270°
4．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10 B．a6×a4＝a24 C．a0÷a﹣1＝a D．（a2）3＝a5
5．下列适合普查的是（ ）
A．调查郑州市的空气质量
B．调查一批炸弹的杀伤范围
C．调查河南人民的生活幸福指数
D．调查全班同学对电视节目“梨园春”的知晓率
6．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）
A． B．12π C．2π D．24π
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；③a+b+c＞0；④2a﹣b＞0（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．因式分解2x2﹣8y2＝ ．
10．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
11．计算：﹣•＝ ．
12．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，则反比例函数的解析式为 ．
13．某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数，他先从鱼塘中捞出100条，将每条鱼作了记号后放回水中，再从鱼塘中捞出100条鱼，发现其中带记号的鱼有10条 条鱼．
14．自行车和三轮车共20辆，总共有52个轮子，自行车有（ ）辆，三轮车有（ ）辆．
15．现定义运算“⊗”，对于任意实数a、b，都有a⊗b＝a2﹣3a+b；如：3⊗5＝32﹣3×3+5，若x⊗2＝6，则实数x的值是 ．
16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时（x﹣y）＝0，（x+y）＝182+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝11，y＝12时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）．
三、解答题（本大题共10个小题，共72分）
17．（8分）4cos60°+（﹣1）2019﹣|﹣3+2|．
18．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2+x﹣2＝0．
20．（6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
21．（8分）已知一次函数y＝ax﹣3a2+12，请按要求解答问题：
（1）a为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？
（2）若函数图象平行于直线y＝﹣x，求一次函数的表达式；
（3）若点（0，﹣15）在函数图象上，求a的值．
22．（8分）某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在地面为水平面），结果准确到0.1m，
（1）改后的台阶坡面会加长多少？
（2）改好的台阶多占多长一段水平地面？
23．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）在扇形统计图中，a＝ ，b＝ ，C类的圆心角为 ；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率．
24．（6分）如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，且DE∥OB．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）设OB与⊙O交于点F，连接EF，若AD＝OD，求弦EF的长．
25．（8分）如图，在直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+2与x轴交于A、B两点，与直线y＝2x交于点M（1，m）．
（1）求m，b的值；
（2）已知点N，点M关于原点O对称，现将线段MN沿y轴向上平移s（s＞0），试求s的取值范围；
（3）利用尺规作图，在该抛物线上作出点G，使得∠AGO＝∠BGO（保留作图痕迹）
26．（8分）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，AH＝CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．
2021年湖南省常德市中考数学仿真模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣7的倒数是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：﹣7的倒数是﹣，
故选：D．
2．如图图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】行的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（
【解答】解：A．是轴对称图形，符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
3．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90° B．180° C．210° D．270°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C＝180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理，∠6+∠2+∠3+∠5+∠5＝360°，
∴∠1+∠6+∠3＝360°﹣180°＝180°．
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10 B．a6×a4＝a24 C．a0÷a﹣1＝a D．（a2）3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a5+a5＝2a5，故此选项错误；
B、a6×a8＝a10，故此选项错误；
C、a0÷a﹣1＝2÷＝a；
D、（a2）2＝a6，故此选项错误；
故选：C．
5．下列适合普查的是（ ）
A．调查郑州市的空气质量
B．调查一批炸弹的杀伤范围
C．调查河南人民的生活幸福指数
D．调查全班同学对电视节目“梨园春”的知晓率
【分析】利用普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查，进而分析得出即可．
【解答】解：A、调查郑州市的空气质量，故此选项错误；
B、调查一批炸弹的杀伤范围，故此选项错误；
C、调查河南人民的生活幸福指数，故此选项错误；
D、调查全班同学对电视节目“梨园春”的知晓率，适合抽样调查．
故选：D．
6．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）
A． B．12π C．2π D．24π
【分析】直接利用三视图判断出几何体，再利用圆锥侧面积公式求出答案．
【解答】解：由三视图可判断该几何体是圆锥，
底面直径为4，母线长为6，
故这个几何体的侧面积为：×4π×2＝12π．
故选：B．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；③a+b+c＞0；④2a﹣b＞0（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：抛物线的开口向上，则a＞0＜﹣5，
∴b＞0，
∴2a﹣b＜4，故④结论错误；
抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①结论正确；
当x＝﹣5时，a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故②结论错误；
当x＝1时，a+b+c＞2；
当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＜0．
故正确的为①③⑤，共3个．
故选：C．
8．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
【解答】解：a1＝3＝4×3，a2＝6＝2×4，a6＝15＝3×5，a5＝24＝4×6，…，an＝n（n+5）；
∴+++…+＝+++＝（1﹣+﹣+﹣+﹣﹣）＝﹣﹣）＝，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．因式分解2x2﹣8y2＝ 2（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．
【解答】解：2x2﹣3y2
＝2（x2﹣4y2）
＝4（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：4（x+2y）（x﹣2y）．
10．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x＞1 ．
【分析】根据函数关系即可求出x的取值范围．
【解答】解：由题意可知：
解得：x＞4
故答案为：x＞1
11．计算：﹣•＝ ．
【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝3﹣
＝8﹣
＝．
故答案为．
12．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，则反比例函数的解析式为 y＝﹣ ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：由于A是图象上任意一点，则S△AOM＝|k|＝4，
又反比例函数的图象在二、四象限，则k＝﹣2．
所以这个反比例函数的解析式是y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
13．某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数，他先从鱼塘中捞出100条，将每条鱼作了记号后放回水中，再从鱼塘中捞出100条鱼，发现其中带记号的鱼有10条 1000 条鱼．
【分析】先得到鱼塘中带记号的鱼的频率为＝，由此可估计鱼塘中带记号的鱼的概率为，然后根据鱼塘中带记号的鱼有100条可计算出鱼塘里约有鱼的条数．
【解答】解：∵100条鱼，带记号的鱼有10条，
∴估计鱼塘中带记号的鱼的概率＝＝，
而鱼塘中带记号的鱼有100条，
∴估计该鱼塘里约有鱼的条数＝100÷＝1000．
故答案为1000．
14．自行车和三轮车共20辆，总共有52个轮子，自行车有（ 8 ）辆，三轮车有（ 12 ）辆．
【分析】设自行车有x辆，三轮车有y辆，根据“自行车和三轮车共20辆，总共有52个轮子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设自行车有x辆，三轮车有y辆，
依题意得：，
解得：．
故答案为：8；12．
15．现定义运算“⊗”，对于任意实数a、b，都有a⊗b＝a2﹣3a+b；如：3⊗5＝32﹣3×3+5，若x⊗2＝6，则实数x的值是 4或﹣1 ．
【分析】根据新定义型运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x2﹣3x+6＝6，
∴x2﹣7x﹣4＝0，
∴（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x＝8或x＝﹣1．
故答案为：4或﹣6．
16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时（x﹣y）＝0，（x+y）＝182+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝11，y＝12时，用上述方法产生的密码是 113410 （写出一个即可）．
【分析】先因式分解，再代值计算．
【解答】解：4x3﹣xy4＝x（4x2﹣y3）
＝x（2x+y）（2x﹣y）．
当x＝11，y＝12时，7x+y＝22+12＝34．
2x﹣y＝22﹣12＝10．
∴产生的密码为：113410．
故答案为：113410．
三、解答题（本大题共10个小题，共72分）
17．（8分）4cos60°+（﹣1）2019﹣|﹣3+2|．
【分析】本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值和有理数的乘方3个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝4×﹣1﹣|﹣1|＝5﹣1﹣1＝6．
18．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+3（x﹣1）＜3，得：x＜2，
解不等式≥x，
则不等式组的解集为x≤0.5，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
19．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2+x﹣2＝0．
【分析】首先把括号内的式子进行通分，把除法转化为乘法计算乘法即可化简；解方程求得x的值，然后代入化简以后的式子即可求解．
【解答】解：（1﹣）÷﹣﹣）×﹣＝×﹣＝，
由x2+x﹣2＝3，得x1＝1，x5＝﹣2 （舍去），
则原式＝＝．
20．（6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量＝第一批进的数量×2可得方程．
【解答】解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2×＝，
解得 x＝30
经检验，x＝30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
21．（8分）已知一次函数y＝ax﹣3a2+12，请按要求解答问题：
（1）a为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？
（2）若函数图象平行于直线y＝﹣x，求一次函数的表达式；
（3）若点（0，﹣15）在函数图象上，求a的值．
【分析】（1）根据函数图象过原点，且y随x的增大而减小，可知a＜0，﹣3a2+12＝0，该函数为正比例函数；
（2）根据函数图象平行于直线y＝﹣x，可知a＝﹣1，从而可以得到一次函数解析式；
（3）根据点（0，﹣15）在函数图象上，可以得到一次函数解析式，从而可以得到a的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax﹣3a2+12，函数图象过原点，
∴，
解得，a＝﹣2，
即当a＝﹣2时，函数图象过原点；
（2）∵一次函数y＝ax﹣7a2+12，函数图象平行于直线y＝﹣x，
∴a＝﹣1，
∴﹣3a2+12＝﹣3×（﹣3）2+12＝9，
∴一次函数解析式是y＝﹣x+4；
（3）∵一次函数y＝ax﹣3a2+12，点（6，
∴a×0﹣3a5+12＝﹣15，
解得，a＝3或﹣3．
22．（8分）某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在地面为水平面），结果准确到0.1m，
（1）改后的台阶坡面会加长多少？
（2）改好的台阶多占多长一段水平地面？
【分析】（1）在直角三角形ABC中利用三角函数即可求得AC、然后在直角三角形ADC中求得AD的长，AD﹣AB即是所求的解．
（2）在Rt△ABC中，由BC＝AB•cos45°求得BC长，再由CD＝求得CD的长，根据BD＝CD﹣BC可得答案．
【解答】解：（1）∵在直角三角形ABC中，AC＝ABsin45°＝
在直角三角形ADC中，AD＝＝÷（米），
∴AD﹣AB＝（5﹣5）（米）≈5×（1.414﹣6）＝2.07≈2.3（米）．
即改善后的台阶坡面加长约2.1米．
（2）如图，在Rt△ABC中（米）．
在Rt△ACD中，CD＝＝＝．
∴BD＝CD﹣BC＝﹣≈2.6（米）．
答：改善后的台阶多占2.6米长的一段水平地面．
23．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）在扇形统计图中，a＝ 15 ，b＝ 60 ，C类的圆心角为 54° ；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率．
【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人）；
（2）∵C类人数为：40﹣（10+24）＝6（人），
∴C类所占百分比为×100%＝15%＝54°×100%＝60%，
∴a＝15，b＝60；
故答案为：a＝15，b＝60；
（3）列表如下：
A
B
B
C
A
BA
BA
CA
B
AB
BB
CB
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
BC
由表可知，共有12种等可能结果，
∴全是B类学生的概率为＝．
24．（6分）如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，且DE∥OB．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）设OB与⊙O交于点F，连接EF，若AD＝OD，求弦EF的长．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AB，根据平行线的性质得到∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，根据全等三角形的性质得到∠OCB＝∠OEB＝90°，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）根据直角三角形的性质得到OD＝DE＝4，推出四边形DOFE是平行四边形，得到EF＝OD＝4．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵DE∥OB，
∴∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，
∵OE＝OD，
∴∠EDO＝∠DEO，
∴∠BOC＝∠BOE，
∵OB＝OB，OC＝OE，
∴△OCB≌△OEB（SAS），
∴∠OCB＝∠OEB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AEO＝90°，AD＝OD，
∴ED＝AO＝OD，
∴OD＝DE＝8，
∵DE∥OF，DE＝OD＝OF，
∴四边形DOFE是平行四边形，
∴EF＝OD＝4，
∴弦EF的长为4．
25．（8分）如图，在直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+2与x轴交于A、B两点，与直线y＝2x交于点M（1，m）．
（1）求m，b的值；
（2）已知点N，点M关于原点O对称，现将线段MN沿y轴向上平移s（s＞0），试求s的取值范围；
（3）利用尺规作图，在该抛物线上作出点G，使得∠AGO＝∠BGO（保留作图痕迹）
【分析】（1）把点M的坐标先代入直线方程求得m的值；然后把点M的坐标（1，2）代入抛物线方程来求b的值；
（2）由对称的性质得到N（﹣1，﹣2），根据点到坐标与图形的性质和平移的性质求得s＝2设平移后的直线表达式为y＝2x+s，所以设平移后的直线表达式为y＝2x+s，与抛物线方程联立方程组，结合根的判别式的符号来求s的取值范围；
（3）在x轴上取一点P（﹣2，0），以P为圆心，OP为半径作圆，⊙P与抛物线的交点，即是所求作的点G（图中的G与G′）．当点G在x轴上方时，利用两边及夹角法推知△GPA∽△BPG．故∠PGA＝∠PBG，结合等边对等角得到：∠POG＝∠PGO．又由图中角与角间的和差关系推知：∠POG＝∠PBG+∠OGB，∠PGO＝∠PGA+∠AGO，即∠AGO＝∠BGO．同理可证：当点G（G′）在x轴下方时，结论也成立．
【解答】解：（1）把M（1，m）代入y＝2x得m＝3×1＝2．
把M（5，2）代入y＝﹣x2+bx+6得2＝﹣18+b+2，即b＝1．
（2）由（1）得y＝﹣x3+x+2，M（1
因为点N，点M关于原点O对称，﹣8）
过点N作CN⊥x轴，交抛物线于C．
所以C的纵坐标为﹣（﹣1）2+（﹣7）+2＝0．
所以C（﹣2，0）与A重合．
则CN＝AN＝2，即当s＝5线段MN与抛物线有两个公共点．
设平移后的直线表达式为y＝2x+s
由得x2+x+s﹣5＝0．
由△＝15﹣4（s﹣2）＝6，得．
即当，线段MN与抛物线只有一个公共点．
所以，当线段MN与抛物线有两个公共点时．
（3）如图，在x轴上取一点P（﹣2，以P为圆心，⊙P与抛物线的交点，即是所求作的点G（图中的G与G′）．
理由：
当点G在x轴上方时，由作图可知，
PG＝4，PA＝1．则．
又∵∠GPA＝∠BPG，
∴△GPA∽△BPG．
∴∠PGA＝∠PBG，
∵GP＝PB＝2，
∴∠POG＝∠PGO．
又∠POG＝∠PBG+∠OGB，∠PGO＝∠PGA+∠AGO，
∴∠AGO＝∠BGO．
同理可证：当点G（G′）在x轴下方时，结论也成立．
26．（8分）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，AH＝CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH＝GF，同理可得FE＝HG，即可得四边形EFGH是平行四边形；
（3）由 轴对称﹣﹣最短路径问题得到：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C．
∴在△AEH与△CGF中，，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵由（1）知，△AEH≌△CGF，同理证得△EBF≌△GDH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（3）四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′．
连接AC，
∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，
∴四边形AEG′C为平行四边形，
∴EG′＝AC．
在△EFG′中，∵EF+FG′＞EG′＝AC，
∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
2021年湖南省常德市中考数学仿真模拟试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣7的倒数是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
2．如图图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90° B．180° C．210° D．270°
4．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10 B．a6×a4＝a24 C．a0÷a﹣1＝a D．（a2）3＝a5
5．下列适合普查的是（ ）
A．调查郑州市的空气质量
B．调查一批炸弹的杀伤范围
C．调查河南人民的生活幸福指数
D．调查全班同学对电视节目“梨园春”的知晓率
6．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）
A． B．12π C．2π D．24π
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；③a+b+c＞0；④2a﹣b＞0（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．因式分解2x2﹣8y2＝ ．
10．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
11．计算：﹣•＝ ．
12．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，则反比例函数的解析式为 ．
13．某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数，他先从鱼塘中捞出100条，将每条鱼作了记号后放回水中，再从鱼塘中捞出100条鱼，发现其中带记号的鱼有10条 条鱼．
14．自行车和三轮车共20辆，总共有52个轮子，自行车有（ ）辆，三轮车有（ ）辆．
15．现定义运算“⊗”，对于任意实数a、b，都有a⊗b＝a2﹣3a+b；如：3⊗5＝32﹣3×3+5，若x⊗2＝6，则实数x的值是 ．
16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时（x﹣y）＝0，（x+y）＝182+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝11，y＝12时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）．
三、解答题（本大题共10个小题，共72分）
17．（8分）4cos60°+（﹣1）2019﹣|﹣3+2|．
18．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2+x﹣2＝0．
20．（6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
21．（8分）已知一次函数y＝ax﹣3a2+12，请按要求解答问题：
（1）a为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？
（2）若函数图象平行于直线y＝﹣x，求一次函数的表达式；
（3）若点（0，﹣15）在函数图象上，求a的值．
22．（8分）某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在地面为水平面），结果准确到0.1m，
（1）改后的台阶坡面会加长多少？
（2）改好的台阶多占多长一段水平地面？
23．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）在扇形统计图中，a＝ ，b＝ ，C类的圆心角为 ；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率．
24．（6分）如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，且DE∥OB．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）设OB与⊙O交于点F，连接EF，若AD＝OD，求弦EF的长．
25．（8分）如图，在直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+2与x轴交于A、B两点，与直线y＝2x交于点M（1，m）．
（1）求m，b的值；
（2）已知点N，点M关于原点O对称，现将线段MN沿y轴向上平移s（s＞0），试求s的取值范围；
（3）利用尺规作图，在该抛物线上作出点G，使得∠AGO＝∠BGO（保留作图痕迹）
26．（8分）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，AH＝CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．
2021年湖南省常德市中考数学仿真模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．﹣7的倒数是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：﹣7的倒数是﹣，
故选：D．
2．如图图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】行的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（
【解答】解：A．是轴对称图形，符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
3．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90° B．180° C．210° D．270°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C＝180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理，∠6+∠2+∠3+∠5+∠5＝360°，
∴∠1+∠6+∠3＝360°﹣180°＝180°．
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10 B．a6×a4＝a24 C．a0÷a﹣1＝a D．（a2）3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a5+a5＝2a5，故此选项错误；
B、a6×a8＝a10，故此选项错误；
C、a0÷a﹣1＝2÷＝a；
D、（a2）2＝a6，故此选项错误；
故选：C．
5．下列适合普查的是（ ）
A．调查郑州市的空气质量
B．调查一批炸弹的杀伤范围
C．调查河南人民的生活幸福指数
D．调查全班同学对电视节目“梨园春”的知晓率
【分析】利用普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查，进而分析得出即可．
【解答】解：A、调查郑州市的空气质量，故此选项错误；
B、调查一批炸弹的杀伤范围，故此选项错误；
C、调查河南人民的生活幸福指数，故此选项错误；
D、调查全班同学对电视节目“梨园春”的知晓率，适合抽样调查．
故选：D．
6．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）
A． B．12π C．2π D．24π
【分析】直接利用三视图判断出几何体，再利用圆锥侧面积公式求出答案．
【解答】解：由三视图可判断该几何体是圆锥，
底面直径为4，母线长为6，
故这个几何体的侧面积为：×4π×2＝12π．
故选：B．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；③a+b+c＞0；④2a﹣b＞0（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：抛物线的开口向上，则a＞0＜﹣5，
∴b＞0，
∴2a﹣b＜4，故④结论错误；
抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①结论正确；
当x＝﹣5时，a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故②结论错误；
当x＝1时，a+b+c＞2；
当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＜0．
故正确的为①③⑤，共3个．
故选：C．
8．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
【解答】解：a1＝3＝4×3，a2＝6＝2×4，a6＝15＝3×5，a5＝24＝4×6，…，an＝n（n+5）；
∴+++…+＝+++＝（1﹣+﹣+﹣+﹣﹣）＝﹣﹣）＝，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．因式分解2x2﹣8y2＝ 2（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．
【解答】解：2x2﹣3y2
＝2（x2﹣4y2）
＝4（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：4（x+2y）（x﹣2y）．
10．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x＞1 ．
【分析】根据函数关系即可求出x的取值范围．
【解答】解：由题意可知：
解得：x＞4
故答案为：x＞1
11．计算：﹣•＝ ．
【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝3﹣
＝8﹣
＝．
故答案为．
12．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，则反比例函数的解析式为 y＝﹣ ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：由于A是图象上任意一点，则S△AOM＝|k|＝4，
又反比例函数的图象在二、四象限，则k＝﹣2．
所以这个反比例函数的解析式是y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
13．某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数，他先从鱼塘中捞出100条，将每条鱼作了记号后放回水中，再从鱼塘中捞出100条鱼，发现其中带记号的鱼有10条 1000 条鱼．
【分析】先得到鱼塘中带记号的鱼的频率为＝，由此可估计鱼塘中带记号的鱼的概率为，然后根据鱼塘中带记号的鱼有100条可计算出鱼塘里约有鱼的条数．
【解答】解：∵100条鱼，带记号的鱼有10条，
∴估计鱼塘中带记号的鱼的概率＝＝，
而鱼塘中带记号的鱼有100条，
∴估计该鱼塘里约有鱼的条数＝100÷＝1000．
故答案为1000．
14．自行车和三轮车共20辆，总共有52个轮子，自行车有（ 8 ）辆，三轮车有（ 12 ）辆．
【分析】设自行车有x辆，三轮车有y辆，根据“自行车和三轮车共20辆，总共有52个轮子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设自行车有x辆，三轮车有y辆，
依题意得：，
解得：．
故答案为：8；12．
15．现定义运算“⊗”，对于任意实数a、b，都有a⊗b＝a2﹣3a+b；如：3⊗5＝32﹣3×3+5，若x⊗2＝6，则实数x的值是 4或﹣1 ．
【分析】根据新定义型运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x2﹣3x+6＝6，
∴x2﹣7x﹣4＝0，
∴（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x＝8或x＝﹣1．
故答案为：4或﹣6．
16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时（x﹣y）＝0，（x+y）＝182+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝11，y＝12时，用上述方法产生的密码是 113410 （写出一个即可）．
【分析】先因式分解，再代值计算．
【解答】解：4x3﹣xy4＝x（4x2﹣y3）
＝x（2x+y）（2x﹣y）．
当x＝11，y＝12时，7x+y＝22+12＝34．
2x﹣y＝22﹣12＝10．
∴产生的密码为：113410．
故答案为：113410．
三、解答题（本大题共10个小题，共72分）
17．（8分）4cos60°+（﹣1）2019﹣|﹣3+2|．
【分析】本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值和有理数的乘方3个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝4×﹣1﹣|﹣1|＝5﹣1﹣1＝6．
18．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+3（x﹣1）＜3，得：x＜2，
解不等式≥x，
则不等式组的解集为x≤0.5，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
19．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2+x﹣2＝0．
【分析】首先把括号内的式子进行通分，把除法转化为乘法计算乘法即可化简；解方程求得x的值，然后代入化简以后的式子即可求解．
【解答】解：（1﹣）÷﹣﹣）×﹣＝×﹣＝，
由x2+x﹣2＝3，得x1＝1，x5＝﹣2 （舍去），
则原式＝＝．
20．（6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量＝第一批进的数量×2可得方程．
【解答】解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2×＝，
解得 x＝30
经检验，x＝30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
21．（8分）已知一次函数y＝ax﹣3a2+12，请按要求解答问题：
（1）a为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？
（2）若函数图象平行于直线y＝﹣x，求一次函数的表达式；
（3）若点（0，﹣15）在函数图象上，求a的值．
【分析】（1）根据函数图象过原点，且y随x的增大而减小，可知a＜0，﹣3a2+12＝0，该函数为正比例函数；
（2）根据函数图象平行于直线y＝﹣x，可知a＝﹣1，从而可以得到一次函数解析式；
（3）根据点（0，﹣15）在函数图象上，可以得到一次函数解析式，从而可以得到a的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax﹣3a2+12，函数图象过原点，
∴，
解得，a＝﹣2，
即当a＝﹣2时，函数图象过原点；
（2）∵一次函数y＝ax﹣7a2+12，函数图象平行于直线y＝﹣x，
∴a＝﹣1，
∴﹣3a2+12＝﹣3×（﹣3）2+12＝9，
∴一次函数解析式是y＝﹣x+4；
（3）∵一次函数y＝ax﹣3a2+12，点（6，
∴a×0﹣3a5+12＝﹣15，
解得，a＝3或﹣3．
22．（8分）某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在地面为水平面），结果准确到0.1m，
（1）改后的台阶坡面会加长多少？
（2）改好的台阶多占多长一段水平地面？
【分析】（1）在直角三角形ABC中利用三角函数即可求得AC、然后在直角三角形ADC中求得AD的长，AD﹣AB即是所求的解．
（2）在Rt△ABC中，由BC＝AB•cos45°求得BC长，再由CD＝求得CD的长，根据BD＝CD﹣BC可得答案．
【解答】解：（1）∵在直角三角形ABC中，AC＝ABsin45°＝
在直角三角形ADC中，AD＝＝÷（米），
∴AD﹣AB＝（5﹣5）（米）≈5×（1.414﹣6）＝2.07≈2.3（米）．
即改善后的台阶坡面加长约2.1米．
（2）如图，在Rt△ABC中（米）．
在Rt△ACD中，CD＝＝＝．
∴BD＝CD﹣BC＝﹣≈2.6（米）．
答：改善后的台阶多占2.6米长的一段水平地面．
23．（8分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求全班学生总人数；
（2）在扇形统计图中，a＝ 15 ，b＝ 60 ，C类的圆心角为 54° ；
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率．
【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人）；
（2）∵C类人数为：40﹣（10+24）＝6（人），
∴C类所占百分比为×100%＝15%＝54°×100%＝60%，
∴a＝15，b＝60；
故答案为：a＝15，b＝60；
（3）列表如下：
A
B
B
C
A
BA
BA
CA
B
AB
BB
CB
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
BC
由表可知，共有12种等可能结果，
∴全是B类学生的概率为＝．
24．（6分）如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，且DE∥OB．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）设OB与⊙O交于点F，连接EF，若AD＝OD，求弦EF的长．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AB，根据平行线的性质得到∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，根据全等三角形的性质得到∠OCB＝∠OEB＝90°，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）根据直角三角形的性质得到OD＝DE＝4，推出四边形DOFE是平行四边形，得到EF＝OD＝4．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵DE∥OB，
∴∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，
∵OE＝OD，
∴∠EDO＝∠DEO，
∴∠BOC＝∠BOE，
∵OB＝OB，OC＝OE，
∴△OCB≌△OEB（SAS），
∴∠OCB＝∠OEB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AEO＝90°，AD＝OD，
∴ED＝AO＝OD，
∴OD＝DE＝8，
∵DE∥OF，DE＝OD＝OF，
∴四边形DOFE是平行四边形，
∴EF＝OD＝4，
∴弦EF的长为4．
25．（8分）如图，在直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+2与x轴交于A、B两点，与直线y＝2x交于点M（1，m）．
（1）求m，b的值；
（2）已知点N，点M关于原点O对称，现将线段MN沿y轴向上平移s（s＞0），试求s的取值范围；
（3）利用尺规作图，在该抛物线上作出点G，使得∠AGO＝∠BGO（保留作图痕迹）
【分析】（1）把点M的坐标先代入直线方程求得m的值；然后把点M的坐标（1，2）代入抛物线方程来求b的值；
（2）由对称的性质得到N（﹣1，﹣2），根据点到坐标与图形的性质和平移的性质求得s＝2设平移后的直线表达式为y＝2x+s，所以设平移后的直线表达式为y＝2x+s，与抛物线方程联立方程组，结合根的判别式的符号来求s的取值范围；
（3）在x轴上取一点P（﹣2，0），以P为圆心，OP为半径作圆，⊙P与抛物线的交点，即是所求作的点G（图中的G与G′）．当点G在x轴上方时，利用两边及夹角法推知△GPA∽△BPG．故∠PGA＝∠PBG，结合等边对等角得到：∠POG＝∠PGO．又由图中角与角间的和差关系推知：∠POG＝∠PBG+∠OGB，∠PGO＝∠PGA+∠AGO，即∠AGO＝∠BGO．同理可证：当点G（G′）在x轴下方时，结论也成立．
【解答】解：（1）把M（1，m）代入y＝2x得m＝3×1＝2．
把M（5，2）代入y＝﹣x2+bx+6得2＝﹣18+b+2，即b＝1．
（2）由（1）得y＝﹣x3+x+2，M（1
因为点N，点M关于原点O对称，﹣8）
过点N作CN⊥x轴，交抛物线于C．
所以C的纵坐标为﹣（﹣1）2+（﹣7）+2＝0．
所以C（﹣2，0）与A重合．
则CN＝AN＝2，即当s＝5线段MN与抛物线有两个公共点．
设平移后的直线表达式为y＝2x+s
由得x2+x+s﹣5＝0．
由△＝15﹣4（s﹣2）＝6，得．
即当，线段MN与抛物线只有一个公共点．
所以，当线段MN与抛物线有两个公共点时．
（3）如图，在x轴上取一点P（﹣2，以P为圆心，⊙P与抛物线的交点，即是所求作的点G（图中的G与G′）．
理由：
当点G在x轴上方时，由作图可知，
PG＝4，PA＝1．则．
又∵∠GPA＝∠BPG，
∴△GPA∽△BPG．
∴∠PGA＝∠PBG，
∵GP＝PB＝2，
∴∠POG＝∠PGO．
又∠POG＝∠PBG+∠OGB，∠PGO＝∠PGA+∠AGO，
∴∠AGO＝∠BGO．
同理可证：当点G（G′）在x轴下方时，结论也成立．
26．（8分）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，AH＝CF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH＝GF，同理可得FE＝HG，即可得四边形EFGH是平行四边形；
（3）由 轴对称﹣﹣最短路径问题得到：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C．
∴在△AEH与△CGF中，，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵由（1）知，△AEH≌△CGF，同理证得△EBF≌△GDH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（3）四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′．
连接AC，
∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，
∴四边形AEG′C为平行四边形，
∴EG′＝AC．
在△EFG′中，∵EF+FG′＞EG′＝AC，
∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
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