3.2.2函数的奇偶性

这是一份3.2.2函数的奇偶性，文件包含第1课迎接蚕宝宝的到来pptx、第1课迎接蚕宝宝的到来docx、为蚕建造一个家mp4、蚕的孵化mp4、观察蚕卵的样子mp4等5份课件配套教学资源，其中PPT共31页， 欢迎下载使用。

知识点1：函数的奇偶性
1.定义
题型一:函数奇偶性概念的理解
例1：给出下列结论：
①若的定义域关于原点对称，则是偶函数； ②若是偶函数，则它的定义域关于原点对称；
③若，则（）是偶函数； ④若（）是偶函数，则；
⑤若，则（）不是偶函数； ⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是；
⑦若是定义域为R的奇函数，则.
其中正确的结论是 .（填序号）
例2：若函数为奇函数，则必有（ ）
A. B. C. D.
例3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
A B C D
题型二：函数的奇偶性的判定与证明
函数的奇偶性判定方法
（1）定义法：
（2）图像法：
性质法：奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性
设的定义域分别是F、G，若F=G，则有下列结论：
例1;判断函数的奇偶性
(1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)； (3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)；
例2：分段函数的奇偶性
例8：已知函数，则（ ）.
是奇函数 B. 是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
例3：如果是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）.
B. C. D.
例4：已知则下列结论正确的是（ ）
是偶函数 B.是奇函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数
变式训练：
知识点2：奇、偶函数的图像特征（几何意义）
1.奇函数的图像特征
若一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
2.偶函数的图像特征
若一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.奇、偶函数的单调性
根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论.
（1）奇函数在关于端点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.
（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
例1：下列四个结论：
①偶函数的图像一定与轴相交；
②奇函数的图像一定经过原点；
③偶函数的图像关于轴对称；
④奇函数的图像必经过点
表述正确的个数是（ ）
1 B. 2 C. 3 D.4
例2：已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是 .
例3：（1）奇函数的局部图像如图所示，则与的大小关系为 .
（2）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如图所示，那么的值域是 .
变式训练：
定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
第二课时：函数奇偶性的应用：
知识点一：函数奇偶性的性质
偶函数的性质
若函数是定义在区间的偶函数，则具备以下性质：
（1） 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;
对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；
图像关于y轴对称；
（4）偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性
奇函数的性质
若函数f（x）是定义在区间的奇函数，则具备以下性质：
（1）定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;
（2）对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）；
（3）图像关于原点（0,0） 对称；
（4）若在处有意义，则f（0）=0;
（5）奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。
（6）奇函数在关于原点对称的区间有最大值M和最小值n，则。
题型一：
重难拓展
知识点3：函数图像的对称性
1.图像关于点成中心对称图像
结论1：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
一般结论：
2.图像关于直线成轴对称图形
结论2：函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.
一般结论：
例3-5：在定义在函数是偶函数，且.若在区间上单调递减，则（ ）.
A.在区间上单调递增，在区间上单调递增
B.在区间上单调递增，在区间上单调递减
C.在区间上单调递减，在区间上单调递增
D.在区间上单调递减，在区间上单调递减
答案：B
变式训练：若函数满足，且的最大值为4，则 .
答案：
例3-6：函数的图像的对称中心是（ ）
A.（1,2） B.（-1,-2） C.（1,-2） D.（-1,2）
答案：C
题型与方法
题型1：函数奇偶性的判断
1.一般函数的奇偶性的判断
例7:判断下列函数的奇偶性；
；
.
答案：（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）奇函数.
变式训练：已知则下列结论正确的是（ ）
是偶函数
是奇函数
是偶函数
是奇函数
答案：D
2.分段函数奇偶性的判断
例8：已知函数，则（ ）.
是奇函数
是偶函数
既是奇函数又是偶函数
既不是奇函数也不是偶函数
答案：A
例9：如果是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）.
A. B. C. D.
答案：B
例10.（1）已知函数，若，都有，求证：为奇函数.
（2）已知函数，，都有，求证：为偶函数.
（3）设函数是定义在上，证明：是偶函数，是奇函数.
答案：略
题型2：奇、偶函数图像特征的应用
例11：已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是 .
答案：
例12：（1）奇函数的局部图像如图所示，则与的大小关系为 .
（2）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如图所示，那么的值域是 .
答案：（1） （2）
题型3：函数奇偶性的应用
1.利用奇偶性求参数的值
例13：（1）若函数是偶函数，定义域为，则= ； .
（2）若为偶函数，则实数= .
（3）已知函数为奇函数，则= .
答案：（1） 0 （2）4 （3）-1
变式训练：若函数是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式= .
答案：
2.利用奇偶性求函数的值
例14：（1）已知，且，则（ ）.
A.-26 B. -18 C.-10 D.10
（2）已知为奇函数，，则（ ）.
A.-1 B. 0 C.1 D.2
（3）设函数的最大值为M，最小值为，则M+n= .
答案:（1）A （2）A （3）2
例15：设是R上的奇函数，，且当时，，则等于（ ）
A.0.5 B. -0.5 C.1.5 D.-1.5
答案：B
3.利用奇偶性求分段函数形式的解析式
例16：（1）已知函数为R上的偶函数，且当时，，则当时， .
（2）为R上的奇函数，当时，则的解析式为 .
（3）已知为奇函数，则= .
答案：（1） （2） （3）0
变式训练：若函数是偶函数，是奇函数，，则= .
答案：
4.函数奇偶性的综合应用
1.函数奇偶性与单调性综合
例17：已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[0,2]上单调递增，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
例18:：（1）已知函数在定义域[-1,1]上既是奇函数，又是减函数，若，则实数的取值范围为 .
（2）定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减，若，则实数m的取值范围为 .
答案：（1）[0,1) （2）[-1,)
2.函数奇偶性与对称性的综合
例19:（1）定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
（2）设是定义在R上的奇函数，且的图像关于直线对称，则
+ .
答案：（1）A （2）0
易错提醒
易错1： 没有搞清分段函数的概念致错
例20：判断函数的奇偶性.
答案：既不是奇函数也不是偶函数
易错2：判断含参函数的奇偶性时忽略对参数的讨论致错.
例21：已知函数，为实数，判断函数的奇偶性.
答案：时，是偶函数；时，既不是奇函数也不是偶函数
高考链接
考向1：函数奇偶性的直接考察
例23：设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.是偶函数 B.是奇函数
C.是奇函数 D.是奇函数
答案：B
例24：设函数，是奇函数，则 .
答案：1
例25：已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则 .
答案：12
例26：函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（ ）
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
答案：D
基础巩固
1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b}，则a+b=（ ）.
A.-1 B.1 C.0 D.2
2.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）.
A. B.
C. D.
3.如图奇函数在区间[3,7]上单调递减且最小值为5，那么在区间[-7，-3]上（ ）.
A.单调递增且最小值为-5 B.单调递增且最大值为-5
C.单调递减且最小值为-5 D.单调递减且最大值为-5
4.已知偶函数在区间[-3，-1]上单调递减，则的大小关系为 .
5.若定义在(-1,1)上的奇函数，则常数m，n的值分别为 .
6.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，.
（1）现已画出在y轴及y轴左侧的图像，如图所示，请把函数的图像补充完整，并根据图像写出的单调递增区间；
（2）写出函数的值域.
能力提升：
7.设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）.
A.是奇函数 B.是偶函数
C.是奇函数 B.是偶函数
8.若定义在R上的函数满足：，有+1，则下列说法一定正确的是（ ）.
A.是奇函数 B.是偶函数
C.是奇函数 D.是偶函数
9.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.无法确定，随a的变化而变化
10.已知函数是偶函数，其图像与轴有9个交点，则方程的所有实数根之和是（ ）
A.0 B.3 C.6 D.9
11.已知定义在R上的函数在上单调递减，且为偶函数，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
12.若定义：，例如
，则函数（ ）
是偶函数 B.是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
13.已知是奇函数，当时，，则的值是 .
14.函数是奇函数，且在[-1,1]上单调递增，.
（1）则在[-1,1]上的最大值为 .
（2）若对任意[-1,1]及任意[-1,1]都成立，则实数t的取值范围是 .
15.已知是定义在R上的函数，设.
（1）试判断与的奇偶性；
（2）试判断，与的关系；
（3）由此你能猜想出什么样的结论？
16.已知函数是定义在（-1,1）上的奇函数，且
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在（-1,1）上是增函数;
（3）解不等式：.
17.已知定义在上的函数满足：①
②当时，且.
判断函数的奇偶性；
判断函数在上的单调性；
求函数在区间上的最大值；
求不等式的解集.
参考答案
A
D
B
0 0
（1）图像略 的单调增区间是 （2）值域为
D
C
B
A
A
A
1
（1）1 （2）
（1）是偶函数 是奇函数 （2） （3）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
（1） （2）略 （3）
（1）为偶函数 （2）单调递增 （3）2 （4）.
定义
偶函数
一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做偶函数.
奇函数
一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做奇函数.
非奇非偶函数
既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.
定义域特征和图像特征
定义域特征：定义域必须是关于原点对称的区间
图像特征：偶函数图象关于y轴对称；奇函数图象关于原点对称
等价形式
设函数的定义域为，则有是偶函数，都有，且；是奇函数如果，都有，且.特别地，若，还可以判断是否成立.
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
在定义域内恒满足的条件
的图像的对称中心
点
点
点
在定义域内恒满足的条件
的图像的对称轴
直线
直线
直线