1.4充分条件与必要条件

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命题定义：
一般地，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.
中学数学中的许多命题可以写成“若，则”、“如果，那么”等形式.其中称为命题的条件，称为命题的结论.
充分条件与必要条件
一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出，这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件.
如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作.此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件.
3 .充要条件的概念
一般地，“若，则”和它的逆命题“若，则”均是正命题，即既有，又有,记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如概括地说，如果，那么与互为充要条件.
知识剖析：
例1：用符号“”与“”填空.
（1） ； （2）都是偶数 是偶数.
例2：下列说法是否正确？请说明理由.
是=0的充分条件；
是的充分条件；
是的必要条件.
例3：（浙江高考题）设是实数，则“”是“”的（ ）
充分不必要条件 B.必要不充分条件
充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
例4．（多选题）“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
变式训练：
1．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．命题，命题，命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（ ）条件．
A．充分B．必要C．充分必要D．既非充分又非必要
4．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．若集合，，其中为实数．
（1）若是的充要条件，则________；
（2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：__________；（答案不唯一，写出一个即可）
4.充分条件与必要条件的传递性
充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下：
（1）若是的充分条件，是的充分条件，即，则有，即是的充分条件；
（2）若是的必要条件，是的必要条件，即，则有，即是的必要条件；
（3）若是的充要条件，是的充要条件，即，则有，即是的充要条件；
例1：已知都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，那么：
是的什么条件？
是的什么条件？
是的什么条件？
变式训练：
1．已知都是q的充分条件，p是q的必要条件，r是p的必要条件，则（ ）
A．s是r的既不充分也不必要条件B．s是p的必要条件
C．q是r的必要不充分条件D．p是r的充要条件
2．如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分不必要条件，那么丙是甲的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
知识点2：从集合角度看充分、必要条件
1.依据
设集合.若具有性质，则；若具有性质，则
若，就是说具有性质，则必有性质，即类似地，与等价。与等价.
2.结论
如果把研究的范围看成集合A，把研究的范围看成集合B，则可得下表.
3.适用范围
当所要研究的含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关所描述的对象可以用集合表示，可以借助集合的包含关系，利用Veen图或者数轴解题.
例1：设，则是的（ ）
充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
例2：从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空.
“”是“”的 ；
“”是“”的 .
例3：已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .
例4．若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
变式训练：
1.集合，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.（多选题）已知，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（ ）
A．B．1C．3D．5
3．已知全集为，集合，.
（1）求；
（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
基础巩固：
1.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今.“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A.必要条件 B.充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
2.已知集合，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.的一个必要不充分条件是（ ）.
A. B.
C. D.
5.下面四个条件中，使成立的充分不必要条件是 （ ）.
A. B.
C. D.
6.条件甲：是条件乙：的（ ）.
A.既不充分也不必要条件 B.充要条件
C.充分不必要条件 D. 必要不充分条件
7.设集合，那么“或”是“”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
综合提升
8设为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得”是“∅”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设为实数，则“”是“”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.设甲、乙丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）.
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是乙的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
11.若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则（ ）.
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“”的必要不充分条件
C.“”是“”的充要条件
D.“”是“”的既不充分也不必要条件
12.设是正数，则“均为偶数”是“为偶数”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.设M、N是两个集合，则“∅”是“∅”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
13.对任意实数，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件；
②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；
③“”是“”的充分条件；
④“”是“”的必要条件.
其中真命题的个数是（ ）.
1 B. 2 C. 3 D. 4
14.设集合，，那么点P（2,3）的充要条件是（ ）.
A. B.
C. D.
15.已知，，“”是“”的必要条件但不是充分条件，则实数的取值范围是 .
16．已知集合，集合.
（1）求集合；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
参考答案
基础巩固：
A
A
B
A
A
B
B
综合提升：
C
D
A
B
A
B
A
.
17【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，故；（2）由得，由是的必要条件，知.
①当，即时，，则，解得；②当，即时，，则，解得； ③当，即时，，不满足.综上可得，实数的取值范围为.