1.2集合间的基本关系

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（1）Veen图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Veen图.
例1：用Veen图表示集合之间的关系：，
（2）数轴法
对于由连续实数组成的集合，通常用数轴表示，在数轴上，若端点值是集合中元素，则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示.
例1：集合用数轴分别表示如图：
变式训练：
1：图中反映的是“文学作品”、“散文”、“小说”、“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容：
A为 ；B为 ；C为 ；D为 .
2：已知集合A=，集合B=，则集合A与B的关系是 .
知识点2：子集
例1：给出下列说法：
①任意集合必有子集；②若集合，则A中元素的个数一定少于集合B中的元素个数；③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，集合C是集合D的子集，则集合A是集合D的子集；④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B，则集合B是集合A的子集，其中正确的是（ ）
②③ B.①③④ C.①③ D.①②④
例2：设集合，且，则的值为 .
变式训练：
1．设集合，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，且，则实数x的值是
A．-1B．1C．3D．4
3．集合子集的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．给出下列说法：①；②；③；④.其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
知识点3：集合的相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，若且，则A=B.
例1：若{1，a，}＝{0，a2，a＋b}，则a2 018＋b2 018＝________.
变式训练：
1．设集合，，若A＝B，则______
2. 已知，若A=B，则实数的取值范围为 .
知识点4：真子集
例1：在“新冠肺炎”疫情期间，某社区男、女党员自发组成自愿者队伍，参加社区防疫工作.若集合A={参与防疫工作的志愿者}，集合B={参与防疫工作的男党员}，集合C={参与防疫工作的女党员}，则下列关系正确的是（ ）
B. C. D.
例2：指出下列各组集合之间的关系：
（1）
（2），B=；
（3）；
（4），.
变式训练：
1.已知集合A={1,2,3}，B={2,3}，则（ ）
A.A=B B. C.AB D.BA
2．设集合，，则满足的实数的一切值为________.
知识点5：空集
1.空集的定义
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
2.空集的性质
（1）空集是任何集合的子集；
（2）空集的任何非空集合的真子集，即∅A（A为非空集合）.
由上述性质可知空集只有一个子集，即它本身.
辨析明理：
∅、0、{0}、{ ∅}之间的关系：
例1：下面四个集合中，表示空集的是（ ）.
{0} B.
C. D.
例2:若集合∅，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
变式训练：
1.(多选)给出下列选项,其中正确的是 ( )
A.∅∈{{∅}}B.∅⊆{{∅}} C.∅∈{∅} D.∅{∅}
2.(多选)下列说法中,正确的是 ( )
A.空集是任何集合的真子集
B.若A⫋B,B⫋C,则A⫋C
C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D.若不属于B的元素一定不属于A,则A⊆B
3.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16}.
(1)若A为非空集合,求实数a的取值范围;
(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.
4.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}.
(1)若⌀⫋A,求实数a的取值范围;
(2)若B={x|x2-x=0},且A⊆B,求实数a的取值范围.
知识点6：有限集合的子集个数
对于集合A的子集我们有如下结论：
例1：已知集合，则集合A的子集个数为（ ）.
A.3 B.4 C.7 D.8
例2：已知集合M满足⫋M，则有满足条件的集合M的个数是（ ）.
A.6 B.7 C.8 D.9
变式训练：
1.设集合A={1,2,3},则A的真子集的个数是 ( )
A.8 B.7 C.4 D.3
2.已知集合M满足{3,4}⊆M⊆{3,4,5,6},则满足条件的集合M有 个.
3.已知集合A={-1,0,1},则A的子集中含有元素0的子集共有 ( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
4.若x∈A,∈A,则称A是伙伴关系集合.集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系集合的个数是 ( )
A.31B.7 C.3D.1
课堂练习
1：已知集合，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C.∅ D.{∅}⫋
答案：A
2：已知集合，则A，B，C满足的关系是（ ）
A=B⫋C B. A⫋B=C C. A⫋B⫋C D.B⫋C⫋A
答案：B
3：已知集合A={1,3,5},则集合A的所有非空子集的元素之和为 .
答案：36
4：已知集合A=，A⫋B，求满足条件的集合P.
答案：∅或{2}或{3}
5：已知集合，若，则的取值范围为 .
答案：
6：已知集合A=，B={1，2，3}，那么（ ）.
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
7：已知集合
若B⫋A，求实数m的取值范围；
若，求实数m的取值范围.
答案：（1） （2）不存在m使得.
8：已知集合，是否存在实数使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案：当时，
基础巩固
1.已知下列四个命题：
① ②B⫋C，则A⫋C；
③若A⫋B且BC，则A⫋C； ④若A⫋B且B⫋C，则A⫋C.
其中正确命题的个数是（ ）
1 B. 2 C. 3 D. 4
2.满足⫋的集合M共有（ ）
A.6个 B. 7个 C. 8个 D.15个
3.已知集合U=R，则正确表示集合U，M={-1,0,1},N=之间的Veen图是（ ）.
4.集合M=,则（ ）
A. B.N⫋M C.M⫋N D.M与N没有相同的元素
5.设结合A={-1,1}，集合B=，则使得的的所有取值构成的集合是 .
6.已知∅⫋，则实数的取值范围是 .
7.已知集合A=
（1）若，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得A=B，？若存在，求出实数m的范围；若不存在，请说明理由.
综合提升
8.集合A=，B=，若A=B，则实数x的取值集合为（ ）
A.{} B.{} C.{} D.{}
9.下列四个结合中，是空集的是（ ）
A. B.
C. D.
10.集合，，则下列关系正确的是（ ）.
A. A=B B.B⫋A C.A D.
11.同时满足①，②的非空集合M的个数为（ ）
A. 16 B.15 C. 7 D. 6
12.若一个集合中含有个元素，则称该元素集合为“元集合”，已知集合，则其“2元子集”的个数为（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
13.设集合A=，集合B=，若，则实数的取值范围是 .
14.已知集合A=，若，且M中至少有一个偶数，则这样的集合M的个数为 .
15.已知三个集合，同时满足B⫋A，CA的实数是否存在？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由.
参考答案
D
B
B
C
{-1,0,1}
（1）；（2）不存在.
A
D
10.B
11.C
12.A
13.
14. 12
15.存在满足要求.
∅与0
∅与{0}
∅与{ ∅}
相同的
都表示无的意思
都是集合
都是集合
不同点
∅是集合，0是实数
∅中不含任何元素；{0}含一个元素0
∅不含任何元素；{ ∅}含元素，该元素是∅
关系
0∅
∅{0}
∅{ ∅}
集合A
A的所有子集
子集个数
真子集个数
非空真子集个数
∅,
1
0
∅,,,
3
2
∅,,,,,
,,
7
6
猜想：A=