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2021年山东省青岛市即墨区中考一模数学试题（word版 含答案）
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这是一份2021年山东省青岛市即墨区中考一模数学试题（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省青岛市即墨区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．5
2．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．习近平同志在十九大报告中指出：农业农村农民问题是关系到国计民生的根本性问题，我国现有农村人口约为589 730 000人，将589 730 000用科学记数法表示为（ ）
A．589 73×104 B．589.73×106 C．5.8973×108 D．0.58973×108
4．下列运算正确的是( )
A． B．
C． D．
5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
6．如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（2，-2） C．（3，-2） D．（-1，4）
7．如图，矩形ABCD中，AB=12，点E是AD上的一点，AE=6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是( )
A．12.5 B．12 C．10 D．10.5
8．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．计算：=_________．
10．一组数据6，4，x，3，2的平均数是5，则这组数据的方差为_________．
11．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为4cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的表达式为，当y1＞y2时，x的取值范围是_________．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB′与AD的交点C′处，DF=_______．
14．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若，则PB+PC＝_____．
三、解答题
15．如图，有一块三角形材料(△ABC)，请你在这块材料上作一个面积最大的圆．
16．（1）化简：
（2）解不等式组：
17．某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成两幅不完整的统计图如图所示，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽取______名学生进行调查；并补全条形图；
（2）扇形统计图中“步行”所在扇形的圆心角为______．
（3）如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？
18．袋子中装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外其余都相同．小丽和小红做摸球游戏，约定游戏规则是：小丽先从袋中任意摸出1个球记下颜色后放回，小红再从袋中摸出1个球记下颜色后放回，如果两人摸到的球的颜色相同，小丽赢，否则小红赢．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．
19．某幼儿园准备改善原有滑梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减为35°，已知原滑梯AB的长为5米，为了改造后新滑梯的安全，滑梯前方必须有2米的空地，请问距离原来滑梯B处3米的大树对滑梯的改造有影响吗？（sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，Sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
20．为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套型一体机.
（1）求今年每套型、型一体机的价格各是多少万元
（2）该市明年计划采购型、型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套型一体机的价格比今年上涨25%，每套型一体机的价格不变，若购买型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
21．已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
22．即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？
（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
23．小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，BC=a=1，AC=b=，AB=c=2，那么．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系”．
这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“”的关系是否成立？ 答：______________．
（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：
如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴sinA=______________，sinB=______________．
∴=_____________，=____________．
∴
同理，过点A作AH⊥BC于H，可证
∴
请将上面的过程补充完整．
（3）运用上面结论解答下列问题：
①如图4，在△ABC中，如果∠A=75°，∠B=60°，AB=6，求AC的长．
②在△ABC中，如果∠B=30°，AB=，AC=2，那么△ABC内切圆的半径为______．
24．已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，直线PM交BC于点P，交AC于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，过点P作PQ⊥AB，交AB于点Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：
（1）当t为何值时，QM//BC？
（2）设四边形ANPM的面积为y(cm2)，试求出y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【分析】
根据绝对值的定义即可解答．
【详解】
解：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了绝对值的定义，负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
2．D
【分析】
根据轴对称和中心对称图形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
选项A是中心对称图形，不是轴对称图形，故不正确；
选项B不是中心对称图形，是轴对称图形，故不正确；
选项C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；
选项D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称和中心对称图形的性质，从而完成求解．
3．C
【详解】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，
589 730 000=5.8973×108，
故选C.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．D
【分析】
根据合并同类项的法则、积的乘方，完全平方公式以及平方差公式分别化简即可．
【详解】
A．和不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
B．，故该选项计算错误，不符合题意；
C．，故该选项计算错误，不符合题意；
D．，故该选项计算正确，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键．
5．B
【分析】
根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．
故选B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
6．D
【分析】
根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标．
【详解】
解：如图所示：A的坐标为（4，2），向上平移1个单位后为（4，3），再绕点P逆时针旋转90°后对应点的坐标为（-1，4）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键．
7．D
【分析】
利用“ASA”易证△EDG≌△FCG，从而求得DE=CF，，根据矩形的性质，设BC=x，则DE=x-6，DG=6，BF=2x-6，根据垂直平分线的性质求得，最后在中根据勾股定理列方程求出x即可．
【详解】
解：在矩形ABCD中，AD=BC，AB=CD=12，∠D=∠DCF=90°，
∵G为CD中点，
∴DG=CG．
又∵∠EGD=∠FGC，
∴，
∴DE=CF，．
设BC=x，则，，．
又∵BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，
∴．
∴在中，，即，
解得：x=10.5
则BC的长是10.5．
故选D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理，题目难度不大有一定的综合性，掌握相关性质定理正确列出方程是解题关键．
8．C
【分析】
直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
【详解】
解：由方程组得ax2＝−a，
∵a≠0
∴x2＝−1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【点睛】
本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
9．
【分析】
根据分母有理化、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可求得答案．
【详解】
解：
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
10．8
【分析】
先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算即可．
【详解】
解：∵数据6、4、x、3、2平均数为5，
∴（6+4+x+3+2）÷5=5，
解得：x=10，
∴这组数据的方差是×[(6-5)2+(4-5)2+(10-5)2+(3-5)2+(2-5)2]=8．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了方差，解题的关键是掌握算术平均数和方差的定义．
11．
【分析】
根据旋转和含角的直角三角形的性质，可求出和BO、DO的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积．
【详解】
如图可知，
又已知，是由绕圆心O逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴ ，，
．
故答案为π．
【点睛】
本题考查旋转和含角的直角三角形的性质以及扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键．
12．0＜x＜1或x＜﹣6
【分析】
过点A、B分别作AE⊥x轴于E，BD⊥x轴于D，易证△AEO≌△ODB，可得求点B坐标，再利用待定系数法求出双曲线和直线的解析式，然后联立方程组求出交点的横坐标，根据图象即可确定x的取值范围．
【详解】
解：如图，过点A、B分别作AE⊥x轴于E，BD⊥x轴于D，则∠AEO=∠ODB=90°，
∵A（﹣3，1）
∴AE=1，OE=3，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOD=90°，又∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠AOE=∠OBD，
∴△AEO≌△ODB(AAS)，
∴OD=AE=1，BD=OE=3，
∴B（1，3），
将B（1，3）坐标代入中，得：k1=1×3=3，
∴，
将A（﹣3，1）、B（1，3）代入直线的表达式中，
得：，解得：，
∴，
由解得：，，
∴交点C坐标为（﹣6，），
根据图象可知，当y1＞y2时，双曲线位于直线的上方，
∴x的取值范围为0＜x＜1或x＜﹣6，
故答案为：0＜x＜1或x＜﹣6．
【点睛】
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、函数与不等式的关系，解答的关键是求得双曲线和直线的交点坐标，会利用数形结合思想求解不等式的解集．
13．
【分析】
连接CC'，可以得到CC'是∠EC'D的平分线，所以CB'=CD，又AB'=AB，所以B'是对角线中点，AC=2AB，所以∠ACB=30°，即可得出答案．
【详解】
连接CC'．
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B'处，
又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB'与AD的交点C'处，
∴EC=EC'，
∴∠1=∠ECC'．
∵AD∥BC，
∴∠DC'C=∠ECC'，
∴∠1=∠DC'C．
在△CC'B'与△CC'D中，
∵，
∴△CC'B'≌△CC'D，
∴CB'=CD，∠ACC'=∠DCC'．
又∵AB'=AB，
∴AB'=CB'，
∴B'是对角线AC中点，
即AC=2AB=8，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，∠ACC'=∠DCC'=30°，
∴∠DC'C=∠1=60°，
∴∠DC'F=∠FC'C=30°，
∴C'F=CF=2DF．
∵DF+CF=CD=AB=4，
∴DF．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答本题要抓住折叠前后的图形全等的性质，得出CC'是∠EC'D的平分线是解答本题的关键．
14．1+
【分析】
作CH⊥AB于H,首先证明AB＝BC,再证明△PAB∽△PBC,可得
,即可求出PB、PC.
【详解】
解：作CH⊥AB于H．
∵CA＝CB,CH⊥AB,∠ACB＝120°,
∴AH＝BH,∠ACH＝∠BCH＝60°,∠CAB＝∠CBA＝30°,
∴AB＝2BH＝2•BC•cos30°＝BC,
∵∠PAC＝∠PCB＝∠PBA,
∴∠PAB＝∠PBC,
∴△PAB∽△PBC,
∴,
∴PA＝,
∴PB＝1,PC＝,
∴PB+PC＝1+,
故答案为1+.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角函数等,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角函数.
15．作图见解析
【分析】
分别作∠B和∠C的角平分线，它们的交点即为圆心O，再过O点作任意一边的垂线，以垂线段长为半径作圆，该圆为三角形的内切圆，即是能在这块材料上作出的面积最大的圆．
【详解】
解：如图所示，为△ABC的内切圆．
尺规作图如下：
【点睛】
此题主要考查的是三角形内切圆的意义及作法， 由于三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，可作△ABC的任意两角的角平分线，它们的交点即为△ABC的内切圆的圆心(设圆心为O)，以O为圆心、O点到任意一边的距离长为半径作圆，即可得出△ABC的内切圆，即为能作出的最大圆，解决本题的关键是学生能正确理解三角形的内切圆并掌握其作法.
16．（1）；（2）-2＜x≤-1
【分析】
（1）按照分式的混合运算顺序进行，先算括号里的加法运算，再算除法运算，最后算减法运算；
（2）分别求出每个不等式的解集，再求两个不等式解集的公共部分即得不等式组的解集．
【详解】
（1）
；
（2）
解第一个不等式得解集：x>-2；
解第二个不等式得解集：x≤-1；
故不等式组的解集为：-2＜x≤-1．
【点睛】
本题分别考查了分式的混合运算及解一元一次不等式组，对于分式的混合运算要注意运算顺序不要出错，最后要化成最简分式；对于解一元一次不等式组，在使用不等式的基本性质3时，不等号的方向要改变，切记．
17．（1）50；见解析；（2）93.6°；（3）300名
【分析】
（1）根据频数÷百分比=样本容量求出调查的学生数，根据骑自行车所占的百分比求出骑自行车的人数，补全条形图；
（2）用步行人数所占的百分比乘以360°即可得出结论；
（3）根据骑自行车上学的学生所占的百分比求出该校骑自行车上学的学生数．
【详解】
解：（1）1-40%-20%-14%=26%，则m=26%，
由统计图可知，乘公交车的学生有20人，占40%，
则学生数为：20÷40%=50，
骑自行车人数：50×20%=10，
条形图如图：
（2）360°
故答案为：93.6°；
（3）该校骑自行车上学的学生：1500×20%=300人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．不公平，见解析
【分析】
先画出树状图，然后求出相应的概率，比较概率是否相等即可做出判断．
【详解】
解：这个游戏不公平，理由为：
根据题意，画出树状图如下：
一共有9种等可能的结果，其中两人摸到的球的颜色相同的有5种结果，颜色不同的有4种结果，
∴P（小丽赢）=，P（小红赢）=，
∵≠，
∴这个游戏不公平．
【点睛】
本题考查游戏的公平性、画树状图或列表法求概率，解答的关键是得出相应的概率，概率相等游戏就公平，否则就不公平．
19．没有影响，见解析
【分析】
在中，利用三角函数求出BC和AC长．再在中，利用三角函数求出CD长，从而求出BD长，最后求出D点到大树的距离和2米作比较即可．
【详解】
在中，，
∴，即；，即．
∴米；米．
在中，，
∴，即，
∴米．
∴米．
∵，
∴没有影响．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
20．（1）今年每套型的价格各是1.2万元、型一体机的价格是1.8万元；（2）该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．
【分析】
(1)直接利用今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套型一体机，分别得出方程求出答案；
(2)根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．
【详解】
(1)设今年每套型一体机的价格为万元，每套型一体机的价格为万元，
由题意可得：，
解得：，
答：今年每套型的价格各是1.2万元、型一体机的价格是1.8万元；
(2)设该市明年购买型一体机套，则购买型一体机套，
由题意可得：，
解得：，
设明年需投入万元，
，
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴当时，有最小值，
故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键．
21．（1）见解析；（2）当AB=AC时，四边形ADCF是正方形，见解析
【分析】
（1）根据全等三角形的判定解答即可；
（2）由全等三角形的性质和菱形的判定四边形ADCF是菱形，根据正方形的判定解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，D是BC的中点，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）当AB=AC时，四边形ADCF是正方形，
理由：由（1）知，△AEF≌△DEB，则AF=DB，
∵DB=DC，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴菱形ADCF是正方形．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，全等三角形的性质以及菱形的判定，正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答．
22．（1）；（2）能正常进入；（3）650元
【分析】
（1）根据题意可写出E点，N点和抛物线顶点坐标．再设该抛物线表达式为，即利用待定系数法可求出该抛物线解析式．
（2）令，即求出方程的两个根，比较两个根的差的绝对值和3米的大小即可判断．
（3）设B点最标为(t，0)，需要花费W元，根据题意可知A点坐标为(t，)，C点坐标为(4-t，0)，由此即可求出AB、CD和AD的长，即可列出W和t的二次函数关系式，最后利用二次函数的顶点式求出其最值即可．
【详解】
（1）根据题意可知E(0，4)、N(4，4)、抛物线顶点(2，6)．
设该抛物线表达式为，
∴，解得：，
由图可知自变量x的取值范围是．
故该抛物线表达式为．
（2）对于，当时，即，
解得：，，
∵，
∴该消防车能正常进入．
（3）设B点最标为(t，0)，需要花费W元，
根据题意可知A点坐标为(t，)，C点坐标为(4-t，0)，
∴，．
∴，即．
∵，
∴最多需要花费650元．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，正方形的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
23．（1）成立；（2）；；； ；（3）①；②
【分析】
（1）根据三角函数的定义得到于是得到结论；
（2）过点C作CD⊥AB于D．根据三角函数的定义得到，，推出，．同理，过点A作AH⊥BC于H，可证，即可得到结论；
（3）①把∠C=45°，∠B=60°，AB=c=6，代入，解方程得到b=，即可得到结论；②过△ABC内切圆的圆心O作OE⊥AB，OG⊥AC，OF⊥BC，则OG=OE=OF=r，证明和，根据勾股定理求出BC的长即可得出结论．
【详解】
解；（1）成立，
理由如下：∵
∴
∴
（2）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．
过点C作CD⊥AB于D．设CD=h，
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴，．
∴，．
∴．
同理，过点A作AH⊥BC于H，可证．
∴．
故答案为：；；； ；
（3）①∵∠A=75°，∠B=60°，
∴∠C=45°
∴把∠C=45°，∠B=60°，AB=c=6，代入得：
，
∴，
解得：b=，
即AC=；
②∵AB=，AC=2，
∴
∴
过△ABC内切圆的圆心O作OE⊥AB，OG⊥AC，OF⊥BC，则OG=OE=OF=r，
∵
∴AG=AE=OE=OG=r
∴四边形AEOC是正方形
∵AC=2，
∴CG=2-r
∵AB=
∴BE=-r
连接OC，OB，
∵OC为的平分线，
∴
又，OC=OC
∴
同理可得
∴CF=CG=2-r，BF=BE=-r
而
∴BC=4
∴BC=CF+BF=2-r+-r=4
解得，r=
故答案为：
【点睛】
本题锐角三角函数的定义、勾股定理以及三角形的内切圆，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用．
24．（1）；（2）；（3）不存在，见解析；（4）存在， t=4
【分析】
（1）先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得BD=DC=6，AD=8，再根据平行线成比例求得 BQ=CM=，然后在Rt△ABD和Rt△PBQ中，由cos∠B=求得BQ=，由BQ=CM列方程求解t值即可；
（2）先证明△PDN∽△ADB，和△CPM∽△CDA，根据相似三角形的性质求得和，再由求解即可；
（3）先假设存在，根据= 整理得，根据根的判别式△即可做出判断；
（4）先假设存在，过点M作ME⊥PQ于E，则PE=PQ，利用锐角的三角函数求得，，进而求得t值，即可得出结论．
【详解】
解：（1）由题意知，PC=t，BP=12﹣t，
∵AB=AC，AD⊥BC，AB=AC=10，BC=12，
∴BD=DC=6，AD=8，
∵QM∥BC，
∴，
∵AB=AC，
∴BQ=CM，
∵PM⊥BC，AD⊥BC，
∴ PM∥AD，
∴即，
∴CM=，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
cos∠B=，即，
解得：BQ=(12﹣t)= ，
由BQ=CM得：=，
解得：，
故当 时，QM∥BC；
（2）∵∠B+∠BAD=90°，∠DPN+∠B=90°，
∴∠BAD=∠DPN，又∠PDN=∠ADB=90°，
∴△PDN∽△ADB，
∴，即，
解得：，
∴，
∵PM∥AD，
∴△CPM∽△CDA，
∴即，
解得：，
∴，
∴==，
即y与t的函数关系式为；
（3）假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的，
则= ，
整理得：，
∵△= =﹣1536＜0，
∴此方程无解，
∴不存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的；
（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上，则MP=MQ，
过点M作ME⊥PQ于E，则PE=PQ，∠PEM=90°，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
sin∠B= ，
解得：，
∵∠BPQ+∠B=90°，∠BPQ+∠MPE=90°，
∴∠B=∠MPE，
在Rt△PEM和Rt△BDA中，
cos∠B=cos∠MPE，即，
解得：，
由PE=PQ得=，
解得：t=4，
∵0＜t＜6，
∴存在某一时刻t=4时，点M在线段PQ的垂直平分线上．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、锐角的三角函数、平行线的性质、等角的余角相等、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，综合性强，难度适中，解答的关键是熟练掌握各个知识的性质，结合图形，寻找知识点间的联系与运用，进而推理和计算．
2021年山东省青岛市即墨区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．5
2．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．习近平同志在十九大报告中指出：农业农村农民问题是关系到国计民生的根本性问题，我国现有农村人口约为589 730 000人，将589 730 000用科学记数法表示为（ ）
A．589 73×104 B．589.73×106 C．5.8973×108 D．0.58973×108
4．下列运算正确的是( )
A． B．
C． D．
5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
6．如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（2，-2） C．（3，-2） D．（-1，4）
7．如图，矩形ABCD中，AB=12，点E是AD上的一点，AE=6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是( )
A．12.5 B．12 C．10 D．10.5
8．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．计算：=_________．
10．一组数据6，4，x，3，2的平均数是5，则这组数据的方差为_________．
11．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为4cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的表达式为，当y1＞y2时，x的取值范围是_________．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB′与AD的交点C′处，DF=_______．
14．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若，则PB+PC＝_____．
三、解答题
15．如图，有一块三角形材料(△ABC)，请你在这块材料上作一个面积最大的圆．
16．（1）化简：
（2）解不等式组：
17．某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成两幅不完整的统计图如图所示，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽取______名学生进行调查；并补全条形图；
（2）扇形统计图中“步行”所在扇形的圆心角为______．
（3）如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？
18．袋子中装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外其余都相同．小丽和小红做摸球游戏，约定游戏规则是：小丽先从袋中任意摸出1个球记下颜色后放回，小红再从袋中摸出1个球记下颜色后放回，如果两人摸到的球的颜色相同，小丽赢，否则小红赢．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．
19．某幼儿园准备改善原有滑梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减为35°，已知原滑梯AB的长为5米，为了改造后新滑梯的安全，滑梯前方必须有2米的空地，请问距离原来滑梯B处3米的大树对滑梯的改造有影响吗？（sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，Sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
20．为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套型一体机.
（1）求今年每套型、型一体机的价格各是多少万元
（2）该市明年计划采购型、型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套型一体机的价格比今年上涨25%，每套型一体机的价格不变，若购买型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
21．已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
22．即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；
（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？
（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
23．小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，BC=a=1，AC=b=，AB=c=2，那么．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系”．
这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“”的关系是否成立？ 答：______________．
（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：
如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴sinA=______________，sinB=______________．
∴=_____________，=____________．
∴
同理，过点A作AH⊥BC于H，可证
∴
请将上面的过程补充完整．
（3）运用上面结论解答下列问题：
①如图4，在△ABC中，如果∠A=75°，∠B=60°，AB=6，求AC的长．
②在△ABC中，如果∠B=30°，AB=，AC=2，那么△ABC内切圆的半径为______．
24．已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，直线PM交BC于点P，交AC于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，过点P作PQ⊥AB，交AB于点Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：
（1）当t为何值时，QM//BC？
（2）设四边形ANPM的面积为y(cm2)，试求出y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【分析】
根据绝对值的定义即可解答．
【详解】
解：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了绝对值的定义，负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
2．D
【分析】
根据轴对称和中心对称图形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
选项A是中心对称图形，不是轴对称图形，故不正确；
选项B不是中心对称图形，是轴对称图形，故不正确；
选项C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；
选项D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称和中心对称图形的性质，从而完成求解．
3．C
【详解】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，
589 730 000=5.8973×108，
故选C.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．D
【分析】
根据合并同类项的法则、积的乘方，完全平方公式以及平方差公式分别化简即可．
【详解】
A．和不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
B．，故该选项计算错误，不符合题意；
C．，故该选项计算错误，不符合题意；
D．，故该选项计算正确，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键．
5．B
【分析】
根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．
故选B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
6．D
【分析】
根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标．
【详解】
解：如图所示：A的坐标为（4，2），向上平移1个单位后为（4，3），再绕点P逆时针旋转90°后对应点的坐标为（-1，4）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键．
7．D
【分析】
利用“ASA”易证△EDG≌△FCG，从而求得DE=CF，，根据矩形的性质，设BC=x，则DE=x-6，DG=6，BF=2x-6，根据垂直平分线的性质求得，最后在中根据勾股定理列方程求出x即可．
【详解】
解：在矩形ABCD中，AD=BC，AB=CD=12，∠D=∠DCF=90°，
∵G为CD中点，
∴DG=CG．
又∵∠EGD=∠FGC，
∴，
∴DE=CF，．
设BC=x，则，，．
又∵BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，
∴．
∴在中，，即，
解得：x=10.5
则BC的长是10.5．
故选D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理，题目难度不大有一定的综合性，掌握相关性质定理正确列出方程是解题关键．
8．C
【分析】
直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
【详解】
解：由方程组得ax2＝−a，
∵a≠0
∴x2＝−1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【点睛】
本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
9．
【分析】
根据分母有理化、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可求得答案．
【详解】
解：
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
10．8
【分析】
先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算即可．
【详解】
解：∵数据6、4、x、3、2平均数为5，
∴（6+4+x+3+2）÷5=5，
解得：x=10，
∴这组数据的方差是×[(6-5)2+(4-5)2+(10-5)2+(3-5)2+(2-5)2]=8．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了方差，解题的关键是掌握算术平均数和方差的定义．
11．
【分析】
根据旋转和含角的直角三角形的性质，可求出和BO、DO的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积．
【详解】
如图可知，
又已知，是由绕圆心O逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴ ，，
．
故答案为π．
【点睛】
本题考查旋转和含角的直角三角形的性质以及扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键．
12．0＜x＜1或x＜﹣6
【分析】
过点A、B分别作AE⊥x轴于E，BD⊥x轴于D，易证△AEO≌△ODB，可得求点B坐标，再利用待定系数法求出双曲线和直线的解析式，然后联立方程组求出交点的横坐标，根据图象即可确定x的取值范围．
【详解】
解：如图，过点A、B分别作AE⊥x轴于E，BD⊥x轴于D，则∠AEO=∠ODB=90°，
∵A（﹣3，1）
∴AE=1，OE=3，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOD=90°，又∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠AOE=∠OBD，
∴△AEO≌△ODB(AAS)，
∴OD=AE=1，BD=OE=3，
∴B（1，3），
将B（1，3）坐标代入中，得：k1=1×3=3，
∴，
将A（﹣3，1）、B（1，3）代入直线的表达式中，
得：，解得：，
∴，
由解得：，，
∴交点C坐标为（﹣6，），
根据图象可知，当y1＞y2时，双曲线位于直线的上方，
∴x的取值范围为0＜x＜1或x＜﹣6，
故答案为：0＜x＜1或x＜﹣6．
【点睛】
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、函数与不等式的关系，解答的关键是求得双曲线和直线的交点坐标，会利用数形结合思想求解不等式的解集．
13．
【分析】
连接CC'，可以得到CC'是∠EC'D的平分线，所以CB'=CD，又AB'=AB，所以B'是对角线中点，AC=2AB，所以∠ACB=30°，即可得出答案．
【详解】
连接CC'．
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B'处，
又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB'与AD的交点C'处，
∴EC=EC'，
∴∠1=∠ECC'．
∵AD∥BC，
∴∠DC'C=∠ECC'，
∴∠1=∠DC'C．
在△CC'B'与△CC'D中，
∵，
∴△CC'B'≌△CC'D，
∴CB'=CD，∠ACC'=∠DCC'．
又∵AB'=AB，
∴AB'=CB'，
∴B'是对角线AC中点，
即AC=2AB=8，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，∠ACC'=∠DCC'=30°，
∴∠DC'C=∠1=60°，
∴∠DC'F=∠FC'C=30°，
∴C'F=CF=2DF．
∵DF+CF=CD=AB=4，
∴DF．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答本题要抓住折叠前后的图形全等的性质，得出CC'是∠EC'D的平分线是解答本题的关键．
14．1+
【分析】
作CH⊥AB于H,首先证明AB＝BC,再证明△PAB∽△PBC,可得
,即可求出PB、PC.
【详解】
解：作CH⊥AB于H．
∵CA＝CB,CH⊥AB,∠ACB＝120°,
∴AH＝BH,∠ACH＝∠BCH＝60°,∠CAB＝∠CBA＝30°,
∴AB＝2BH＝2•BC•cos30°＝BC,
∵∠PAC＝∠PCB＝∠PBA,
∴∠PAB＝∠PBC,
∴△PAB∽△PBC,
∴,
∴PA＝,
∴PB＝1,PC＝,
∴PB+PC＝1+,
故答案为1+.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角函数等,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角函数.
15．作图见解析
【分析】
分别作∠B和∠C的角平分线，它们的交点即为圆心O，再过O点作任意一边的垂线，以垂线段长为半径作圆，该圆为三角形的内切圆，即是能在这块材料上作出的面积最大的圆．
【详解】
解：如图所示，为△ABC的内切圆．
尺规作图如下：
【点睛】
此题主要考查的是三角形内切圆的意义及作法， 由于三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，可作△ABC的任意两角的角平分线，它们的交点即为△ABC的内切圆的圆心(设圆心为O)，以O为圆心、O点到任意一边的距离长为半径作圆，即可得出△ABC的内切圆，即为能作出的最大圆，解决本题的关键是学生能正确理解三角形的内切圆并掌握其作法.
16．（1）；（2）-2＜x≤-1
【分析】
（1）按照分式的混合运算顺序进行，先算括号里的加法运算，再算除法运算，最后算减法运算；
（2）分别求出每个不等式的解集，再求两个不等式解集的公共部分即得不等式组的解集．
【详解】
（1）
；
（2）
解第一个不等式得解集：x>-2；
解第二个不等式得解集：x≤-1；
故不等式组的解集为：-2＜x≤-1．
【点睛】
本题分别考查了分式的混合运算及解一元一次不等式组，对于分式的混合运算要注意运算顺序不要出错，最后要化成最简分式；对于解一元一次不等式组，在使用不等式的基本性质3时，不等号的方向要改变，切记．
17．（1）50；见解析；（2）93.6°；（3）300名
【分析】
（1）根据频数÷百分比=样本容量求出调查的学生数，根据骑自行车所占的百分比求出骑自行车的人数，补全条形图；
（2）用步行人数所占的百分比乘以360°即可得出结论；
（3）根据骑自行车上学的学生所占的百分比求出该校骑自行车上学的学生数．
【详解】
解：（1）1-40%-20%-14%=26%，则m=26%，
由统计图可知，乘公交车的学生有20人，占40%，
则学生数为：20÷40%=50，
骑自行车人数：50×20%=10，
条形图如图：
（2）360°
故答案为：93.6°；
（3）该校骑自行车上学的学生：1500×20%=300人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．不公平，见解析
【分析】
先画出树状图，然后求出相应的概率，比较概率是否相等即可做出判断．
【详解】
解：这个游戏不公平，理由为：
根据题意，画出树状图如下：
一共有9种等可能的结果，其中两人摸到的球的颜色相同的有5种结果，颜色不同的有4种结果，
∴P（小丽赢）=，P（小红赢）=，
∵≠，
∴这个游戏不公平．
【点睛】
本题考查游戏的公平性、画树状图或列表法求概率，解答的关键是得出相应的概率，概率相等游戏就公平，否则就不公平．
19．没有影响，见解析
【分析】
在中，利用三角函数求出BC和AC长．再在中，利用三角函数求出CD长，从而求出BD长，最后求出D点到大树的距离和2米作比较即可．
【详解】
在中，，
∴，即；，即．
∴米；米．
在中，，
∴，即，
∴米．
∴米．
∵，
∴没有影响．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
20．（1）今年每套型的价格各是1.2万元、型一体机的价格是1.8万元；（2）该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．
【分析】
(1)直接利用今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套型一体机，分别得出方程求出答案；
(2)根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．
【详解】
(1)设今年每套型一体机的价格为万元，每套型一体机的价格为万元，
由题意可得：，
解得：，
答：今年每套型的价格各是1.2万元、型一体机的价格是1.8万元；
(2)设该市明年购买型一体机套，则购买型一体机套，
由题意可得：，
解得：，
设明年需投入万元，
，
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴当时，有最小值，
故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键．
21．（1）见解析；（2）当AB=AC时，四边形ADCF是正方形，见解析
【分析】
（1）根据全等三角形的判定解答即可；
（2）由全等三角形的性质和菱形的判定四边形ADCF是菱形，根据正方形的判定解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，D是BC的中点，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）当AB=AC时，四边形ADCF是正方形，
理由：由（1）知，△AEF≌△DEB，则AF=DB，
∵DB=DC，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴菱形ADCF是正方形．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，全等三角形的性质以及菱形的判定，正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答．
22．（1）；（2）能正常进入；（3）650元
【分析】
（1）根据题意可写出E点，N点和抛物线顶点坐标．再设该抛物线表达式为，即利用待定系数法可求出该抛物线解析式．
（2）令，即求出方程的两个根，比较两个根的差的绝对值和3米的大小即可判断．
（3）设B点最标为(t，0)，需要花费W元，根据题意可知A点坐标为(t，)，C点坐标为(4-t，0)，由此即可求出AB、CD和AD的长，即可列出W和t的二次函数关系式，最后利用二次函数的顶点式求出其最值即可．
【详解】
（1）根据题意可知E(0，4)、N(4，4)、抛物线顶点(2，6)．
设该抛物线表达式为，
∴，解得：，
由图可知自变量x的取值范围是．
故该抛物线表达式为．
（2）对于，当时，即，
解得：，，
∵，
∴该消防车能正常进入．
（3）设B点最标为(t，0)，需要花费W元，
根据题意可知A点坐标为(t，)，C点坐标为(4-t，0)，
∴，．
∴，即．
∵，
∴最多需要花费650元．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，正方形的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
23．（1）成立；（2）；；； ；（3）①；②
【分析】
（1）根据三角函数的定义得到于是得到结论；
（2）过点C作CD⊥AB于D．根据三角函数的定义得到，，推出，．同理，过点A作AH⊥BC于H，可证，即可得到结论；
（3）①把∠C=45°，∠B=60°，AB=c=6，代入，解方程得到b=，即可得到结论；②过△ABC内切圆的圆心O作OE⊥AB，OG⊥AC，OF⊥BC，则OG=OE=OF=r，证明和，根据勾股定理求出BC的长即可得出结论．
【详解】
解；（1）成立，
理由如下：∵
∴
∴
（2）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．
过点C作CD⊥AB于D．设CD=h，
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴，．
∴，．
∴．
同理，过点A作AH⊥BC于H，可证．
∴．
故答案为：；；； ；
（3）①∵∠A=75°，∠B=60°，
∴∠C=45°
∴把∠C=45°，∠B=60°，AB=c=6，代入得：
，
∴，
解得：b=，
即AC=；
②∵AB=，AC=2，
∴
∴
过△ABC内切圆的圆心O作OE⊥AB，OG⊥AC，OF⊥BC，则OG=OE=OF=r，
∵
∴AG=AE=OE=OG=r
∴四边形AEOC是正方形
∵AC=2，
∴CG=2-r
∵AB=
∴BE=-r
连接OC，OB，
∵OC为的平分线，
∴
又，OC=OC
∴
同理可得
∴CF=CG=2-r，BF=BE=-r
而
∴BC=4
∴BC=CF+BF=2-r+-r=4
解得，r=
故答案为：
【点睛】
本题锐角三角函数的定义、勾股定理以及三角形的内切圆，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用．
24．（1）；（2）；（3）不存在，见解析；（4）存在， t=4
【分析】
（1）先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得BD=DC=6，AD=8，再根据平行线成比例求得 BQ=CM=，然后在Rt△ABD和Rt△PBQ中，由cos∠B=求得BQ=，由BQ=CM列方程求解t值即可；
（2）先证明△PDN∽△ADB，和△CPM∽△CDA，根据相似三角形的性质求得和，再由求解即可；
（3）先假设存在，根据= 整理得，根据根的判别式△即可做出判断；
（4）先假设存在，过点M作ME⊥PQ于E，则PE=PQ，利用锐角的三角函数求得，，进而求得t值，即可得出结论．
【详解】
解：（1）由题意知，PC=t，BP=12﹣t，
∵AB=AC，AD⊥BC，AB=AC=10，BC=12，
∴BD=DC=6，AD=8，
∵QM∥BC，
∴，
∵AB=AC，
∴BQ=CM，
∵PM⊥BC，AD⊥BC，
∴ PM∥AD，
∴即，
∴CM=，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
cos∠B=，即，
解得：BQ=(12﹣t)= ，
由BQ=CM得：=，
解得：，
故当 时，QM∥BC；
（2）∵∠B+∠BAD=90°，∠DPN+∠B=90°，
∴∠BAD=∠DPN，又∠PDN=∠ADB=90°，
∴△PDN∽△ADB，
∴，即，
解得：，
∴，
∵PM∥AD，
∴△CPM∽△CDA，
∴即，
解得：，
∴，
∴==，
即y与t的函数关系式为；
（3）假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的，
则= ，
整理得：，
∵△= =﹣1536＜0，
∴此方程无解，
∴不存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的；
（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上，则MP=MQ，
过点M作ME⊥PQ于E，则PE=PQ，∠PEM=90°，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
sin∠B= ，
解得：，
∵∠BPQ+∠B=90°，∠BPQ+∠MPE=90°，
∴∠B=∠MPE，
在Rt△PEM和Rt△BDA中，
cos∠B=cos∠MPE，即，
解得：，
由PE=PQ得=，
解得：t=4，
∵0＜t＜6，
∴存在某一时刻t=4时，点M在线段PQ的垂直平分线上．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、锐角的三角函数、平行线的性质、等角的余角相等、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，综合性强，难度适中，解答的关键是熟练掌握各个知识的性质，结合图形，寻找知识点间的联系与运用，进而推理和计算．
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