第八章 8.6空间向量及运算-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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进门测



判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　√　)
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)
(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　)
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　×　)
(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)

阶段训练



题型一　空间向量的线性运算
例1　(1)如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)

答案　a＋b＋c
解析　＝＋＝＋＋
＝a＋b＋c.
(2)三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.
解　＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋[(＋)－]
＝－＋＋.
＝＋＝－＋＋
＝＋＋.
思维升华　用已知向量表示某一向量的方法
用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
　如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；
(2)＋.
解　(1)因为P是C1D1的中点，
所以＝＋＋
＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)因为M是AA1的中点，
所以＝＋＝＋
＝－a＋(a＋c＋b)
＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
所以＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c)
＝a＋b＋c.
题型二　共线定理、共面定理的应用
例2　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH；
(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．

证明　(1)连接BG，

则＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋，
由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－
＝－
＝(－)＝，
所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.

由(2)知＝，
同理＝，
所以＝，即EH綊FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
所以EG，FH交于一点M且被M平分．
故＝(＋)
＝＋
＝[(＋)]＋[(＋)]
＝(＋＋＋)．
思维升华　(1)证明空间三点P，A，B共线的方法
①＝λ(λ∈R)；
②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；
③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法
①＝x＋y；
②对空间任一点O，＝＋x＋y；
③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
④∥(或∥或∥)．
　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解　(1)由题意知＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)
即＝＋＝－－，
∴，，共面．
(2)由(1)知，，共面且基线过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面．
从而点M在平面ABC内．
题型三　空间向量数量积的应用
例3　已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
(3)求证：AA1⊥BD.
(1)解　设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，
∴||＝|a＋b＋c|＝
＝
＝＝.
∴线段AC1的长为.

(2)解　设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝.
∵＝a＋b＋c，＝b－c，
∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，
||＝＝
＝＝.
∴cos θ＝＝||＝.
故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
(3)证明　∵＝c，＝b－a，
∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，
∴⊥，∴AA1⊥BD.
思维升华　(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；
(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；
(3)可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．
　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.

(1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值．
解　(1)记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6，
∴||＝，即AC1的长为.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos〈，〉＝＝.
即与夹角的余弦值为.


第3课时


阶段重难点梳理




1.空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
模为0的向量
0
单位向量
长度(模)为1的向量

相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量为－a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量


2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝

【知识拓展】
(1)向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
(2)向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．

重点题型训练




典例　如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

(1)求的模；
(2)求cos〈，〉的值；
(3)求证：A1B⊥C1M.
思想方法指导　利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解．
规范解答
(1)解　如图，建立空间直角坐标系．

依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
所以||＝＝. [3分]
(2)解　依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)．
所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
·＝3，||＝，||＝，
所以cos〈，〉＝
＝. [8分]
(3)证明　依题意得C1(0,0,2)，M(，，2)，
＝(－1,1，－2)，
＝(，，0)． [10分]
所以·＝－＋＋0＝0，
所以⊥，即A1B⊥C1M. [14分]

1．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
答案　C
解析　如图，

设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
2．向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是(　　)
A．a∥b，a∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
答案　C
解析　因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，
所以a∥c.
又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，
所以a⊥b.故选C.
3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是__________________________________．
答案　和
解析　因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5)．
4．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________．
答案　
解析　||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
∴||＝，∴EF的长为.

作业布置



1．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　A
解析　a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
2．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于(　　)
A．9 B．－9 C．－3 D．3
答案　B
解析　由题意知c＝xa＋yb，
即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
∴解得λ＝－9.
3．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
答案　D
解析　由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，
所以14－7λ＝0，解得λ＝2.
4.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)

A. B. C．1 D.
答案　D
解析　∵＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1－＝3－，
故||＝.
5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案　C
解析　如图，

设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，
所以cos〈，〉＝＝，
所以异面直线a，b所成的角等于60°，
故选C.
6．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)
A.a B.a
C.a D.a
答案　A
解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)．
设M(x，y，z)，
∵点M在AC1上且
＝，
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，
∴x＝a，y＝，z＝.
∴M(，，)，
∴||＝
＝a.
7．A，B，C，D是空间不共面四点，且·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个)
答案　锐角
解析　因为·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋2
＝2>0，
所以∠CBD为锐角．
同理∠BCD，∠BDC均为锐角．
8．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为______________．
答案　，，
解析　如图所示，

取BC的中点E，连接AE.
＝＝(＋)
＝＋
＝＋(＋)
＝＋(－＋－)
＝(＋＋)，
∴x＝y＝z＝.
9．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③向量与向量的夹角是60°；
④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.
其中正确的序号是________．
答案　①②
解析　①中，(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故①正确；②中，－＝，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中，|··|＝0，故④也不正确．
*10.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上正确说法的个数为________．

答案　3
解析　＝＋＝＋，＝＋＝＋，
∴∥，
∴A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，
A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.
①③④正确．
11.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：

(1)·；
(2)·；
(3)EG的长；
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．
解　(1)设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
＝＝c－a，＝－a，＝b－c.
·＝·(－a)
＝a2－a·c＝.
(2)·＝(c－a)·(b－c)
＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.
(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.
(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
*12.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
(1)证明　设＝a，＝b，＝c，
根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝－c2＋b2＝0.
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)解　∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点．

(1)试用a，b，c表示；
(2)求证：MN∥平面ABB1A1.
(1)解　∵＝－＝c－a，
∴＝＝(c－a)．
同理，＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－(c－a)＝(b＋a)＝a＋b.
(2)证明　∵＝＋＝a＋b，
∴＝，即MN∥AB1，
∵AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，
∴MN∥平面ABB1A1.