第四章 4.4y＝Asin(ωx＋φ)-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测



1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．(　√　)
(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　×　)
(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　×　)
(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.(　×　)
(5)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)
(6)若函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)
2、y＝2sin(x－)的振幅，频率和初相分别为(　　)
A．2,4π， B．2，，
C．2，，－ D．2,4π，－
答案　C
解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
3、将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
答案　C
解析　y＝sin x＝y＝sin(x－)y＝sin(x－)．
4、函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
引申探究
在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心．
解　由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，
因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]
＝5sin(2x＋)．
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z.
思维升华　(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
【同步练习】
1、将函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y＝sin(2x－)，则φ＝________(00，ω>0)的图象的步骤如下：

【知识拓展】
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．




重点题型训练



题型三　三角函数图象性质的应用
命题点1　三角函数模型的应用
例3　如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
答案　C
解析　由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
命题点2　函数零点(方程根)问题
例4　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．
答案　(－2，－1)
解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x
＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的范围为(－1，－)，
故m的取值范围是(－2，－1)．
引申探究
例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．
答案　[－2,1)
解析　由例4知，的范围是，
∴－2≤m0，－≤φ0)解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
二、解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤
第一步：(化简)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；
第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝·(sin x·＋cos x·)；
第三步：(求性质)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.



作业布置



1．函数y＝cos的部分图象可能是(　　)


答案　D
解析　∵y＝cos，∴当2x－＝0，
即x＝时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x＝时取得最大值的只有D.
2．已知函数f(x)＝cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　D
解析　由f(x)的周期为π得ω＝2，f(x)＝cos(2x＋)向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos 2x的图象．
3．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
答案　C
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)(ω>0)．
由2sin(ωx＋)＝1，得sin(ωx＋)＝，
∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋π(k∈Z)．
令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝π，
∴x1＝0，x2＝.
由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2.
故f(x)的最小正周期T＝＝π.
4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0，|φ|0,00)的图象过点P(，0)，图象上与点P最近的一个最高点是Q(，5)．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的递增区间．
解　(1)依题意得A＝5，周期T＝4(－)＝π，
∴ω＝＝2.
故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P(，0)，
∴5sin(＋φ)＝0，
由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－，
∴y＝5sin(2x－)．
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数f(x)的递增区间为
[kπ－，kπ＋] (k∈Z)．
12．已知函数f(x)＝cos2x＋sin x·cos x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期T和函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)的对称中心为(x,0)，求x∈[0,2π)的所有x的和．
解　(1)由题意得f(x)＝sin(2x＋)，∴T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z.
可得函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－＋，k∈Z.
∵x∈[0,2π)，∴k可取1,2,3,4.
∴所有满足条件的x的和为＋＋＋＝.
*13. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0