第六章 6.3等比数列-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × )
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( × )
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × )
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × )
2、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则公比q等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－2
C．2 D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 由题意知q3＝eq \f(a5,a2)＝eq \f(1,8)，∴q＝eq \f(1,2).
3、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于( )
A．31 B．32 C．63 D．64
答案 C
解析 根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.
4、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为________．
答案 27,81
解析 设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
5、设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq \f(S5,S2)＝________.
答案 －11
解析 设等比数列{an}的公比为q，
∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.
∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
∴eq \f(S5,S2)＝eq \f(a11－q5,1－q)·eq \f(1－q,a11－q2)
＝eq \f(1－q5,1－q2)＝eq \f(1－－25,1－4)＝－11.
作业检查
无
第2课时
阶段训练
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,8)
(2)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是数列{an}的前n项的和，则S10－S4等于( )
A．1 008 B．2 016
C．2 032 D．4 032
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由{an}为等比数列，得a3a5＝aeq \\al(2,4)，
又a3a5＝4(a4－1)，所以aeq \\al(2,4)＝4(a4－1)，
解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，
则由a4＝a1q3，得2＝eq \f(1,4)q3，解得q＝2，
所以a2＝a1q＝eq \f(1,2).故选C.
(2)由题意知2(a4＋2)＝a2＋a5，即2(2q3＋2)＝2q＋2q4＝q(2q3＋2)，得q＝2，所以an＝2n，S10＝eq \f(21－210,1－2)＝211－2＝2 046，S4＝eq \f(21－24,1－2)＝25－2＝30，
所以S10－S4＝2 016.故选B.
思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
【同步练习】
(1)已知等比数列{an}的首项a1＝1，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的公比q＝________，数列{an}的前4项和S4＝________.
(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
答案 (1)1或－eq \f(1,2) 4或eq \f(5,8) (2)3n－1
解析 (1)由a2，a4，a3成等差数列得2a1q3＝a1q＋a1q2，
即2q3＝q＋q2，解得q＝1或q＝－eq \f(1,2).
当q＝1时，S4＝4a1＝4，
当q＝－eq \f(1,2)时，S4＝eq \f(1－－\f(1,2)4,1－－\f(1,2))＝eq \f(5,8).
(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，
可得a3＝3a2，所以公比q＝3，
故等比数列的通项an＝a1qn－1＝3n－1.
题型二 等比数列的判定与证明
例2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Sn＋1＝4an＋2， ①,Sn＝4an－1＋2n≥2， ②))
由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)解 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴eq \f(an＋1,2n＋1)－eq \f(an,2n)＝eq \f(3,4)，
故{eq \f(an,2n)}是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(3,4)的等差数列．
∴eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)＋(n－1)·eq \f(3,4)＝eq \f(3n－1,4)，
故an＝(3n－1)·2n－2.
引申探究
若将例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式．
解 由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.
∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，
∴an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，
又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，a2＝3，
当n＝1时上式也成立，
故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
【同步练习】
1、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明：{an＋eq \f(1,2)}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明：eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,an)