2022高考数学一轮复习 第四章 §4.6　解三角形

这是一份2022高考数学一轮复习 第四章 §4.6　解三角形，共19页。试卷主要包含了5小时能截住该走私船？，2 m，等内容，欢迎下载使用。

1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2．三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
3．测量中的几个有关术语
微思考
1．三角形中有哪些三角函数关系？
提示 三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；(4)cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
2．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件吗？
提示 在△ABC中，由A>B可推出sin A>sin B，由sin A>sin B也可推出A>B，故A>B是sin A>sin B的充要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)当b2＋c2－a21＝a，
所以B＝45°或B＝135°.
故选BC.
6．在△ABC中，acs A＝bcs B，则这个三角形的形状为 ．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sin Acs A＝sin Bcs B，
即sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.

题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 在①b2＋eq \r(2)ac＝a2＋c2；②acs B＝bsin A；③sin B＋cs B＝eq \r(2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，A＝eq \f(π,3)，b＝eq \r(2)，求△ABC的面积．
解 (1)若选择①b2＋eq \r(2)ac＝a2＋c2，
由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(2)ac,2ac)＝eq \f(\r(2),2)，
因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,4)；
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(\r(2)·sin\f(π,3),\f(\r(2),2))＝eq \r(3)，
因为A＝eq \f(π,3)，B＝eq \f(π,4)，
所以C＝π－eq \f(π,3)－eq \f(π,4)＝eq \f(5π,12)，
所以sin C＝sin eq \f(5π,12)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,6)))
＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,6)＋cs eq \f(π,4)sin eq \f(π,6)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \r(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(3＋\r(3),4).
(2)若选择②acs B＝bsin A，
则sin Acs B＝sin Bsin A，
因为sin A≠0，所以sin B＝cs B，
因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,4)；
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(\r(2)·sin\f(π,3),\f(\r(2),2))＝eq \r(3)，
因为A＝eq \f(π,3)，B＝eq \f(π,4)，
所以C＝π－eq \f(π,3)－eq \f(π,4)＝eq \f(5π,12)，
所以sin C＝sin eq \f(5π,12)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,6)))
＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,6)＋cs eq \f(π,4)sin eq \f(π,6)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \r(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(3＋\r(3),4).
(3)若选择③sin B＋cs B＝eq \r(2)，
则eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,4)))＝1，
因为B∈(0，π)，所以B＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，
所以B＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，所以B＝eq \f(π,4)；
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(\r(2)·sin\f(π,3),\f(\r(2),2))＝eq \r(3)，
因为A＝eq \f(π,3)，B＝eq \f(π,4)，
所以C＝π－eq \f(π,3)－eq \f(π,4)＝eq \f(5π,12)，
所以sin C＝sin eq \f(5π,12)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,6)))
＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,6)＋cs eq \f(π,4)sin eq \f(π,6)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \r(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(3＋\r(3),4).
思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
跟踪训练1 (1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A．4eq \r(2) B.eq \r(30) C.eq \r(29) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 ∵cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，
∴cs C＝2cs2eq \f(C,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq \f(3,5).
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C＝52＋12－2×5×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝32，
∴AB＝eq \r(32)＝4eq \r(2).
故选A.
(2)(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则tan B等于( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．4eq \r(5) D．8eq \r(5)
答案 C
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs C＝42＋32－2×4×3×eq \f(2,3)＝9，
得AB＝3，所以AB＝BC.
过点B作BD⊥AC，交AC于点D，如图，
则AD＝eq \f(1,2)AC＝2，
BD＝eq \r(32－22)＝eq \r(5)，
所以tan∠ABD＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，
所以tan∠ABC＝eq \f(2tan∠ABD,1－tan2∠ABD)＝4eq \r(5).
题型二 正弦定理、余弦定理的应用
命题点1 判断三角形的形状
例2 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案 B
解析 由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．
(2)(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC是等边三角形
答案 ACD
解析 ∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acs A＝bcs B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；
由bcs C＋ccs B＝b及正弦定理，
可知sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴选项D正确．
命题点2 三角形面积的计算
例3 (1)(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为 ．
答案 6eq \r(3)
解析 方法一 因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)×sin eq \f(π,3)＝6eq \r(3).
方法二 因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以a2＝b2＋c2，所以A＝eq \f(π,2)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×6＝6eq \r(3).
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A＝eq \f(π,6)，a＝2，则△ABC面积的最大值为 ．
答案 2＋eq \r(3)
解析 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得4＝b2＋c2－2bc×eq \f(\r(3),2)≥2bc－eq \r(3)bc，
所以bc≤4(2＋eq \r(3))，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A≤2＋eq \r(3)，
故△ABC面积的最大值为2＋eq \r(3).
思维升华 (1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵cs2eq \f(B,2)＝eq \f(1＋cs B,2)，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)，
∴(1＋cs B)·c＝a＋c，∴a＝cs B·c＝eq \f(a2＋c2－b2,2a)，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
(2)(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝eq \f(1,2).
因为b2＋c2－a2＝8，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)>0，
所以bc＝eq \f(8\r(3),3)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3).
题型三 解三角形应用举例
命题点1 测量距离问题
例4 (2020·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为 ．
答案 80eq \r(5)
解析 由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝eq \f(80sin 150°,sin 15°)＝eq \f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq \r(6)＋eq \r(2))．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理eq \f(CD,sin∠CBD)＝eq \f(BC,sin∠BDC)，
得BC＝eq \f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(80×sin 15°,\f(1,2))＝160sin 15°＝40(eq \r(6)－eq \r(2))．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4eq \r(3))＋1 600×(8－4eq \r(3))＋2×1 600×(eq \r(6)＋eq \r(2))×(eq \r(6)－eq \r(2))×eq \f(1,2)＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80eq \r(5)，故图中海洋蓝洞的口径为80eq \r(5).
命题点2 测量高度问题
例5 (2020·长春质检)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)( )
A．1 255步 B．1 250步
C．1 230步 D．1 200步
答案 A
解析 因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以eq \f(BF,HF)＝eq \f(BC,AH).因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以eq \f(DG,HG)＝eq \f(DE,AH).又BC＝DE，所以eq \f(BF,HF)＝eq \f(DG,HG)，即eq \f(123,123＋HB)＝eq \f(127,127＋1 000＋HB)，所以HB＝30 750步，又eq \f(BF,HF)＝eq \f(BC,AH)，
所以AH＝eq \f(5×30 750＋123,123)＝1 255(步)．故选A.
命题点3 测量角度问题
例6 已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(参考数据：sin 38°≈\f(5\r(3),14)，sin 22°≈\f(3\r(3),14)))
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs 120°，
所以BC2＝49，
所以BC＝0.5x＝7，
解得x＝14.
又由正弦定理得
sin∠ABC＝eq \f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq \f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(5\r(3),14)，
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征．从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养．
跟踪训练3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m.
答案 100eq \r(6)
解析 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，
解得BC＝300eq \r(2) m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300eq \r(2)×eq \f(\r(3),3)＝100eq \r(6) (m)．
课时精练
1．(2020·安庆模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则eq \f(a,b)等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(4,3) C.eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 D
解析 由bsin 2A＝asin B，
得2sin Bsin Acs A＝sin Asin B，得cs A＝eq \f(1,2).
又c＝2b，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋4b2－4b2×eq \f(1,2)＝3b2，
得eq \f(a,b)＝eq \r(3).
2．(2021·唐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h等于( )
A.eq \f(\r(15),2) B.eq \f(\r(11),2) C.eq \f(3\r(15),4) D.eq \f(3\r(15),8)
答案 D
解析 由余弦定理，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋16－4,2×3×4)＝eq \f(21,24)＝eq \f(7,8)，则sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \r(1－\f(49,64))＝eq \r(\f(15,64))＝eq \f(\r(15),8)，
则h＝ACsin A＝bsin A＝3×eq \f(\r(15),8)＝eq \f(3\r(15),8)，故选D.
3．(2021·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．2
答案 B
解析 因为S＝eq \f(1,2)AB·ACsin A＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(3),2)AC＝eq \f(\r(3),2)，
所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A＝3.
所以BC＝eq \r(3).
4．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 A
解析 ∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，
即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－4c2＋b2,2bc)
＝eq \f(－3c2,2bc)＝－eq \f(1,4)，
∴eq \f(b,c)＝6.
5．(多选)某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好eq \r(3) km，那么x的值是( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3 D．6
答案 AB
解析 如图，AB＝x，BC＝3，AC＝eq \r(3)，∠ABC＝30°.
由余弦定理得3＝x2＋9－2×3×x×cs 30°.
解得x＝2eq \r(3)或x＝eq \r(3)，
故选AB.
6．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A．若cs A＝cs B，则△ABC为等腰三角形
B．若△ABC为锐角三角形，有A＋B>eq \f(π,2)，则sin A>cs B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2Beq \f(π,2)，则eq \f(π,2)>A>eq \f(π,2)－B>0，∴sin A>cs B，故正确；
对于C，由余弦定理可得b＝eq \r(82＋102－2×8×10×\f(1,2))＝eq \r(84)，只有一解，故错误；
对于D，若sin2A＋sin2B