2022高考数学一轮复习 第五章 强化训练5　平面向量中的综合问题

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1．(2021·甘肃诊断)已知平面向量a，b满足a＝(1，－2)，b＝(－3，t)，且a⊥(a＋b)，则|b|等于( )
A．3 B.eq \r(10) C．2eq \r(3) D．5
答案 B
解析 a＋b＝(1，－2)＋(－3，t)＝(－2，t－2)，由于a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝0，即1×(－2)＋(－2)×(t－2)＝0，解得t＝1，所以b＝(－3,1)，|b|＝eq \r(10).
2．(2021·常德模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
答案 C
解析 设F为AB的中点，连接DF，如图，
∵AB∥CD，AB＝2CD，
∴BF∥CD，且BF＝CD，
∴四边形BFDC为平行四边形，
∴eq \(FD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(FD,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为( )
A．－eq \f(1,2) B．－1 C.eq \f(1,2) D．1
答案 B
解析 因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2，所以b在a方向上的投影为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－2,2)＝－1.
4．(2020·河北“五个一”名校联考)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 C
解析 将|a＋b|＝|a－b|＝2|a|平方得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2＝4a2，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b＝0，,b2＝3a2，))cs〈a＋b，a－b〉＝eq \f(a2－b2,4a2)＝－eq \f(1,2)，所以向量a＋b与a－b的夹角是eq \f(2π,3).
5．(多选)已知在边长为2的等边△ABC中，向量a，b满足eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋b，则下列式子正确的是( )
A．|2a＋b|＝2 B．|b|＝2eq \r(3)
C．a·(a＋b)＝2 D．a·b＝－6
答案 ABD
解析 eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋b，则|2a＋b|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，A正确；a·(a＋b)＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－2，C错误；a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝－2，则a·b＝－6，D正确；又|a＋b|＝2，两边平方得|a|2＋2a·b＋|b|2＝4，则|b|＝2eq \r(3)，B正确．
6．(多选)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为( )
A.eq \r(2)－1 B．1
C.eq \r(2) D．2
答案 AB
解析 因为a，b，c均为单位向量，
且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，
所以a·b－c·(a＋b)＋c2≤0，
所以c·(a＋b)≥1，
而|a＋b－c|＝eq \r(a＋b－c2)＝eq \r(a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c)
＝eq \r(3－2c·a＋b)≤eq \r(3－2)＝1，
所以选项C，D不正确，故选AB.
7．(2020·泰安模拟)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(2m，m＋1)．若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(OC,\s\up6(→))，则实数m的值为________．
答案 －3
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(3,1)，
所以3×(m＋1)＝2m，所以m＝－3.
8．已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是________．
答案 λ