2022高考数学一轮复习 第一章 §1.3　全称量词与存在量词

这是一份2022高考数学一轮复习 第一章 §1.3　全称量词与存在量词，共11页。试卷主要包含了理解全称量词和存在量词的意义等内容，欢迎下载使用。


1．全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．
2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
微思考
1．怎样判断一个特称命题是真命题？
提示 要判定特称命题“∃x0∈M，P(x0)”，只需在集合M找到一个x0，使P(x0)成立即可．
2．命题p和綈p可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？
提示 命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题．( × )
(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )
(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √ )
题组二 教材改编
2．命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________．
答案 ∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋x0＋1≤0
3．命题“∃x0∈N，xeq \\al(2,0)≤0”的否定是________．
答案 ∀x∈N，x2>0
4．命题“对于函数f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)
答案 真
解析 当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数．
题组三 易错自纠
5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( )
A．∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－x0＋eq \f(1,4)<0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2x0＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
答案 AC
解析 由条件可知：原命题为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.
6．若命题“∃t0∈R，teq \\al(2,0)－2t0－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1]
解析 命题“∃t0∈R，teq \\al(2,0)－2t0－a<0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，
∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]．
题型一 全称命题、特称命题的真假
例1 (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)>2
答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为eq \r(2)＋(－eq \r(2))＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有eq \f(1,x)<0，不满足eq \f(1,x)>2，所以D是假命题．
(2)下列四个命题：
①∃x0∈(0，＋∞)，；
②∃x0∈(0,1)，；
③∀x∈(0，＋∞)，；
④∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，.
其中真命题的序号为________．
答案 ②④
解析 对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x成立，故①是假命题；
对于②，当x＝eq \f(1,2)时，有成立，故②是真命题；
对于③，当0对于④，∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，，故④是真命题．
思维升华 判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立．
跟踪训练1 (1)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，lg x0<1
D．∃x0∈R，tan x0＝2
答案 B
解析 当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.
(2)已知函数f(x)＝，则( )
A．∃x0∈R，f(x0)<0
B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥0
C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0
D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)>f(x2)
答案 B
解析 幂函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立．
题型二 含有一个量词的命题的否定
1．已知命题p：“∃x0∈R，－x0－1≤0”，则綈p为( )
A．∃x0∈R，－x0－1≥0
B．∃x0∈R，－x0－1>0
C．∀x∈R，ex－x－1>0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
2．(2020·山东模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为( )
A．所有正方形都不是平行四边形
B．有的平行四边形不是正方形
C．有的正方形不是平行四边形
D．不是正方形的四边形不是平行四边形
答案 C
解析 “所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形．
3．命题：“∃x0∈R，sin x0＋cs x0>2”的否定是________________．
答案 ∀x∈R，sin x＋cs x≤2
4．若命题p的否定是“对所有正数x，eq \r(x)>x＋1”，则命题p是____________________．
答案 ∃x0∈(0，＋∞)，eq \r(x0)≤x0＋1
思维升华 对全称命题、特称命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
(2)对原命题的结论进行否定．
题型三 根据命题的真假求参数的取值范围
例2 (1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________．
答案 (－∞，－2]
解析 由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，
g(x)min＝g(2)＝eq \f(1,4)－m，由题意得f(x)min≥g(x)min，
即0≥eq \f(1,4)－m，所以m≥eq \f(1,4).
本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析 当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝eq \f(1,2)－m，
由题意得f(x)min≥g(x)max，
即0≥eq \f(1,2)－m，
∴m≥eq \f(1,2).
思维升华 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
跟踪训练2 (1)由命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2x0＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.
答案 1
解析 由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，
所以Δ＝4－4m<0，即m>1，
故实数m的取值范围是(1，＋∞)，
从而实数a的值为1.
(2)若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析 由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq \f(1,2).故a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
课时精练
1．下列命题中是假命题的是( )
A．∃x0∈R，lg2x0＝0 B．∃x0∈R，cs x0＝1
C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0
答案 C
解析 因为lg21＝0，cs 0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.
2．(2021·长沙期末)命题p：“∀x∈N*，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤eq \f(1,2)”的否定为( )
A．∀x∈N*，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>eq \f(1,2)
B．∀x∉N*，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>eq \f(1,2)
C．∃x0∉N*，
D．∃x0∈N*，
答案 D
解析 命题p的否定是把“∀”改成“∃”，再把“eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤eq \f(1,2)”改为“”即可，故选D.
3．下列命题是真命题的是( )
A．所有的素数都是奇数
B．∀x∈R，x2＋1≥0
C．对于每一个无理数x，x2是有理数
D．∀x∈Z，eq \f(1,x)∉Z
答案 B
解析 对于A,2是素数，但2不是奇数，A假；对于B，∀x∈R，总有x2≥0，则x2＋1≥0恒成立，B真；对于C，eq \r(π)是无理数，(eq \r(π))2＝π还是无理数，C假；对于D,1∈Z，但eq \f(1,1)＝1∈Z，D假，故选B.
4．若命题p：∀x∈R,2x2－1>0，则该命题的否定是( )
A．∃x0∈R,2xeq \\al(2,0)－1<0 B．∀x∈R,2x2－1≥0
C．∃x0∈R,2xeq \\al(2,0)－1≤0 D．∀x∈R,2x2－1<0
答案 C
解析 由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题p：∀x∈R,2x2－1>0的否定是“∃x0∈R,2xeq \\al(2,0)－1≤0”．
5．已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
答案 C
解析 已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0，故选C.
6．已知命题“∃x0∈R,4xeq \\al(2,0)＋(a－2)x0＋eq \f(1,4)≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0,4]
C．[4，＋∞) D．(0,4)
答案 D
解析 因为命题“∃x0∈R,4xeq \\al(2,0)＋(a－2)x0＋eq \f(1,4)≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋eq \f(1,4)>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×eq \f(1,4)＝a2－4a<0，
解得07．(多选)下列命题为假命题的是( )
A．∃x0∈R，ln(xeq \\al(2,0)＋1)<0
B．∀x>2,2x>x2
C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin β
D．∀x∈(0，π)，sin x>cs x
答案 ABD
解析 ∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥ln 1＝0，故A为假命题；
当x＝4时，2x＝x2，故B为假命题；
当α＝β＝0时，sin(α－β)＝0＝sin α－sin β，故C为真命题；
当x＝eq \f(π,6)时，sin eq \f(π,6)8．(多选)下列四个命题中，为假命题的是( )
A．∃x0∈(0,1)，
B．“∀x∈R，x2＋x－1>0”的否定是“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋x0－1<0”
C．“函数f(x)在(a，b)内f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充要条件
D．已知f(x)在x0处存在导数，则“f′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)的极值点”的必要不充分条件
答案 BC
解析 对于A，设f(x)＝2x－eq \f(1,x)，x∈(0,1)，因为f′(x)＝2xln 2＋eq \f(1,x2)>0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，而f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(2)－2<0，f(1)＝1>0，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) f(1)<0，即∃x0∈(0，1)，使得f(x0)＝0，即，A正确；
对于B，“∀x∈R，x2＋x－1>0”的否定是“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋x0－1≤0”，B不正确；
对于C，“函数f(x)在(a，b)内f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充分条件，C不正确；
对于D，因为f(x)在x0处存在导数，根据极值点的定义可知，“x0是函数f(x)的极值点”可以推出“f′(x0)＝0”，但是“f′(x0)＝0”不一定可以推出“x0是函数f(x)的极值点”，比如函数f(x)＝x3在x＝0处有f′(0)＝0，但是x＝0不是函数f(x)的极值点，D正确．
9．(2021·北京通州区模拟)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋eq \f(15,2)a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)，＋∞))
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋eq \f(15,2)a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋eq \f(15,2)a>0对任意实数x恒成立．
设f(x)＝x2－5x＋eq \f(15,2)a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×eq \f(15,2)a<0，解得a>eq \f(5,6)，
即实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)，＋∞)).
10．已知命题“∀x∈R，sin x－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1]
解析 由题意，对∀x∈R，a≤sin x成立．由于对∀x∈R，－1≤sin x≤1，所以a≤－1.
11．若命题“∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________________．
答案 (－4,0]
解析 “对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－412．已知下列命题：
①“∀x∈(0,2)，3x>x3”的否定是“∃x0∈(0,2)，≤xeq \\al(3,0)”；
②若f(x)＝2x－2－x，则∀x∈R，f(－x)＝－f(x)；
③若f(x)＝x＋eq \f(1,x＋1)，则∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1.
其中真命题是________．(将所有真命题的序号都填上)
答案 ①②
解析 对于①，命题“∀x∈(0,2)，3x>x3”的否定是“∃x0∈(0,2)，≤xeq \\al(3,0)”，故①为真命题；对于②，若f(x)＝2x－2－x，则∀x∈R，f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，故②为真命题；对于③，对于函数f(x)＝x＋eq \f(1,x＋1)＝x＋1＋eq \f(1,x＋1)－1≥2－1＝1，x>－1，当且仅当x＝0时，f(x)＝1，故③为假命题．故答案为①②.
13．(2019·石家庄质检)命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是( )
A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0
D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0
答案 D
解析 根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.
14．若“∃x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得2xeq \\al(2,0)－λx0＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________．
答案 (－∞，2eq \r(2)]
解析 若“∃x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得2xeq \\al(2,0)－λx0＋1<0成立”是假命题，
即“∃x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得λ>2x0＋eq \f(1,x0)成立”是假命题，
x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，当x0＝eq \f(\r(2),2)时，2x0＋eq \f(1,x0)取最小值2eq \r(2)，
故实数λ的取值范围为(－∞，2eq \r(2)]．
15．(多选)下列命题正确的是( )
A．∃x0>0，ln x0＋eq \f(1,ln x0)≤2
B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
答案 ABD
解析 当x0＝eq \f(1,2)>0时，ln x0<0，ln x0＋eq \f(1,ln x0)<0，故A正确；
根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；
当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
因为当a≠0时，ab有可能等于0，当ab≠0时，必有a≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．
16．已知p：∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))，2x>m(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若命题p，q一真一假，则实数m的取值范围是____________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,17)，1))
解析 ∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))，2x>m(x2＋1)，即m当x＝eq \f(1,4)时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))max＝eq \f(17,4)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,x2＋1)))min＝eq \f(8,17)，
∴若p为真，则m设t＝2x，则t∈(0，＋∞)，
则函数f(x)化为g(t)＝t2＋2t＋m－1，
由题意知g(t)在(0，＋∞)上存在零点，
令g(t)＝0，得m＝－(t＋1)2＋2，
又t>0，所以若q为真，则m<1.
又命题p，q一真一假，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥\f(8,17)，,m<1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<\f(8,17)，,m≥1，))
解得eq \f(8,17)≤m<1.
故所求实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,17)，1)).命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)