2022高考数学一轮复习 第八章 §8.2　两条直线的位置关系

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一、两条直线的平行与垂直
1．两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
2．两条直线垂直
(1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
二、两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
三、三种距离公式
1．两点间的距离公式
(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(2)结论：|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
3．两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
微思考
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1不同时为0；A2，B2不同时为0)，则l1∥l2的充要条件是什么，l1⊥l2的充要条件是什么？
提示 l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且B1C2≠B2C1(或A1C2≠A2C1)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点的坐标是什么？
提示 (2a－x0,2b－y0)．
3．点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线y＝kx＋b(k≠0)对称，列出P，Q坐标的关系式．
提示 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y2－y1,x2－x1)·k＝－1，,\f(y1＋y2,2)＝k·\f(x1＋x2,2)＋b.))
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( × )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )
题组二 教材改编
2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案 1
解析 由题意知eq \f(m－4,－2－m)＝1，
所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.
3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
答案 －9
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
4．两平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________．
答案 eq \f(2\r(13),13)
解析 因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝eq \f(|－8－－10|,\r(22＋32))＝eq \f(2\r(13),13).
题组三 易错自纠
5．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案 C
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2)(m≠0)，故m＝2或－3.故选C.
6．(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是( )
A．(2,0) B．(0,2)
C．(4,6) D．(6,4)
答案 AC
解析 设B(x，y)，根据题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kAC·kBC＝－1，,|BC|＝|AC|，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3－4,3－0)·\f(y－3,x－3)＝－1，,\r(x－32＋y－32)＝\r(0－32＋4－32)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝6，))所以B(2,0)或B(4,6)．
故选AC.
题型一 两条直线的平行与垂直
1．已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于( )
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
答案 D
解析 方法一 ∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．
又∵l1∥l2，∴eq \f(a－1,－2)＝－eq \f(1,a)，
∴a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等．
∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行．
方法二 由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，
解得a＝－1或a＝2.
由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.
所以a＝－1或a＝2.
2．若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c等于( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案 B
解析 由已知得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,4)))×eq \f(2,5)＝－1，a＋4c－2＝0,2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.
3．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是( )
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
答案 A
解析 因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，直线3x－2y＋5＝0的斜率为eq \f(3,2)，所以所求直线l的方程为y＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，化为一般式，得6x－4y－3＝0.
4．已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 D
解析 由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝eq \f(2,3)或－eq \f(4,3)；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－eq \f(2,3).所以实数m的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).
思维升华 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
题型二 两直线的交点与距离问题
1．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq \f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(1,2)))
解析 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1).))
(若2k＋1＝0，即k＝－eq \f(1,2)，则两直线平行)
∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).
又∵交点位于第一象限，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)>0，,\f(6k＋1,2k＋1)>0，))
解得－eq \f(1,6)