2022高考数学一轮复习 第八章 §8.5 第1课时　椭圆及其性质

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1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点F1，F2.
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半．
2．椭圆的简单几何性质
微思考
1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
题组二 教材改编
2．已知F1(－3,0)，F2(3,0)，若点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是
____________．
答案 eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝eq \r(a2－c2)＝4，故点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
3．若椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的焦距为4，则m＝________.
答案 4或8
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．
答案 eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
解析 如图，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又△ABF2的周长为16，
所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝16，
即4a＝16，a＝4，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，
则c＝2eq \r(2)，b＝eq \r(a2－c2)＝2eq \r(2)，
故椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
5．已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1))
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．
由题意可得点P到x轴的距离为1，
所以y＝±1，把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，
得x＝±eq \f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1)).
题组三 易错自纠
6．若方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，则m满足的条件是____________________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>\f(1,2)))且m≠1))
解析 由方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，
知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,2m－1>0，,m≠2m－1，))解得m>eq \f(1,2)且m≠1.
7．已知椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1(m>0)的离心率e＝eq \f(\r(10),5)，则m的值为________．
答案 3或eq \f(25,3)
解析 若a2＝5，b2＝m，则c＝eq \r(5－m)，
由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),5)，即eq \f(\r(5－m),\r(5))＝eq \f(\r(10),5)，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，
则c＝eq \r(m－5).
由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),5)，即eq \f(\r(m－5),\r(m))＝eq \f(\r(10),5)，
解得m＝eq \f(25,3).
综上，m＝3或eq \f(25,3).
8．已知点A(－2,0)，B(0,1)在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，则椭圆C的方程为________；若直线y＝eq \f(1,2)x交椭圆C于M，N两点，则|MN|＝________.
答案 eq \f(x2,4)＋y2＝1 eq \r(10)
解析 由题意可知，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，
由点A(－2,0)，B(0,1)且焦点在x轴上，得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1；
设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))(x1>0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝\f(1,2)x，))
解得x1＝eq \r(2)，y1＝eq \f(\r(2),2)，x2＝－eq \r(2)，y2＝－eq \f(\r(2),2)，
则|MN|＝eq \r(\r(2)＋\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)))2)＝eq \r(10).
第1课时 椭圆及其性质
题型一 椭圆的定义及应用
例1 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案 A
解析 连接QA(图略)．
由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
答案 eq \f(4\r(3),3)
解析 由题意知，c＝eq \r(a2－4).又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2eq \r(a2－4)，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cs 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝eq \f(16,3)，
∴＝eq \f(1,2)|F1P|·|PF2|sin 60°＝eq \f(1,2)×eq \f(16,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4\r(3),3).
若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．
解 ∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝4.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1 (1)设P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为________．
答案 60°
解析 由椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1，
可得2a＝8，设eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝m，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝n，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝2a＝8，,mn＝12，,4c2＝28＝m2＋n2－2mncs∠F1PF2，))
化简可得cs∠F1PF2＝eq \f(1,2)，∴∠F1PF2＝60°.
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
答案 6＋eq \r(2) 6－eq \r(2)
解析 椭圆方程化为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
∴|AF1|＝eq \r(2)，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq \r(2)，最小值为6－eq \r(2).
题型二 椭圆的标准方程
例2 (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
答案 D
解析 由题意可知椭圆焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意可知c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
可得a＝2，又a2＝b2＋c2，可得b2＝3，
所以椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
答案 eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1
解析 方法一 (待定系数法)设所求椭圆方程为eq \f(y2,25－k)＋eq \f(x2,9－k)＝1(k|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0)有相同的离心率．
②与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
跟踪训练2 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为( )
A.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,84)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,84)＋eq \f(y2,100)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1
答案 BD
解析 因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝10，,c＝4，))解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1.
(2)(2020·泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,7)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 C
解析 设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2eq \r(5)，
所以m2＋n2＝20，mn＝8，
所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
因为c＝eq \r(5)，所以b＝eq \r(a2－c2)＝2.
所以椭圆的方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
题型三 椭圆的简单几何性质
命题点1 离心率
例3 (1)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
答案 D
解析 如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝eq \r(3)，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝eq \f(|PB|,|AB|)＝eq \f(\r(3),a＋2)＝eq \f(\r(3),6)，
解得a＝4，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,4).
(2)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 A
解析 由题设知，直线l：eq \f(x,－c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±eq \f(b2,a)，即圆的半径r＝eq \f(b2,a).又圆与直线l有公共点，所以eq \f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq \f(b2,a)，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq \f(c,a)≤eq \f(\r(5),5).又0