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2021年四川省内江市市中区中考数学适应性试题（word版 含答案）
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这是一份2021年四川省内江市市中区中考数学适应性试题（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，拓展探索题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省内江市市中区中考数学适应性试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．－2021的绝对值是（ ）
A．－2021 B．2021 C． D．
2．嫦娥五号距离地球约160000公里，其中160000用科学记数法表示为（ ）
A．16×104 B．1.6×104 C．1.6×105 D．0.16×106
3．如图所示放置的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．了解河南省初中生身高情况适宜全面调查
B．甲，乙两名射击运动员5次射击成绩的方差分别为s甲2＝1.2，s乙2＝2，说明甲的射击成绩比乙的射击成绩稳定
C．同旁内角互补是必然事件
D．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
5．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．（2a+b）（2a﹣b）＝2a2﹣b2
C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．a4+a4＝2a8
6．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞0且x≠2 D．x≥0且x≠2
7．如图，在□ABCD中，AE＝AD，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（ ）
A．3 B．4 C．4.2 D．4.8
8．关于的一元二次方程有实数根，则满足（ ）
A． B．且 C．且 D．
9．如图，为⊙的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角的度数为（ ）
A．57° B．52° C．38° D．26°
10．《孙子算经》有一道题．大概意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还余 4.5 尺， 将绳子对折再量木头，则木头还剩余 1 尺，问木头长多少尺？可设木头为 x 尺，绳长为 y 尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非正数，则符合条件的a所有整数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
二、填空题
13．分解因式：a2b－4b3＝______．
14．一组数据4，4，5，5，，6，7的平均数是5，则这组数据的中位数是_________．
15．直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2）．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝____．
16．如图，等边△ABC的面积为，顺次连接△ABC各边的中点得△A1B1C1，顺次连接△A1B1C1各边的中点得△A2B2C2，…，如此下去得△A2021B2021C2021，则△A2021B2021C2021的周长为______．
17．已知实数x，y，z满足，则的值为_________．
18．如图，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点，已知平行四边形的面积是，则点B的坐标为___．
19．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．
20．如图，P为菱形ABCD内一动点，连接PA，PB，PD，∠APD＝∠BAD＝60°，AB＝2，则PB+PD的最大值为______．
三、解答题
21．计算：．
22．如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结．
（1）求证：≌；
（2）若，请求出的长．
23．为落实疫情期间的垃圾分类，树立全面环保意识，某校举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为，，，四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，______，______，等级对应的圆心角为______度；
（3）小明是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选取2人，参加市举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
24．如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高．（参考数据：）
25．如图，直线与双曲线在第一象限内交于A、B两点，已知，．
（1）求的值及直线的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
（3）设点P是线段上的一个动点，过点P作轴于点D，E是y轴上一点，当的面积最大时，请求出此时P点的坐标．
26．阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以，从而（当a＝b时取等号）．
阅读2：函数（常数m＞0，x＞0），由阅读1结论可知： ，所以当即时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为，求当x＝__________时，周长的最小值为__________．
问题2：已知函数y1＝x＋1（x＞－1）与函数y2＝x2＋2x＋17（x＞－1），当x＝__________时，的最小值为__________．
问题3：某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资6400元；二是学生生活费每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入＝支出总费用÷学生人数）
27．如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．
①求证：AG与⊙O相切；
②当，CE＝4时，直接写出CG的长．
28．如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
参考答案
1．B
【分析】
一个数的数绝对值是非负数，负数的绝对值是它的相反数．
【详解】
－2021的绝对值是2021；
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值的定义，以及求绝对值，掌握一个负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键．
2．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：160000=1.6×105．
故选：C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．B
【分析】
由题意根据三视图相关概念可知俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，从而得出选项．
【详解】
解：俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，该几何体从上面看得到一个圆里面有一个小圆
故选B．
【点睛】
本题考查三视图，熟练掌握俯视图是从物体的上面看得到的平面图形是解题关键．
4．B
【分析】
根据全面调查的意义、方差的意义、事件的分类及概率的意义逐一进行判断即可．
【详解】
A.河南省初中学生身高情况调查采用全面调查，费时费力且不易完成，适合抽样调查，不符合题意，
B.在一定条件下，方差越小说明数据稳定，符合题意，
C.两直线平行的条件下，同旁内角互补，而缺少条件则同旁内角不一定互补，不符合题意，
D.概率是反映事件发生机会的大小，不一定是确定数据，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查统计与调查及概率，在一定条件下，方差越小数据越稳定是解题关键．熟练掌握全面调查的意义、方差的意义、事件的分类及概率的意义是解题关键．
5．C
【分析】
分别根据同底数幂的乘法，平方差公式，积的乘方运算法则，合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】
解：A、a2•a4=a6，故本选项不合题意；
B、（2a+b）（2a-b）=4a2-b2，故本选项不合题意；
C、（-a2）3=-a6，故本选项符合题意；
D、a4+a4=2a4，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，平方差公式，同底数幂的乘法以及积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
6．D
【分析】
根据分式、二次根式有意义的条件，列出不等式组即可求出答案．
【详解】
由题可知x满足：
，
∴ 且，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式和分式的定义，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件，注意：二次根式有意义的条件是，；分式有意义的条件是，．
7．D
【分析】
根据平行四边形的对边相等可得，然后求出，再根据平行线分线段成比例定理求出、的比，然后求解即可．
【详解】
解：在中，，，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出AF、FC的比是解题的关键．
8．B
【分析】
根据根的判别式计算即可．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，，
∴，，
解得：，；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
9．B
【分析】
连接，由直径所对的圆周角是直角，求解，利用同圆中同弧所对的圆周角相等可得答案．
【详解】
解：连接，
为的直径，
故选B．
【点睛】
本题考查的是直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，掌握以上知识是解题的关键．
10．D
【分析】
根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，，
故选D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
11．D
【分析】
先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出a的取值范围，再由分式方程的解求出a的范围，得到两个a的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a的值．
【详解】
，
解①得：；
解②得：；
∵关于x的一元一次不等式组的解集为；
∴，解得；
∵的解为非正数；
∴解得；
综上所述，可得：a的取值范围为；
则符合条件的a所有整数有：2，3，4，5，6．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组及应用，解分式方程．解题关键是由条件得到a的取值范围．
12．A
【分析】
当x2时，y值随x值的增大而增大，得由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，，得，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有＞即＜ 当对称轴是y轴时，有 当对称轴在y轴的左侧时，有＞从而可得结论．
【详解】
解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得：＜
由②得：
由③得：
解得：＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．
13．b(a＋2b)(a－2b)
【分析】
当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式a，再对余下的多项式继续分解．
【详解】
解：a2b－4b3=b（a2-4b2）=b（a+2b）（a-2b）．
故答案为：b(a＋2b)(a－2b)．
【点睛】
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．5
【分析】
根据算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解．
【详解】
解：∵这组数据的平均数是5，
∴(4＋4＋5＋5＋x＋6＋7)÷7＝5，
解得：x＝4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7，
∴中位数为5，
故答案是：5．
【点睛】
本题考查了算术平均数、中位数的知识：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15．-2
【分析】
连接OB，AC，根据O，B的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．
【详解】
解：连接OB，AC，交点为P，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（1，2），
∴P的坐标（，1），
∵A（3，1），
∴C的坐标为（-2，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，
∴k=-2×1=-2，
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键．
16．
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半，根据此规律进行解答．
【详解】
解：∵等边△ABC的面积为，
∴AB=BC，∠B=60°，
∴A1B=AB，
∴△ABC的高为AB，
∴BC•AB=，则AB=BC=2，
∴△ABC的周长为6．
∵顺次连接△ABC各边的中点得△A1B1C1，
∴△A1B1C1的周长=×6=3，
同理：△A2B2C2的周长=△A1B1C1的周长=×3=，
以此类推，△AnBnCn的周长=△An-1Bn-1Cn-1的周长=，
∴△A2021B2021C2021的周长=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，等边三角形的性质，图形类规律，推出后一个三角形的周长等于前一个三角形周长的一半是解题的关键．
17．
【分析】
令＝＝=，则x=2k，y=6k，z=3k．代入求值即可．
【详解】
∵＝＝=，
∴x=2k，y−z=3k，x+z=5k，
∴y=6k，z=3k.
∴===.
故答案为.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.
18．
【分析】
过点B作BE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则BE∥DF∥CG，根据平行四边形的性质，证明△COG≌△BAE，，根据反比例函数的性质，证明，确定，证明△ODF∽△OBE，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】
过点B作BE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则BE∥DF∥CG，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC=AB，BC∥OA，
∴CG=BE，
∴△COG≌△BAE，
∴
∵平行四边形OABC的面积是，
∴，
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点，
∴，DF=2,OF=3，
∴，
∵BE∥DF，
∴△ODF∽△OBE，
∴，
∴，
即BE=3，
∴，
∴，
即OE=，
∴点B的坐标为（，3）．
故答案为：（，3）．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，坐标与线段的关系，三角形的全等，灵活构造辅助线，活用性质，证明三角形的相似是解题的关键．
19．
【分析】
连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】
解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
20．
【分析】
连接BD．根据菱形性质证明△ABD是等边三角形，可得动点P一定在△ABD的外接圆⊙O的劣弧BD上，在AP上取AE=BP，连接DE．证明△AED≌△BPD可得△PDE为等边三角形，当AP为⊙O的直径时，BP+PD的值最大，此时∠ABP=90°，∠PAB=30°．进而可得结果．
【详解】
解：如图，连接BD．在菱形ABCD中，AB=AD．
∵∠BAD=60°．
∴△ABD是等边三角形，
∴DA=DB，∠ABD=60°．
∵∠APD=∠BAD=60°．
∴动点P一定在△ABD的外接圆⊙O的劣弧BD上，
∴∠BPD=∠APD+∠APB=∠APD+∠ADB=120°．
在AP上取AE=BP，连接DE．
∵AE=BP，∠DAE=∠DBP，DA=DB，
∴△AED≌△BPD（SAS），
∴DE=DP，∠AED=∠BPD=120°，
∴∠DEP=60°，
∴△PDE为等边三角形，
∴PE=PD，
∴AP=AE+EP=BP+PD．
当AP为⊙O的直径时，BP+PD的值最大，
此时∠ABP=90°，∠PAB=30°．
∵AB=2，
∴PB+PD的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，把两条线段的长度之和转化为一条线段的长，运用了转化思想，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．
21．
【分析】
根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及二次根式的性质进行计算即可求解．
【详解】
解：
=
=
=
【点睛】
本题考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
22．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）利用正方形的性质得到，，即可解答
（2）利用全等三角形的性质得出，即可解答
【详解】
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴≌（）；
（2）解：∵≌，
∴，，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于利用正方形的性质进行求证
23．（1）40，条形统计图见解析；（2）10，40，144；（3）
【分析】
（1）从两个统计图可得，“D级”的有12人，占调查人数的30%，可求出调查人数；进而求出“B级”的人数，即可补全条形统计图；
（2）计算出“A级”所占的百分比，“C级”所占的百分比，进而求出“C级”所对应的圆心角的度数；
（3）用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【详解】
解：（1）12÷30%=40人，40×20%=8人，
故答案为：40，补全条形统计图如图所示：
（2）4÷40=10%，16÷40=40%，
360°×40%=144°．
故答案为：10，40，144；
（3）设除小明以外的三个人记作A、B、C，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：
共有12中可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为.
【点睛】
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
24．（1）古树BH的高为11.5米；（2）教学楼CG的高约为25米．
【分析】
（1）由知，据此得；
（2）设米，则米，由知，据此得，解之求得x的值，代入计算可得．
【详解】
解：（1）在中，，
∴古树的高为11.5米；
（2）在中，，
，
设米，则米，
在中，，
，
，
解得：，
答：教学楼CG的高约为25米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
六、拓展探索题
25．（1）；；（2）或；（3）
【分析】
（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m和的值，再根据待定系数法即可得到AB的解析式；
（2）依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式的解集；
（3）设点，用含x的代数式表示出△PED的面积，再根据二次函数的最值即可得到点P的坐标；
【详解】
（1）：∵点在双曲线上，
∴，
∴双曲线的解析式为．
∵在双曲线，
∴，∴．
∵直线过、两点，
∴，解得，
∴直线的解析式为
（2）根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得：
双曲线在直线上方的部分对应的x范围是：或，
∴不等式的解集为或．
（3）点的坐标为．
设点，且，
则．
∵＜0，∴S有最大值．
∴当时，S最大，，
∴此时点的坐标为．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，准确计算是解题的关键．
26．问题1： 2 8 问题2： 3 8 问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为y元，依题意得：，因为x＞0，所以，当即x=800时，y取最小值26．答：当学校学生人数为800人时，该校每天生均投入最低，最低费用是26元.
【详解】
试题分析：
问题1：当 时，周长有最小值，求x的值和周长最小值；
问题2：变形，由当x+1= 时，的最小值，求出x值和的最小值；
问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为y元，根据生均投入=支出总费用÷学生人数，列出关系式，根据前两题解法，从而求解．
试题解析：
问题1：∵当( x>0)时，周长有最小值，
∴x=2，
∴当x=2时，有最小值为=4．即当x=2时，周长的最小值为2×4=8；
问题2：∵y1＝x＋1（x＞－1）与函数y2＝x2＋2x＋17（x＞－1），
∴，
∵当x+1= （x＞－1）时，的最小值，
∴x=3，
∴x=3时，有最小值为4+4＝8，即当x=3时，的最小值为8；
问题3：设学校学生人数为x人，则生均投入y元，依题意得
，因为x＞0，所以，当即x=800时，y取最小值26.
答：当学校学生人数为800时，该校每天生均投入最低，最低费用是26元．
27．（1）详见解析；（2）①详见解析；②x＝
【分析】
（1）想办法证明∠B+∠BAE＝90°即可解决问题．
（2）①连接OA，想办法证明OA⊥AG即可解决问题．②过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．利用相似三角形的性质构建方程组解决问题即可．
【详解】
（1）证明：∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝90°，
∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，
∴∠ABE+∠EAF＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）①证明：连接OA，AC．
∵AD⊥BC，
∴AE＝ED，
∴CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
∵∠GAE＝2∠D，
∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠CEA＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠CAG+∠OAC＝90°，
∴OA⊥AG，
∴AG是⊙O的切线．
②解：过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．
∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，CE⊥AE，
∴CH＝CE，
∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，EC＝CH，
∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），
∴AE＝AH，
∵EF⊥AB，BC是直径，
∴∠BFE＝∠BAC，
∴EF∥AC，
∴，
∵CE＝4，
∴BE＝10，
∵BC⊥AD，
∴，
∴∠CAE＝∠ABC，
∵∠AEC＝∠AEB＝90°，
∴△AEB∽△CEA，
∴，
∴AE2＝4×10，
∵AE＞0，
∴AE＝，
∴AH＝AE＝，
∵∠G＝∠G，∠CHG＝∠AEG＝90°，
∴△GHC∽△GEA，
∴，
∴，
解得x＝．
经检验：x＝是原方程的根且符合题意，
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
28．（1）；（2）或；（3）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；
（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON•xM，即可求解．
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，
当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），
由点A、C、D的坐标得，AC＝，
同理可得：AD＝，CD＝，
①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1，）；
（3）∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2＋2m＋3），
设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则，
解得：，
故直线BM的表达式为y＝﹣x＋，
当x＝0时，y＝，故点N（0，），则ON＝；
S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
解得m＝﹣2±（舍去负值），
经检验m＝﹣2是方程的根，
故m＝﹣2．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
2021年四川省内江市市中区中考数学适应性试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．－2021的绝对值是（ ）
A．－2021 B．2021 C． D．
2．嫦娥五号距离地球约160000公里，其中160000用科学记数法表示为（ ）
A．16×104 B．1.6×104 C．1.6×105 D．0.16×106
3．如图所示放置的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．了解河南省初中生身高情况适宜全面调查
B．甲，乙两名射击运动员5次射击成绩的方差分别为s甲2＝1.2，s乙2＝2，说明甲的射击成绩比乙的射击成绩稳定
C．同旁内角互补是必然事件
D．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
5．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．（2a+b）（2a﹣b）＝2a2﹣b2
C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．a4+a4＝2a8
6．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞0且x≠2 D．x≥0且x≠2
7．如图，在□ABCD中，AE＝AD，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（ ）
A．3 B．4 C．4.2 D．4.8
8．关于的一元二次方程有实数根，则满足（ ）
A． B．且 C．且 D．
9．如图，为⊙的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角的度数为（ ）
A．57° B．52° C．38° D．26°
10．《孙子算经》有一道题．大概意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还余 4.5 尺， 将绳子对折再量木头，则木头还剩余 1 尺，问木头长多少尺？可设木头为 x 尺，绳长为 y 尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非正数，则符合条件的a所有整数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
二、填空题
13．分解因式：a2b－4b3＝______．
14．一组数据4，4，5，5，，6，7的平均数是5，则这组数据的中位数是_________．
15．直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2）．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝____．
16．如图，等边△ABC的面积为，顺次连接△ABC各边的中点得△A1B1C1，顺次连接△A1B1C1各边的中点得△A2B2C2，…，如此下去得△A2021B2021C2021，则△A2021B2021C2021的周长为______．
17．已知实数x，y，z满足，则的值为_________．
18．如图，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点，已知平行四边形的面积是，则点B的坐标为___．
19．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．
20．如图，P为菱形ABCD内一动点，连接PA，PB，PD，∠APD＝∠BAD＝60°，AB＝2，则PB+PD的最大值为______．
三、解答题
21．计算：．
22．如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结．
（1）求证：≌；
（2）若，请求出的长．
23．为落实疫情期间的垃圾分类，树立全面环保意识，某校举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为，，，四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，______，______，等级对应的圆心角为______度；
（3）小明是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选取2人，参加市举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
24．如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高．（参考数据：）
25．如图，直线与双曲线在第一象限内交于A、B两点，已知，．
（1）求的值及直线的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
（3）设点P是线段上的一个动点，过点P作轴于点D，E是y轴上一点，当的面积最大时，请求出此时P点的坐标．
26．阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以，从而（当a＝b时取等号）．
阅读2：函数（常数m＞0，x＞0），由阅读1结论可知： ，所以当即时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为，求当x＝__________时，周长的最小值为__________．
问题2：已知函数y1＝x＋1（x＞－1）与函数y2＝x2＋2x＋17（x＞－1），当x＝__________时，的最小值为__________．
问题3：某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资6400元；二是学生生活费每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入＝支出总费用÷学生人数）
27．如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．
①求证：AG与⊙O相切；
②当，CE＝4时，直接写出CG的长．
28．如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
参考答案
1．B
【分析】
一个数的数绝对值是非负数，负数的绝对值是它的相反数．
【详解】
－2021的绝对值是2021；
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值的定义，以及求绝对值，掌握一个负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键．
2．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：160000=1.6×105．
故选：C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．B
【分析】
由题意根据三视图相关概念可知俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，从而得出选项．
【详解】
解：俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，该几何体从上面看得到一个圆里面有一个小圆
故选B．
【点睛】
本题考查三视图，熟练掌握俯视图是从物体的上面看得到的平面图形是解题关键．
4．B
【分析】
根据全面调查的意义、方差的意义、事件的分类及概率的意义逐一进行判断即可．
【详解】
A.河南省初中学生身高情况调查采用全面调查，费时费力且不易完成，适合抽样调查，不符合题意，
B.在一定条件下，方差越小说明数据稳定，符合题意，
C.两直线平行的条件下，同旁内角互补，而缺少条件则同旁内角不一定互补，不符合题意，
D.概率是反映事件发生机会的大小，不一定是确定数据，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查统计与调查及概率，在一定条件下，方差越小数据越稳定是解题关键．熟练掌握全面调查的意义、方差的意义、事件的分类及概率的意义是解题关键．
5．C
【分析】
分别根据同底数幂的乘法，平方差公式，积的乘方运算法则，合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】
解：A、a2•a4=a6，故本选项不合题意；
B、（2a+b）（2a-b）=4a2-b2，故本选项不合题意；
C、（-a2）3=-a6，故本选项符合题意；
D、a4+a4=2a4，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，平方差公式，同底数幂的乘法以及积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
6．D
【分析】
根据分式、二次根式有意义的条件，列出不等式组即可求出答案．
【详解】
由题可知x满足：
，
∴ 且，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式和分式的定义，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件，注意：二次根式有意义的条件是，；分式有意义的条件是，．
7．D
【分析】
根据平行四边形的对边相等可得，然后求出，再根据平行线分线段成比例定理求出、的比，然后求解即可．
【详解】
解：在中，，，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出AF、FC的比是解题的关键．
8．B
【分析】
根据根的判别式计算即可．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，，
∴，，
解得：，；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
9．B
【分析】
连接，由直径所对的圆周角是直角，求解，利用同圆中同弧所对的圆周角相等可得答案．
【详解】
解：连接，
为的直径，
故选B．
【点睛】
本题考查的是直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，掌握以上知识是解题的关键．
10．D
【分析】
根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，，
故选D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
11．D
【分析】
先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出a的取值范围，再由分式方程的解求出a的范围，得到两个a的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a的值．
【详解】
，
解①得：；
解②得：；
∵关于x的一元一次不等式组的解集为；
∴，解得；
∵的解为非正数；
∴解得；
综上所述，可得：a的取值范围为；
则符合条件的a所有整数有：2，3，4，5，6．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组及应用，解分式方程．解题关键是由条件得到a的取值范围．
12．A
【分析】
当x2时，y值随x值的增大而增大，得由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，，得，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有＞即＜ 当对称轴是y轴时，有 当对称轴在y轴的左侧时，有＞从而可得结论．
【详解】
解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得：＜
由②得：
由③得：
解得：＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．
13．b(a＋2b)(a－2b)
【分析】
当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式a，再对余下的多项式继续分解．
【详解】
解：a2b－4b3=b（a2-4b2）=b（a+2b）（a-2b）．
故答案为：b(a＋2b)(a－2b)．
【点睛】
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．5
【分析】
根据算术平均数、中位数的概念，结合题意进行求解．
【详解】
解：∵这组数据的平均数是5，
∴(4＋4＋5＋5＋x＋6＋7)÷7＝5，
解得：x＝4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：4，4，4，5，5，6，7，
∴中位数为5，
故答案是：5．
【点睛】
本题考查了算术平均数、中位数的知识：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15．-2
【分析】
连接OB，AC，根据O，B的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．
【详解】
解：连接OB，AC，交点为P，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（1，2），
∴P的坐标（，1），
∵A（3，1），
∴C的坐标为（-2，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，
∴k=-2×1=-2，
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键．
16．
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半，根据此规律进行解答．
【详解】
解：∵等边△ABC的面积为，
∴AB=BC，∠B=60°，
∴A1B=AB，
∴△ABC的高为AB，
∴BC•AB=，则AB=BC=2，
∴△ABC的周长为6．
∵顺次连接△ABC各边的中点得△A1B1C1，
∴△A1B1C1的周长=×6=3，
同理：△A2B2C2的周长=△A1B1C1的周长=×3=，
以此类推，△AnBnCn的周长=△An-1Bn-1Cn-1的周长=，
∴△A2021B2021C2021的周长=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，等边三角形的性质，图形类规律，推出后一个三角形的周长等于前一个三角形周长的一半是解题的关键．
17．
【分析】
令＝＝=，则x=2k，y=6k，z=3k．代入求值即可．
【详解】
∵＝＝=，
∴x=2k，y−z=3k，x+z=5k，
∴y=6k，z=3k.
∴===.
故答案为.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.
18．
【分析】
过点B作BE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则BE∥DF∥CG，根据平行四边形的性质，证明△COG≌△BAE，，根据反比例函数的性质，证明，确定，证明△ODF∽△OBE，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】
过点B作BE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则BE∥DF∥CG，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC=AB，BC∥OA，
∴CG=BE，
∴△COG≌△BAE，
∴
∵平行四边形OABC的面积是，
∴，
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点，
∴，DF=2,OF=3，
∴，
∵BE∥DF，
∴△ODF∽△OBE，
∴，
∴，
即BE=3，
∴，
∴，
即OE=，
∴点B的坐标为（，3）．
故答案为：（，3）．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，坐标与线段的关系，三角形的全等，灵活构造辅助线，活用性质，证明三角形的相似是解题的关键．
19．
【分析】
连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】
解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
20．
【分析】
连接BD．根据菱形性质证明△ABD是等边三角形，可得动点P一定在△ABD的外接圆⊙O的劣弧BD上，在AP上取AE=BP，连接DE．证明△AED≌△BPD可得△PDE为等边三角形，当AP为⊙O的直径时，BP+PD的值最大，此时∠ABP=90°，∠PAB=30°．进而可得结果．
【详解】
解：如图，连接BD．在菱形ABCD中，AB=AD．
∵∠BAD=60°．
∴△ABD是等边三角形，
∴DA=DB，∠ABD=60°．
∵∠APD=∠BAD=60°．
∴动点P一定在△ABD的外接圆⊙O的劣弧BD上，
∴∠BPD=∠APD+∠APB=∠APD+∠ADB=120°．
在AP上取AE=BP，连接DE．
∵AE=BP，∠DAE=∠DBP，DA=DB，
∴△AED≌△BPD（SAS），
∴DE=DP，∠AED=∠BPD=120°，
∴∠DEP=60°，
∴△PDE为等边三角形，
∴PE=PD，
∴AP=AE+EP=BP+PD．
当AP为⊙O的直径时，BP+PD的值最大，
此时∠ABP=90°，∠PAB=30°．
∵AB=2，
∴PB+PD的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，把两条线段的长度之和转化为一条线段的长，运用了转化思想，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．
21．
【分析】
根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及二次根式的性质进行计算即可求解．
【详解】
解：
=
=
=
【点睛】
本题考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
22．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）利用正方形的性质得到，，即可解答
（2）利用全等三角形的性质得出，即可解答
【详解】
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴≌（）；
（2）解：∵≌，
∴，，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于利用正方形的性质进行求证
23．（1）40，条形统计图见解析；（2）10，40，144；（3）
【分析】
（1）从两个统计图可得，“D级”的有12人，占调查人数的30%，可求出调查人数；进而求出“B级”的人数，即可补全条形统计图；
（2）计算出“A级”所占的百分比，“C级”所占的百分比，进而求出“C级”所对应的圆心角的度数；
（3）用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【详解】
解：（1）12÷30%=40人，40×20%=8人，
故答案为：40，补全条形统计图如图所示：
（2）4÷40=10%，16÷40=40%，
360°×40%=144°．
故答案为：10，40，144；
（3）设除小明以外的三个人记作A、B、C，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：
共有12中可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为.
【点睛】
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
24．（1）古树BH的高为11.5米；（2）教学楼CG的高约为25米．
【分析】
（1）由知，据此得；
（2）设米，则米，由知，据此得，解之求得x的值，代入计算可得．
【详解】
解：（1）在中，，
∴古树的高为11.5米；
（2）在中，，
，
设米，则米，
在中，，
，
，
解得：，
答：教学楼CG的高约为25米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
六、拓展探索题
25．（1）；；（2）或；（3）
【分析】
（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m和的值，再根据待定系数法即可得到AB的解析式；
（2）依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式的解集；
（3）设点，用含x的代数式表示出△PED的面积，再根据二次函数的最值即可得到点P的坐标；
【详解】
（1）：∵点在双曲线上，
∴，
∴双曲线的解析式为．
∵在双曲线，
∴，∴．
∵直线过、两点，
∴，解得，
∴直线的解析式为
（2）根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得：
双曲线在直线上方的部分对应的x范围是：或，
∴不等式的解集为或．
（3）点的坐标为．
设点，且，
则．
∵＜0，∴S有最大值．
∴当时，S最大，，
∴此时点的坐标为．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，准确计算是解题的关键．
26．问题1： 2 8 问题2： 3 8 问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为y元，依题意得：，因为x＞0，所以，当即x=800时，y取最小值26．答：当学校学生人数为800人时，该校每天生均投入最低，最低费用是26元.
【详解】
试题分析：
问题1：当 时，周长有最小值，求x的值和周长最小值；
问题2：变形，由当x+1= 时，的最小值，求出x值和的最小值；
问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为y元，根据生均投入=支出总费用÷学生人数，列出关系式，根据前两题解法，从而求解．
试题解析：
问题1：∵当( x>0)时，周长有最小值，
∴x=2，
∴当x=2时，有最小值为=4．即当x=2时，周长的最小值为2×4=8；
问题2：∵y1＝x＋1（x＞－1）与函数y2＝x2＋2x＋17（x＞－1），
∴，
∵当x+1= （x＞－1）时，的最小值，
∴x=3，
∴x=3时，有最小值为4+4＝8，即当x=3时，的最小值为8；
问题3：设学校学生人数为x人，则生均投入y元，依题意得
，因为x＞0，所以，当即x=800时，y取最小值26.
答：当学校学生人数为800时，该校每天生均投入最低，最低费用是26元．
27．（1）详见解析；（2）①详见解析；②x＝
【分析】
（1）想办法证明∠B+∠BAE＝90°即可解决问题．
（2）①连接OA，想办法证明OA⊥AG即可解决问题．②过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．利用相似三角形的性质构建方程组解决问题即可．
【详解】
（1）证明：∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝90°，
∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，
∴∠ABE+∠EAF＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）①证明：连接OA，AC．
∵AD⊥BC，
∴AE＝ED，
∴CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
∵∠GAE＝2∠D，
∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠CEA＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠CAG+∠OAC＝90°，
∴OA⊥AG，
∴AG是⊙O的切线．
②解：过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．
∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，CE⊥AE，
∴CH＝CE，
∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，EC＝CH，
∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），
∴AE＝AH，
∵EF⊥AB，BC是直径，
∴∠BFE＝∠BAC，
∴EF∥AC，
∴，
∵CE＝4，
∴BE＝10，
∵BC⊥AD，
∴，
∴∠CAE＝∠ABC，
∵∠AEC＝∠AEB＝90°，
∴△AEB∽△CEA，
∴，
∴AE2＝4×10，
∵AE＞0，
∴AE＝，
∴AH＝AE＝，
∵∠G＝∠G，∠CHG＝∠AEG＝90°，
∴△GHC∽△GEA，
∴，
∴，
解得x＝．
经检验：x＝是原方程的根且符合题意，
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
28．（1）；（2）或；（3）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；
（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON•xM，即可求解．
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，
当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），
由点A、C、D的坐标得，AC＝，
同理可得：AD＝，CD＝，
①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1，）；
（3）∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2＋2m＋3），
设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则，
解得：，
故直线BM的表达式为y＝﹣x＋，
当x＝0时，y＝，故点N（0，），则ON＝；
S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），
解得m＝﹣2±（舍去负值），
经检验m＝﹣2是方程的根，
故m＝﹣2．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
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