人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理导学案

这是一份人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，规律方法，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．了解向量法证明余弦定理的推导过程．
2．掌握余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题．
【自主预习】
1．余弦定理
(1)文字表述
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
(2)公示表达
a2＝b2＋c2－2bccs_A，b2＝a2＋c2－2accs_B，c2＝a2＋b2－2abcs_C．
(3)推论
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)．
2．利用余弦定理解三角形的注意事项
(1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”．
(2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论求解，也可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂，但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“三角形中大边对大角，小边对小角”的边角关系或图形帮助判断，尽可能减少出错的情况．
【互动探究】
1.在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，解三角形．
解：方法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得32＝a2＋(3eq \r(3))2－2a×3eq \r(3)×cs 30°．
所以a2－9a＋18＝0.解得a＝3或6．
当a＝3时，A＝B＝30°，C＝120°．
当a＝6时，由正弦定理，得
sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(6×\f(1,2),3)＝1．
所以A＝90°.所以C＝60°．
方法二 由bcsin 30°＝3eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3),2)知本题有两解．
由正弦定理，得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(3\r(3)×\f(1,2),3)＝eq \f(\r(3),2)．
所以C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理，得a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(32＋3\r(3)2)＝6．
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，所以a＝3．
【规律方法】已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法：
一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；一种方法是用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解．
2. (1)在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝eq \r(37)，则最大角为________．
(2)若△ABC的内角A，B，C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cs B＝________．
解析：(1)因为 eq \r(37)>4>3，边c最大，所以角C最大．又cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(32＋42－37,2×3×4)＝－eq \f(1,2)，
所以最大角C＝120°．
(2)由正弦定理及6sin A＝4sin B＝3sin C，可知6a＝4b＝3c.令a＝2，则b＝3，c＝4.由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(4＋16－9,2×2×4)＝eq \f(11,16)．
答案：(1)120° (2)eq \f(11,16)
【规律方法】已知三边求解三角形的策略
(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求解，再用正弦定理求解．在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．
3.在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形的形状．
解：已知等式可化为
a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]
＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，
所以2a2cs Asin B＝2b2cs Bsin A．
由正、余弦定理将角转化为边的关系，得
a2b·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2a·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)．
所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0．
所以a＝b或a2＋b2＝c2．
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【课堂练习】
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq \r(5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，则b＝( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3)
C．2 D．3
答案：D
2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A．eq \f(5,18) B．eq \f(3,4)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(7,8)
答案：D
3．在△ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于_________．
答案：7∶5∶3
4．在△ABC中，a＝2，则b·cs C＋c·cs B＝________．
答案：2
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝c2－(a－b)2，求cs C的值．
解：由向量的数量积的定义和余弦定理及eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝c2－(a－b)2，
得abcs C＝a2＋b2－2abcs C－(a2＋b2－2ab)．
整理得3abcs C＝2ab.故cs C＝eq \f(2,3)．