高中数学人教版新课标A必修51.2 应用举例学案设计

这是一份高中数学人教版新课标A必修51.2 应用举例学案设计，共6页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．掌握三角形的面积公式，能熟练计算三角形的面积．
2．会利用正、余弦定理计算三角形中的一些量，能结合三角函数公式求解综合问题．
【自主预习】
1．三角形的面积公式
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝eq \f(1,2)absin__C＝eq \f(1,2)bcsin__A＝eq \f(1,2)acsin__B．
2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有：
(1)l＝a＋b＋c(l为三角形的周长)；
(2)A＋B＋C＝π；
(3)S＝eq \f(abc,4R)(R是三角形外接圆的半径)；
(4)S＝2R2sin Asin Bsin C(R是三角形外接圆的半径)；
(5)海伦公式：S＝eq \r(pp－ap－bp－c)，其中p＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)．
【互动探究】
求三角形的面积
(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,4)，则△ABC的面积为( )
A．2eq \r(3)＋2 B．eq \r(3)＋1
C．2eq \r(3)－2 D．eq \r(3)－1
解析：由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)及已知条件得c＝2eq \r(2).又sin A＝sin(B＋C)＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).从而S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)×eq \f(\r(2)＋\r(6),4)＝eq \r(3)＋1．
答案：B
(2)已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．
解：如图，连接AC．
在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcs D＝62＋42－2×6×4cs 60°＝28．
在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，可得
cs B＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(22＋42－28,2×2×4)＝－eq \f(1,2)．
又0°＜B＜180°，所以B＝120°．
所以四边形ABCD的面积
S＝S△ACD＋S△ABC
＝eq \f(1,2)AD·CDsin D＋eq \f(1,2)AB·BCsin B
＝eq \f(1,2)×6×4sin 60°＋eq \f(1,2)×2×4sin 120°＝8eq \r(3)．
由三角形的面积求其他量
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝eq \f(π,3). 若△ABC的面积等于eq \r(3)，求a，b．
解：由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.又因为△ABC的面积等于eq \r(3)，所以eq \f(1,2)absin C＝eq \r(3)，即ab＝4．
联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2.))
与三角函数有关的综合问题
(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋eq \r(3)cs A＝0，a＝2eq \r(7)，b＝2．
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解：(1)由已知可得tan A＝－eq \r(3).所以A＝eq \f(2π,3)．
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccs eq \f(2π,3)，
即c2＋2c－24＝0．
解得c＝－6(舍去)或c＝4．
(2)由题设可得∠CAD＝eq \f(π,2)，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq \f(π,6)．
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
eq \f(\f(1,2)AB·AD·sin \f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1．
又△ABC的面积为eq \f(1,2)×4×2sin ∠BAC＝2eq \r(3)，
所以△ABD的面积为eq \r(3)．
【课堂练习】
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq \r(3)，则c等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A，所以eq \r(3)＝eq \f(1,2)×1×c×eq \f(\r(3),2).所以c＝4．
答案：D
2．已知三角形的面积为eq \f(1,4)，外接圆面积为π，则这个三角形的三边长之积为( )
A．1 B．2
C．eq \f(1,2) D．4
解析：设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，得R＝1.因为S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(abc,4R)＝eq \f(abc,4)＝eq \f(1,4)，所以abc＝1．
答案：A
3．在△ABC中，a＝3eq \r(2)，cs C＝eq \f(1,3)，S△ABC＝4eq \r(3)，则b＝________．
解析：在△ABC中，因为sin C＝eq \r(1－cs2C) ＝eq \f(2\r(2),3)，
a＝3eq \r(2)，S△ABC＝ eq \f(1,2)absin C＝4eq \r(3)，所以b＝2eq \r(3)．
答案：2eq \r(3)
4．若△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，c＝2，A＝60°，则b＋a＝________．
解析：因为S＝eq \f(1,2)bcsin A＝bsin 60°＝eq \f(\r(3),2)，
所以b＝1．
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A＝3．
所以a＝eq \r(3)．
所以b＋a＝1＋eq \r(3)．
答案：1＋eq \r(3)
5．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2．
(1)求角C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
解：(1)由题设及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcs C＝13－12cs C，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcs A＝5＋4cs C．②
由①②得cs C＝eq \f(1,2).故C＝60°，BD＝eq \r(7)．
(2)四边形ABCD的面积
S＝eq \f(1,2)AB·DAsin A＋eq \f(1,2)BC·CDsin C
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×1×2＋\f(1,2)×3×2))sin 60°＝2eq \r(3)．