2020-2021学年2.3 等差数列的前n项和学案及答案

这是一份2020-2021学年2.3 等差数列的前n项和学案及答案，共4页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．通过实例，理解等差数列和等差中项的概念，深化认识并能运用．
2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．
3．体会等差数列与一次函数的关系．
【自主预习】
1．等差数列的定义
2.等差数列的通项公式
an＝a1＋(n－1)d．
3．等差中项
若a，A，b三个数成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A＝eq \f(a＋b,2)．
【互动探究】
等差数列的概念
判断下列数列是否为等差数列．
(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n．
[思路点拨]本题考查判断数列是否是等差数列，即判断an＋1－an(n∈N*)是否为同一个常数．
解：(1)因为an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，
所以数列{an}是等差数列．
(2)因为an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，所以数列{an}不是等差数列．
等差数列的性质及应用
若数列{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，求a75．
解：设等差数列{an}的公差为d，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a15＝a1＋14d＝8，,a60＝a1＋59d＝20，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))
所以an＝a1＋(n－1)d＝eq \f(64,15)＋eq \f(4,15)(n－1)＝eq \f(4,15)n＋4．
所以a75＝eq \f(4,15)×75＋4＝20＋4＝24．
等差中项及其应用
在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
解：方法一 因为－1，a，b，c,7成等差数列，
所以b是－1与7的等差中项．
所以b＝eq \f(－1＋7,2)＝3．
又a是－1与3的等差中项，所以a＝eq \f(－1＋3,2)＝1．
又c是3与7的等差中项，所以c＝eq \f(3＋7,2)＝5．
所以该数列为－1,1,3,5,7．
方法二 设a1＝－1，a5＝7，则7＝－1＋(5－1)d，解得d＝2．
所以an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3．
所以该数列为－1,1,3,5,7．
【课堂练习】
1．x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y等于( )
A．0 B．10
C．20 D．不确定
解析：因为x＋1与y－1的等差中项为10，所以(x＋1)＋(y－1)＝2×10.所以x＋y＝20．
答案：C
2．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是( )
A．b－a B．eq \f(b－a,2)
C．eq \f(b－a,3) D．eq \f(b－a,4)
解析：由等差数列的通项公式，得b＝a＋(4－1)d.所以d＝eq \f(b－a,3)．
答案：C
3．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a9＝a1＋a1＋8d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2a5＝10，所以a5＝5．
答案：A
4．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12，则数列{an}的通项公式an＝_________．
解析：由a1＋a2＋a3＝12，得3a2＝12，即a2＝4．
所以d＝a2－a1＝2.所以an＝2n．
答案：2n
5．判断下列数列是不是等差数列：
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，…．
解：由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．
条件
(1)从第2项起
(2)每一项与前一项的差都等于同一常数
结论
这个数列就叫做等差数列
有关概念
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示