数学必修52.3 等差数列的前n项和学案

这是一份数学必修52.3 等差数列的前n项和学案，共5页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．掌握an与Sn的关系并会应用．
2．掌握等差数列前n项和的性质及应用．
3．会求等差数列前n项和的最值．
【自主预习】
1．数列的项an与前n项和Sn的关系
an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))
2．等差数列的前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0))确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0))确定．
(2)因为Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(1,2)dn2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(1,2)d))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
一个有用的结论：若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．
【互动探究】
已知数列{an}的前n项和Sn求an
已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋eq \f(1,2)n，求这个数列的通项公式．
解：根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)．
当n>1时，
an＝Sn－Sn－1
＝n2＋eq \f(1,2)n－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(n－12＋\f(1,2)n－1))
＝2n－eq \f(1,2).①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋eq \f(1,2)×1＝eq \f(3,2)，也满足①式．
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－eq \f(1,2)．
等差数列前n项和的最值问题
在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
解：方法一 由S17＝S9，得25×17＋eq \f(17,2)×(17－1)d＝25×9＋eq \f(9,2)(9－1)d.解得d＝－2．
所以Sn＝25n＋eq \f(n,2)(n－1)×(－2)＝－(n－13)2＋169．
由二次函数的性质知，当n＝13时，Sn有最大值169．
方法二 同方法一先求出d＝－2，
因为a1＝25>0，
又由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an＝25－2n－1≥0，,an＋1＝25－2n≤0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n≤13\f(1,2)，,n≥12\f(1,2)，))
所以当n＝13时，Sn有最大值169．
方法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0．
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.同方法一求出d＝－2．
因为d＝－2<0，a1>0，所以a13>0，a14<0．
故n＝13时，Sn有最大值169．
方法四 同方法一先求出d＝－2．
由d＝－2得Sn的图象如图所示．
由S17＝S9知图象对称轴为n＝eq \f(9＋17,2)＝13．
所以当n＝13时，Sn取得最大值169．
求等差数列前n项的绝对值之和
若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn．
解：因为a1＝13，d＝－4，所以an＝17－4n．
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝13n＋eq \f(nn－1,2)×(－4)＝15n－2n2；
当n≥5时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×eq \f(13＋1×4,2)－(15n－2n2)
＝2n2－15n＋56．
所以Tn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(15n－2n2n≤4，n∈N*，,2n2－15n＋56n≥5，n∈N*.))
【课堂练习】
1．已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：等差数列的前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，所以λ＝－1．
答案：B
2．设数列{an}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S9C．S11解析：由已知得d＝eq \f(a15－a2,15－2)＝1.所以a1＝－9．
所以a10＝a1＋9d＝0.所以S10＝S9＋a10＝S9．
答案：B
3．在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是____________．
解析：因为d<0，|a3|＝|a9|，
所以a3>0，a9<0且a3＋a9＝0.所以a6＝0．
所以a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>…．
所以当n＝5或6时，Sn取到最大值．
答案：5或6
4．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．
(1)求数列的公差；
(2)求前n项和Sn的最大值．
解：(1)由已知，得a6＝a1＋5d＝23＋5d＞0，
a7＝a1＋6d＝23＋6d＜0．
解得－eq \f(23,5)＜d＜－eq \f(23,6)．
又d∈Z，所以d＝－4．
(2)因为d＜0，所以数列{an}是递减数列．
又因为a6＞0，a7＜0，
所以当n＝6时，Sn取得最大值，为
S6＝6×23＋eq \f(6×5,2)×(－4)＝78．