高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.1 不等关系与不等式导学案

这是一份高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.1 不等关系与不等式导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
2．掌握不等式的有关性质.
3．能利用不等式性质进行数或式的大小比较或不等式证明．
【自主预习】
1．不等符号与不等关系的表示：
(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；
(2)不等关系用不等式来表示．
2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换
3.实数大小比较
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；
如果a－b等于零，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a(2)符号表示
a－b>0⇔a＞b; a－b＝0⇔a＝b；
a－b<0⇔a＜b．
4．常用的不等式的基本性质
(1)a>b⇔b(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；
(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒an>bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)．
【互动探究】
用不等式(组)表示不等关系
某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．
解：设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，依题意，可得不等式组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(500x＋600y≤4 000，,3x≥y，,x≥0，,y≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x＋6y≤40，,3x≥y，,x≥0，,y≥0.))
比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与3x；
(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2．
[思路点拨]我们知道，a－b＞0⇔a＞b，a－b＜0⇔a＜b，因此，若要比较两式的大小，只需作差，并将结果与0作比较即可．
解：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)＞0，
所以x2＋3＞3x．
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)
＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)．
因为a＞0，b＞0 且 a≠b，
所以(a－b)2＞0，a＋b＞0．
所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，
即a3＋b3＞a2b＋ab2．
【课堂练习】
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＝N
C．M解析：M－N＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
所以M>N．
答案：A
2．已知a，b，c，d∈R，则下列命题必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则eq \f(a,c)＞eq \f(b,d)D．若a2＞b2，则－a＜－b
解析：选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才成立．否则如a＝－1，b＝0时不成立．故选B．
答案：B
3．《铁路旅行常识》规定：“一、随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．
……
十、旅客免费携带物品的体积和质量是：每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，质量不超过20千克……”
设身高为h(米)，物品外部尺寸长、宽、高之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.
解析：身高在1.2～1.5米之间可表示为1.2≤h≤1.5，身高超过1.5米可表示为h>1.5，身高不足1.2米可表示为0答案：1.2≤h≤1.5 h>1.5 04．若a>b>0，n>0，则eq \f(1,an)________eq \f(1,bn).(填“>”“<”或“＝”)
解析：因为a>b>0，n>0，所以an>bn>0．
因为eq \f(1,an·bn)>0，
所以an·eq \f(1,anbn)>bn·eq \f(1,anbn)．
所以eq \f(1,bn)>eq \f(1,an)．
答案：<
5．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc．
又因为e>f，
所以e＋ac>f＋bc．
所以e－bc>f－ac，即f－ac大于
大于等于
小于
小于等于
至多
至少
不少于
不多于
＞
≥
＜
≤
≤
≥
≥
≤
文字
表述
身高在1．2～1.5
米之间
身高超
过1.5米
身高不
足1.2米
物体长、宽、高之和
不超过160厘米
符号表示