人教版新课标A必修52.4 等比数列导学案

这是一份人教版新课标A必修52.4 等比数列导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．掌握等比数列的性质，能够运用这些性质解题.
2．能运用等比数列的通项公式和性质解决等比数列中的计算问题．
【自主预习】
1．等比数列通项公式的推广
2．等比数列项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq．
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝aeq \\al(2,k)．
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…．
3．等比数列的常用结论
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则：
①{can}(c为任一常数)是公比为q的等比数列；
②{|an|}是公比为|q|的等比数列；
③{aeq \\al(m,n)}(m为常数，n∈N*)是公比为qm的等比数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
4．等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1<0,0(2)当a1>0,01时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；
(4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．
【互动探究】
等比数列性质的应用
已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5的值；
(2)若an>0，a5a6＝9，求lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10的值．
[思路点拨]运用等比数列下标与项的关系运算，也可以利用通项公式计算.
解：(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝aeq \\al(2,3)＋2a3a5＋aeq \\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝25．
因为an>0，所以a3＋a5>0.所以a3＋a5＝5．
(2)由等比数列的性质得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9.所以a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95．
所以lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10＝lg3(a1a2…a9a10)＝lg395＝10．
等比数列中的设项技巧
已知四个数中，前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．
解：设四个数为eq \f(2a,q)－a，eq \f(a,q)，a，aq，
则由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a2,q)＝16，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,q)－a))·aq＝－128.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝8，,q＝4，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－8，,q＝4.))
因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32．
等比数列的简单综合
是否存在都大于2的一对实数a，b(a－b＞1)，使得ab，eq \f(b,a)，a－b，a＋b可以按照某一次序排成一个等比数列？若存在，求出所有的实数对(a，b)；若不存在，说明理由．
[思路点拨]首先判断ab，eq \f(b,a)，a－b，a＋b的大小，假定存在，利用等比数列的性质求解．
解：因为a＞b＞2，且a－b＞1，
所以eq \f(b,a)＜a－b＜a＋b＜ab．
若四个数eq \f(b,a)，a－b，a＋b，ab成等比数列，
则(a－b)(a＋b)＝ab·eq \f(b,a).所以a＝eq \r(2)b．
又由(a＋b)2＝(a－b)ab，
解得a＝7＋5eq \r(2)，b＝5＋eq \f(7\r(2),2)．
【课堂练习】
1．已知a，b，c，d成等比数列，且抛物线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3 B．2
C．1 D．－2
解析：因为y＝(x－1)2＋2，所以b＝1，c＝2．
又因为a，b，c，d成等比数列，所以ad＝bc＝2．
答案：B
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则lg3a2＋lg3a9等于( )
A．9 B．6
C．3 D．2
解析：因为a2a9＝a1a10＝27，
所以lg3a2＋lg3a9＝lg327＝3．
答案：C
3．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________．
解析：由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6．
因为a1，a3，a4成等比数列，所以aeq \\al(2,3)＝a1a4．
所以(a1＋4)2＝(a1＋6)a1.解得a1＝－8．
所以a2＝－6．
答案：－6
4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
解析：设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2．
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8．
答案：8
5．已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9的值．
解：方法一 由等比数列的性质，
有a2a10＝a3a9＝aeq \\al(2,6)．
由a2·a6·a10＝1，得aeq \\al(3,6)＝1．
所以a6＝1.所以a3a9＝aeq \\al(2,6)＝1．
方法二 由等比数列的通项公式，得
a2a6a10＝(a1q)(a1q5)(a1q9)＝aeq \\al(3,1)·q15＝(a1q5)3＝1．
所以a1q5＝1．
所以a3a9＝(a1q2)(a1q8)＝(a1q5)2＝1．
通项公式
通项公式的推广
an＝a1qn－1
(揭示首末两项的关系)
an＝amqn－m
(揭示任意两项之间的关系)