高中3.2 一元二次不等式及其解法学案

这是一份高中3.2 一元二次不等式及其解法学案，共4页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．
2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．
3．掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
【自主预习】
1．一般的分式不等式的同解变形法则
(1)eq \f(fx,gx)>0⇔f(x)·g(x)＞0．
(2)eq \f(fx,gx)≤0⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(fx·gx≤0，,gx≠0；))
(3)eq \f(fx,gx)≥a⇔eq \f(fx－agx,gx)≥0．
2．一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0；))
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥fmax(x)；
k≤f(x)恒成立⇔k≤fmin(x)．
【互动探究】
分式不等式的解法
解下列不等式：
(1)eq \f(x－3,x＋2)<0；(2)eq \f(x＋1,2x－3)≤1．
解：(1)eq \f(x－3,x＋2)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2所以原不等式的解集为{x|－2(2)因为eq \f(x＋1,2x－3)≤1，所以eq \f(x＋1,2x－3)－1≤0．
所以eq \f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq \f(x－4,x－\f(3,2))≥0．
此不等式等价于(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq \f(3,2)≠0，解得x所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x |x＜\f(3,2)或x≥4))．
不等式的恒成立问题
关于x的不等式mx2－mx－6＋m<0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)若m＝0，则问题等价于－6<0对x∈R恒成立，显然成立．
(2)若m≠0，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ<0.))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0，,－m2－4mm－6<0.))解得m<0．
综上所知，实数m的取值范围是m≤0．
一元二次不等式的实际应用
某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和[(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额72万元]．该厂从第几年开始盈利？
解：由题意知，
f(n)＝50n－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12n＋\f(nn－1,2)×4))－72
＝－2n2＋40n－72．
由f(n)>0，即－2n2＋40n－72>0，
解得2由n∈N*知，从第三年开始盈利．
【课堂练习】
1．不等式(x－1)eq \r(x＋2)≥0的解集是( )
A．{x|x>1}B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2}D．{x|x≤－2或x＝1}
解析：由题意知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,x＋2≥0，))解得x≥1.又x＋2＝0，即x＝－2时，不等式也成立，所以原不等式的解集是{x|x≥1或x＝－2}．
答案：C
2．函数y＝eq \f(\r(－x2－3x＋4),x)的定义域为( )
A．[－4,1] B．[－4,0)
C．(0,1] D．[－4,0)∪(0,1]
解析：要使函数有意义，则需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2－3x＋4≥0，,x≠0，))解得－4≤x≤1且x≠0．
故定义域为[－4,0)∪(0,1]．
答案：D
3．不等式eq \f(x＋1,x)≤3的解集为_________．
解析：eq \f(x＋1,x)≤3⇔eq \f(x＋1,x)－3≤0⇔eq \f(2x－1,x)≥0⇔x(2x－1)≥0且x≠0⇔x<0或x≥eq \f(1,2)．
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0或x≥\f(1,2)))))
4．不等式ax2－6x＋a>0对x∈R恒成立，则实数a 的取值范围是______________．
解析：当a＝0时，不等式的解集为x<0，与已知矛盾．
当a≠0时，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝36－4a2<0，))解得a>3．
综上可知a>3．
答案：a>3
5．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？
解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)>600，
即x2－50x＋600<0.解得20所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．