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解答题压轴题训练（一）（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）
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这是一份解答题压轴题训练（一）（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用），共19页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
1．如图，五边形中，．且．
（1）求的平方根；
（2）请在的延长线上找一点，使得四边形的面积与五边形的面积相等；(说明找到点的方法)
（3）已知点在上，交于,若，则 ．
【答案】（1）的平方根为；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据已知条件即可求a−b的平方根；
（2）连接,过点作交延长线于点,即为所求；
（3）根据等面积法即可求线段BH的长．
【详解】
由题知：
∴a-b=2
∴a-b的平方根是；
如图①连接
②过点作交延长线于点
理由：
连接交于点
∴所以四边形ABCG的面积与五边形ABCDE的面积相等；
（3）连接FB，FH∥AB
过点F作FQ⊥AB于点Q，
则四边形FQBH是矩形，
∴FQ＝BH，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了作图−应用与设计作图，综合运用平方根、二次根式有意义的条件、平行线的性质、三角形的面积等知识解决问题，解题关键是利用等面积法．
2．已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．
（1）求证：BD＝AE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝5，求BD的长；
（3）若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求AD的长．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）．
【分析】
（1）只要证明△BCD≌△ACE，即可得到结论成立；
（2）由题意，先证明∠ADE=90°，利用勾股定理求出AE的长度，即可得到答案；
（3）过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD=60°，然后求出AF和CF的长度，再利用勾股定理，即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE；
（2）∵∠ADC＝30°，∠CDE=60°，
∴∠ADE=30°+60°=90°，
∵AD＝4，DE=CD＝5，
在直角△ADE中，由勾股定理得
，
∴；
（3）过A作AF⊥CD于F，如图：
∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°，
∵∠AFC=∠AFD=90°，
∴∠CAF=30°，
∵AC=3，CD=5，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，则
．
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需边的长度．
3．如图1，在菱形中，，，点为上一动点，在点的运动过程中，始终保持，，连接，，与相交于点．
（1）如图1，求证四边形为平行四边形；
（2）当点运动到什么位置时，四边形为矩形？并说明理由；
（3）如图2，延长到，使，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）的垂直平分线上，理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）菱形的性质可得，，根据平移的性质可得，，继而可证得四边形为平行四边形；
（2）通过证得，再结合四边形为平行四边形，即可得证；
（3）连接，根据四边形为平行四边形及，可得是△的中位线，继而得到，根据菱形的轴对称可得，继而可得．
【详解】
解：（1）证明：由菱形的性质可得，，
由平移可得，，；
∴，，
∴四边形为平行四边形；
（2）当点运动到的垂直平分线上时，四边形为矩形．
∵菱形中，，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形；
（3）如图，连接，
由（1）得四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴是的中位线，
∴，
由菱形的轴对称可得，即，
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，解题的关键是掌握相关判定与性质．
4．定义：在平面直角坐标系中，若P，Q为某个四边形相邻的两个顶点，且该四边形的两条对角线分别与x轴，y轴平行或重合，则称该四边形为点P，Q的“奇美四边形”．图1为点P，Q的“奇美四边形”的一个示意图．设点，点
（初步尝试）（1）若，在图2网格中画出点A，B的一个“奇美四边形”，并记作：“奇美四边形”；
（深入探究）：（2）①若（1）中得到的“奇美四边形”，满足，．求证：“奇美四边形”是菱形；
②若点A，B的“奇美四边形”为矩形，求直线的函数解析式；
（拓展应用）：（3）已知点，在线段上存在点N，平面内存在一点M，使点M，N的“奇美四边形”为矩形，且点B到直线的距离始终为，请直接写出b的取值范围．
【答案】【初步尝试 】（1）图见解析；【深入探究 】（2）①证明见解析，②直线AB的解析式为y=-x+3或y=x+1；【拓展应用 】满足条件的b的取值范围为-3≤b≤-1或1≤b≤3或5≤b≤7．
【分析】
【初步尝试 】（1）根据“奇美四边形”的定义画出图形即可．
【深入探究 】（2）①根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明．
②分两种求出求出点B的坐标即可解决问题．
【拓展应用 】（3）求出点N与A重合时，满足条件的点B的坐标，求出点N与C重合时，满足条件的点B坐标，观察图象即可判断．
【详解】
【初步尝试 】（1）解：如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．
【深入探究 】（2）①证明：如图2中，连接AC．BD．
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
②如图3中，解：
∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴满足条件的点B的坐标为（3，0）或（-1，0），
∵A（1，2），
设直线，若将（1，2），（3，0）代入
可得，解得，
若将（-1，0），（1，2）代入可得
，解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+3或y=x+1．
【拓展应用 】（3）：如图4中，
当点N与A重合时，满足条件的点B的坐标分别为：B1（-3，0），B2（1，0），B3（5，0），
当点N与C重合时，满足条件的点B的坐标分别为：B4（-1，0），B5（3，0），B6（7，0），
观察图象可知满足条件的b的取值范围为-3≤b≤-1或1≤b≤3或5≤b≤7．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了“奇美四边形”的定义，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．
5．[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
；
；
；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：
（为正整数）；
（2）请证明(1) 中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
．
【答案】[观察]，，；[发现]（1）或；（2）证明见解析；[应用]或．
【分析】
（1）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；
（2）运用（1）中发现规律，进行计算即可.
【详解】
[观察]，，，
[发现]（1）或
（2）左
∵为正整数，
∴
∴左右
[应用]
∴答案为：或.
【点睛】
（1）此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比；
（2）此类题目往往无法直接进行计算，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的.
6．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB＝10．过A作AC⊥OA且AC＝10，连接BC，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→C→B的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）如图1，把长方形沿OP折叠，点B的对应点B1恰好落在AC边上，求点P的坐标；
（2）若点D（0，2）为y轴上的一点，点P在运动的过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点P的坐标是（，10）；（2）存在，P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）
【分析】
（1）当点B的对应点B1恰好落在AC边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时P坐标；
（2）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
【详解】
解：（1）如图1中，设P（m，10），则PB＝PB1＝m，
∵OB1＝OB＝10，OA＝6，
∴AB1＝＝8，
∴B1C＝10﹣8＝2，
∵PC＝6﹣m，
∴m2＝22+（6﹣m）2，解得m＝，
则此时点P的坐标是（，10）．
（2）存在，理由为：
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图2
，
①当BD＝BP1＝OB﹣OD＝10﹣2＝8，
在Rt△BCP1中，BP1＝8，BC＝6，
根据勾股定理得：CP1＝＝2，
∴AP1＝10﹣2，即P1（6，10﹣2）；
②当BP2＝DP2时，此时P2（6，6）；
③当DB＝DP3＝8时，
在Rt△DEP3中，DE＝6，
根据勾股定理得：P3E＝＝2，
∴AP3＝AE+EP3＝2+2，即P3（6，2+2），
综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．
【点睛】
本题主要考查几何图形中的动点问题，掌握等腰三角形的定义，勾股定理并分情况讨论是关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为正方形，点A坐标为（0，3），点C坐标为（－3，0），线段DE∥x轴，点E在y轴上，点D的坐标为（4，5），若正方形OABC沿x轴左右运动，连接BE、AD，则在运动过程中，四边形ADEB周长的最小值是_____．
【答案】．
【分析】
过点A作，作点M与点N关于直线AB对称，连接MN、AM、MD交AB于H，证明四边形ABEN为平行四边形，当正方形OABC沿轴左右运动，当点A与H重合时，
取最小值，进而进行求解即可．
【详解】
如图所示：
过点A作，
作点M与点N关于直线AB对称，
连接MN、AM、MD交AB于H，
∵，且点D坐标为，
∴点E坐标为，，
∴四边形ABED周长=AB+BE+ED+AD=BE+AD+7，
∵，，
∴，，
∴四边形ABEN为平行四边形，
∴，
∵M，N关于AB对称，
∴，
∴，
当正方形OABC沿轴左右运动，当点A与H重合时，
取最小值，
四边形ADFE周长最小值为，
∵四边形ABEN为平行四边形，
∴
∵，点E坐标为，
∴点N坐标为，
∵直线AB解析式为，点N，点M关于AB对称，
∴点M坐标为，
∴，
∴四边形ADEB周长=，
∴四边形ADEB周长的最小值为．
【点睛】
本题主要考查了正方形平移问题，正确画出辅助线，读懂题意是解题的关键．
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（a，6），B（4，b）．
（1）若a，b满足，
①求点A，B的坐标；
②若C点在x轴上，且△ABC的面积为△AOB面积的，求C点的坐标；
（2）如图，直线AB与x轴，y轴分别交于N，M点，直线EF∥MN交x轴和y轴负半轴于E，F点，且有∠EMO=∠NMO，P为直线MN上一动点，∠PEM的角平分线EQ交直线MN于Q，请你补全图形，并直接写出∠MPE和∠OEQ的关系．
【答案】（1）①点A的坐标（2，6），点B的坐标（4，3）；②（4，0）或（8，0）；（2）图见解析，∠OEQ =∠MPE或∠OEQ=90°-∠MEP
【分析】
（1）①根据非负数的性质，得到关于a，b的方程组，求得a，b的值，即可得到点A、点B的坐标；
②先求出的△AOB面积，再根据△ABC的面积为△AOB面积的，以及三角形的面积公式即可得出结论；
（2）分点P在MN上、P在MN的延长线上、P在NM的延长线上三种情况加以讨论即可
【详解】
解：（1）①∵，
∴；
解得：
∴点A的坐标（2，6），点B的坐标（4，3），
②设点C的坐标为（x，0），
∵点A的坐标（2，6），点B的坐标（4，3），
∴设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∴；解得：
∴直线AB的解析式为y=x+9；
∴当x=0时，y=9；
∴△AOB的面积
∵△ABC的面积为△AOB面积的，
∴△ABC的面积=3
∴
∴x=4或8
∴点C的坐标为（4，0）或（8，0）；
（2）当点P在MN上时，如图
∵∠PEM的角平分线EQ交直线MN于Q，
∴∠MEQ=∠PEQ，
∵∠EMO=∠NMO，
∴∠EMO+∠MEQ=（180°-∠MPE）=90°-∠MPE，
∴∠EGO=90°-∠MPE，
∴∠OEQ=90°-∠EGO=∠MPE，
当P在MN的延长线上时,如图
同理可得∠OEQ=90°-∠EGO=∠MPE，
当P在NM的延长线上时，如图
∵∠OEQ=∠QEM+∠EMO=∠MEP+90°-∠EMO=90°-∠EMO+(∠EMN-∠MPE)，
=90°-∠EMO+∠EMO-∠MEP=90°-∠MEP
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及一次函数的性质的综合应用，具有一定难度．解题的关键是注意分类思想的运用．
解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
1．如图，五边形中，．且．
（1）求的平方根；
（2）请在的延长线上找一点，使得四边形的面积与五边形的面积相等；(说明找到点的方法)
（3）已知点在上，交于,若，则 ．
【答案】（1）的平方根为；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据已知条件即可求a−b的平方根；
（2）连接,过点作交延长线于点,即为所求；
（3）根据等面积法即可求线段BH的长．
【详解】
由题知：
∴a-b=2
∴a-b的平方根是；
如图①连接
②过点作交延长线于点
理由：
连接交于点
∴所以四边形ABCG的面积与五边形ABCDE的面积相等；
（3）连接FB，FH∥AB
过点F作FQ⊥AB于点Q，
则四边形FQBH是矩形，
∴FQ＝BH，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了作图−应用与设计作图，综合运用平方根、二次根式有意义的条件、平行线的性质、三角形的面积等知识解决问题，解题关键是利用等面积法．
2．已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．
（1）求证：BD＝AE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝5，求BD的长；
（3）若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求AD的长．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）．
【分析】
（1）只要证明△BCD≌△ACE，即可得到结论成立；
（2）由题意，先证明∠ADE=90°，利用勾股定理求出AE的长度，即可得到答案；
（3）过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD=60°，然后求出AF和CF的长度，再利用勾股定理，即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE；
（2）∵∠ADC＝30°，∠CDE=60°，
∴∠ADE=30°+60°=90°，
∵AD＝4，DE=CD＝5，
在直角△ADE中，由勾股定理得
，
∴；
（3）过A作AF⊥CD于F，如图：
∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°，
∵∠AFC=∠AFD=90°，
∴∠CAF=30°，
∵AC=3，CD=5，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，则
．
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需边的长度．
3．如图1，在菱形中，，，点为上一动点，在点的运动过程中，始终保持，，连接，，与相交于点．
（1）如图1，求证四边形为平行四边形；
（2）当点运动到什么位置时，四边形为矩形？并说明理由；
（3）如图2，延长到，使，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）的垂直平分线上，理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）菱形的性质可得，，根据平移的性质可得，，继而可证得四边形为平行四边形；
（2）通过证得，再结合四边形为平行四边形，即可得证；
（3）连接，根据四边形为平行四边形及，可得是△的中位线，继而得到，根据菱形的轴对称可得，继而可得．
【详解】
解：（1）证明：由菱形的性质可得，，
由平移可得，，；
∴，，
∴四边形为平行四边形；
（2）当点运动到的垂直平分线上时，四边形为矩形．
∵菱形中，，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形；
（3）如图，连接，
由（1）得四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴是的中位线，
∴，
由菱形的轴对称可得，即，
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，解题的关键是掌握相关判定与性质．
4．定义：在平面直角坐标系中，若P，Q为某个四边形相邻的两个顶点，且该四边形的两条对角线分别与x轴，y轴平行或重合，则称该四边形为点P，Q的“奇美四边形”．图1为点P，Q的“奇美四边形”的一个示意图．设点，点
（初步尝试）（1）若，在图2网格中画出点A，B的一个“奇美四边形”，并记作：“奇美四边形”；
（深入探究）：（2）①若（1）中得到的“奇美四边形”，满足，．求证：“奇美四边形”是菱形；
②若点A，B的“奇美四边形”为矩形，求直线的函数解析式；
（拓展应用）：（3）已知点，在线段上存在点N，平面内存在一点M，使点M，N的“奇美四边形”为矩形，且点B到直线的距离始终为，请直接写出b的取值范围．
【答案】【初步尝试 】（1）图见解析；【深入探究 】（2）①证明见解析，②直线AB的解析式为y=-x+3或y=x+1；【拓展应用 】满足条件的b的取值范围为-3≤b≤-1或1≤b≤3或5≤b≤7．
【分析】
【初步尝试 】（1）根据“奇美四边形”的定义画出图形即可．
【深入探究 】（2）①根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明．
②分两种求出求出点B的坐标即可解决问题．
【拓展应用 】（3）求出点N与A重合时，满足条件的点B的坐标，求出点N与C重合时，满足条件的点B坐标，观察图象即可判断．
【详解】
【初步尝试 】（1）解：如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．
【深入探究 】（2）①证明：如图2中，连接AC．BD．
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
②如图3中，解：
∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴满足条件的点B的坐标为（3，0）或（-1，0），
∵A（1，2），
设直线，若将（1，2），（3，0）代入
可得，解得，
若将（-1，0），（1，2）代入可得
，解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+3或y=x+1．
【拓展应用 】（3）：如图4中，
当点N与A重合时，满足条件的点B的坐标分别为：B1（-3，0），B2（1，0），B3（5，0），
当点N与C重合时，满足条件的点B的坐标分别为：B4（-1，0），B5（3，0），B6（7，0），
观察图象可知满足条件的b的取值范围为-3≤b≤-1或1≤b≤3或5≤b≤7．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了“奇美四边形”的定义，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．
5．[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
；
；
；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：
（为正整数）；
（2）请证明(1) 中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
．
【答案】[观察]，，；[发现]（1）或；（2）证明见解析；[应用]或．
【分析】
（1）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；
（2）运用（1）中发现规律，进行计算即可.
【详解】
[观察]，，，
[发现]（1）或
（2）左
∵为正整数，
∴
∴左右
[应用]
∴答案为：或.
【点睛】
（1）此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比；
（2）此类题目往往无法直接进行计算，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的.
6．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB＝10．过A作AC⊥OA且AC＝10，连接BC，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→C→B的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）如图1，把长方形沿OP折叠，点B的对应点B1恰好落在AC边上，求点P的坐标；
（2）若点D（0，2）为y轴上的一点，点P在运动的过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点P的坐标是（，10）；（2）存在，P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）
【分析】
（1）当点B的对应点B1恰好落在AC边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时P坐标；
（2）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
【详解】
解：（1）如图1中，设P（m，10），则PB＝PB1＝m，
∵OB1＝OB＝10，OA＝6，
∴AB1＝＝8，
∴B1C＝10﹣8＝2，
∵PC＝6﹣m，
∴m2＝22+（6﹣m）2，解得m＝，
则此时点P的坐标是（，10）．
（2）存在，理由为：
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图2
，
①当BD＝BP1＝OB﹣OD＝10﹣2＝8，
在Rt△BCP1中，BP1＝8，BC＝6，
根据勾股定理得：CP1＝＝2，
∴AP1＝10﹣2，即P1（6，10﹣2）；
②当BP2＝DP2时，此时P2（6，6）；
③当DB＝DP3＝8时，
在Rt△DEP3中，DE＝6，
根据勾股定理得：P3E＝＝2，
∴AP3＝AE+EP3＝2+2，即P3（6，2+2），
综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．
【点睛】
本题主要考查几何图形中的动点问题，掌握等腰三角形的定义，勾股定理并分情况讨论是关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为正方形，点A坐标为（0，3），点C坐标为（－3，0），线段DE∥x轴，点E在y轴上，点D的坐标为（4，5），若正方形OABC沿x轴左右运动，连接BE、AD，则在运动过程中，四边形ADEB周长的最小值是_____．
【答案】．
【分析】
过点A作，作点M与点N关于直线AB对称，连接MN、AM、MD交AB于H，证明四边形ABEN为平行四边形，当正方形OABC沿轴左右运动，当点A与H重合时，
取最小值，进而进行求解即可．
【详解】
如图所示：
过点A作，
作点M与点N关于直线AB对称，
连接MN、AM、MD交AB于H，
∵，且点D坐标为，
∴点E坐标为，，
∴四边形ABED周长=AB+BE+ED+AD=BE+AD+7，
∵，，
∴，，
∴四边形ABEN为平行四边形，
∴，
∵M，N关于AB对称，
∴，
∴，
当正方形OABC沿轴左右运动，当点A与H重合时，
取最小值，
四边形ADFE周长最小值为，
∵四边形ABEN为平行四边形，
∴
∵，点E坐标为，
∴点N坐标为，
∵直线AB解析式为，点N，点M关于AB对称，
∴点M坐标为，
∴，
∴四边形ADEB周长=，
∴四边形ADEB周长的最小值为．
【点睛】
本题主要考查了正方形平移问题，正确画出辅助线，读懂题意是解题的关键．
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（a，6），B（4，b）．
（1）若a，b满足，
①求点A，B的坐标；
②若C点在x轴上，且△ABC的面积为△AOB面积的，求C点的坐标；
（2）如图，直线AB与x轴，y轴分别交于N，M点，直线EF∥MN交x轴和y轴负半轴于E，F点，且有∠EMO=∠NMO，P为直线MN上一动点，∠PEM的角平分线EQ交直线MN于Q，请你补全图形，并直接写出∠MPE和∠OEQ的关系．
【答案】（1）①点A的坐标（2，6），点B的坐标（4，3）；②（4，0）或（8，0）；（2）图见解析，∠OEQ =∠MPE或∠OEQ=90°-∠MEP
【分析】
（1）①根据非负数的性质，得到关于a，b的方程组，求得a，b的值，即可得到点A、点B的坐标；
②先求出的△AOB面积，再根据△ABC的面积为△AOB面积的，以及三角形的面积公式即可得出结论；
（2）分点P在MN上、P在MN的延长线上、P在NM的延长线上三种情况加以讨论即可
【详解】
解：（1）①∵，
∴；
解得：
∴点A的坐标（2，6），点B的坐标（4，3），
②设点C的坐标为（x，0），
∵点A的坐标（2，6），点B的坐标（4，3），
∴设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∴；解得：
∴直线AB的解析式为y=x+9；
∴当x=0时，y=9；
∴△AOB的面积
∵△ABC的面积为△AOB面积的，
∴△ABC的面积=3
∴
∴x=4或8
∴点C的坐标为（4，0）或（8，0）；
（2）当点P在MN上时，如图
∵∠PEM的角平分线EQ交直线MN于Q，
∴∠MEQ=∠PEQ，
∵∠EMO=∠NMO，
∴∠EMO+∠MEQ=（180°-∠MPE）=90°-∠MPE，
∴∠EGO=90°-∠MPE，
∴∠OEQ=90°-∠EGO=∠MPE，
当P在MN的延长线上时,如图
同理可得∠OEQ=90°-∠EGO=∠MPE，
当P在NM的延长线上时，如图
∵∠OEQ=∠QEM+∠EMO=∠MEP+90°-∠EMO=90°-∠EMO+(∠EMN-∠MPE)，
=90°-∠EMO+∠EMO-∠MEP=90°-∠MEP
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及一次函数的性质的综合应用，具有一定难度．解题的关键是注意分类思想的运用．
相关试卷
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