压轴题综合训练（二）（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

压轴题综合训练（二）

（时间：60分钟  总分：100）      班级            姓名              得分     

一、选择题

1. 如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A到点所经过的最短路线长为       

A.  
B.  
C.
D. 以上都不对

【答案】C

【知识点】平面展开-最短路径问题、勾股定理的应用

【解析】

【分析】
此题考查平面的最短路径问题，关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视或正视和侧视，或俯视和侧视二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
【解答】
解：如图所示，

路径一：；
路径二：；
路径三：；
，
为最短路径．
故选：C．
 

2. 如图，在菱形ABCD中，，，F是AB的中点．过点F作，垂足为将沿点A到点B的方向平移，得到设P、分别是EF、的中点，当点与点B重合时，四边形的面积为   

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【知识点】平移的基本性质、菱形的性质

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
如图，连接BD，DF，DF交于首先证明四边形是平行四边形，再证明，求出DH即可解决问题．

【解答】
解：如图，连接BD，DF，DF交于H．

由题意，，
四边形是平行四边形，
四边形ABCD是菱形，，
是等边三角形，
，
，，
在中，，，，
，，
，
在中，，，
，
，
，
平行四边形的面积．
故选A．
 

3. 如图，点E为菱形ABCD边上的一个动点，并延的路径移动，设点E经过的路径长为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是

A.  B.
C.  D.

【答案】D

【知识点】动点问题的函数图象

【解析】解：点E沿运动，的面积逐渐变大，设菱形的变形为a，，
边上的高为，，
点E沿移动，的面积不变；
点E沿的路径移动，的面积逐渐减小．
，
故选：D．
分三段来考虑点E沿运动，的面积逐渐变大；点E沿移动，的面积不变；点E沿的路径移动，的面积逐渐减小，据此选择即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．
 

4. 已知，，，则的结果是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【知识点】二次根式的化简求值

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的化简求值：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后把字母的值代入或整体代入进行计算．
由，可得到，，再利用二次根式的性质化简得到原式，然后把代入计算即可．
【解答】
解：，，
，，
原式


，
当时，原式．
故选B．
 

二、填空题

5. 如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是_______．

【答案】50

【知识点】勾股定理、三角形的面积、梯形的概念*、全等三角形的判定与性质

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，
求出，，根据AAS证≌，推出，，同理，，求出，根据阴影部分的面积和面积公式代入求出即可．
【解答】
解：如图，

，，，
，
，，
，
在和中

≌，
，，
同理，，
，
梯形EFHD的面积是，
阴影部分的面积是．
故答案为50．
 

6. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，若，则图中阴影部分的面积为______．
    

【答案】16

【知识点】矩形的性质

【解析】解：作于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
，，，，，
，
，
故答案为16
想办法证明解答即可．
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．
 

7. 小雪和小松分别从家和图书馆出发，沿同一条笔直的马路相向而行小雪开始跑步，中途在某地改为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，小雪先出发5分钟后，小松才骑自行车匀速回家小雪到达图书馆恰好用了35分钟两人之间的距离与小雪离开出发地的时间之间的函数图象如图所示，则当小松刚到家时，小雪离图书馆的距离为          米

【答案】1500

【解析】如图所示．

由图象可得家和图书馆相距4500米，小雪跑步的速度为，

小雪步行的速度为

设小雪在第时改为步行，列方程得

，

解得，

小松骑车的速度为，

小松到家时的时间为，

此时小雪离图书馆的距离为．

故答案为1500．

8. 已知，当x分别取1，2，3，，2020时，所对应y值的总和是      ．

【答案】2032

【知识点】数式规律问题、二次根式的性质

【解析】当时，

原式，

当时，原式

当时，原式

当时，原式

当时，原式，

当x分别取1，2，3，，2020时，所对应y值的总和是

．

三、解答题

9. 观察猜想
   如图点B、A、C在同一条直线上，，且，，则BC、BD、CE之间的数量关系为______；
   问题解决
   如图，在中，，，，以AC为直角边向外作等腰，连结BD，求BD的长；
   拓展延伸
   如图，在四边形ABCD中，，，，，请直接写出BD的长．

【答案】解：；
问题解决
如图，过D作，交BA的延长线于E，

由同理得：≌，
，，
中，，
由勾股定理得：；
；
拓展延伸
如图，过D作于E，作于F，
同理得：≌，
，，
设，，
则，解得：，
，，
由勾股定理得：．

【知识点】等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质

【解析】

解：观察猜想
结论：，理由是：
如图，，，
，
，
，，
≌，
，，
；
见答案；
见答案；
【分析】
观察猜想：证明≌，可得结论：；
问题解决：作辅助线，同理证明：≌，可得，，最后利用勾股定理求BD的长；
拓展延伸：同理证明三角形全等，设，，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．
本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、勾股定理，解决本题的关键是证明：≌，并运用了类比的思想依次解决问题．
 

10. 如图，在▱ABCD中，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．
    证明▱ECFG是菱形；
    若，连结BD、CG，求的度数；
    若，，，M是EF的中点，求DM的长．

【答案】解：证明：，
平分，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，，
，
，
又四边形ECFG是平行四边形，
四边形ECFG为菱形；

四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
，
由知，四边形CEGF是菱形，
，，
，，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
；

如图2中，连接BM，MC，

，四边形ABCD是平行四边形，
四边形ABCD是矩形，
又由可知四边形ECFG为菱形，
，
四边形ECFG为正方形．
，
，
为EF中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
，
是等腰直角三角形．
，，
，
．

【知识点】平行四边形的性质、菱形的判定与性质

【解析】平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出≌，再判断出，进而得出是等边三角形，即可得出结论；
首先证明四边形ECFG为正方形，再证明≌可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
 

11. 骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车去年6月份销售总额为万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加．
    A，B两种型号车的进货和销售价格表：

求今年6月份A型车每辆销售价多少元；
该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

【答案】解：设去年6月份A型车每辆销售价x元，那么今年6月份A型车每辆销售元，
根据题意得，
解得：，
经检验，是方程的解．
时，．
答：今年6月份A型车每辆销售价2000元．

设今年7月份进A型车m辆，则B型车辆，获得的总利润为y元，
根据题意得，
解得：，
，
随m 的增大而减小，
当时，可以获得最大利润．
答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．

【知识点】分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用

【解析】设去年6月份A型车每辆销售价x元，那么今年6月份A型车每辆销售元，根据销售总额和每辆销售价列出方程，即可解决问题．
设今年7月份进A型车m辆，则B型车辆，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：根据单价总价数量，列出关于x的分式方程；根据总利润单辆利润购进数量，找出w关于m的函数关系式．
 

12. 我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．

请根据以上信息，写出一个取值范围是的根分式：____________；

已知两个根分式与

是否存在x的值使得，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；

当是一个整数时，求无理数x的值．

【答案】解：；

 ，

，

，

解得，

检验，当时，，

所以原分式方程无解；

即不存在x的值使得；

，

 ，

 当是一个整数时，可以取1或2，

当x是无理数时，，

由于当时，，舍去

．

【知识点】分式方程的应用、分式的概念、二次根式有意义的条件

【解析】

【分析】
本题考查分式，解分式方程，解题的关键是正确理解题意给出的结论．
根据题意给出的定义即可求出答案；
根据题意可得方程，解方程即可求出答案；
先化简，当是一个整数时，可得可以取1或2，分析即可求出答案．
【解答】
解：取值范围是的根分式：
；
故答案为；
见答案．
 

13. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作轴于点E．
    求证：≌；
    如图2，将沿x轴正方向平移得，当经过点D时，求平移的距离及点D的坐标；
    若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、
    Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】证明：，
，，
．
将线段CB绕着点C顺时针旋转得到CD，
．
在和中，，
≌．
解：直线与x轴、y轴相交于A、B两点，
点B的坐标为，点A的坐标为．
设，
≌，
，，
点D的坐标为．
点D在直线上，
，解得：，
点D的坐标为，点C的坐标为．
点B的坐标为，点C的坐标为，
直线BC的解析式为．
设直线的解析式为，
将代入，得：，解得：，
直线的解析式为，
点的坐标为，
，
平移的距离为．
解：设点P的坐标为，点Q的坐标为．
分两种情况考虑，如图3所示：
若CD为边，当四边形CDQP为平行四边形时，，，，，
，解得：，
点的坐标为；
当四边形CDPQ为平行四边形时，，，，，
，解得：，
点的坐标为；
若CD为对角线，，，，，
，解得：，
点P的坐标为
综上所述：存在，点P的坐标为或

【知识点】一次函数的应用、一次函数综合

【解析】利用同角的余角相等可得出，由旋转的性质可得出，结合即可证出≌；
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设，则点D的坐标为，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m值，进而可得出点C，D的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，结合及点D在直线上可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，结合点C的坐标即可得出平移的距离；
设点P的坐标为，点Q的坐标为，分CD为边及CD为对角线两种情况考虑，利用平行四边形的对角线互相平分，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点P的坐标．
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行线的性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：利用全等三角形的判定定理AAS证出≌；利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点，D的坐标；分CD为边及CD为对角线两种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点P的坐标．