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专题04 勾股定理解答题压轴训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）
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这是一份专题04 勾股定理解答题压轴训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用），共39页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
专题04 勾股定理解答题压轴训练
（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分
解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
1．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是CA延长线上一点，点E是AB延长线上一点，且AD＝BE，过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G
（1）依题意补全图形；
（2）当∠AED＝α，请你用含α的式子表示∠AGC；
（3）用等式表示线段CG与AD之间的数量关系，并写出证明思路
【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析
【分析】
（1）根据题意补全图形即可；
（2）先证，再根据与可得，则，又因为可得；
（3）在AE上截取，连接DM．先证与是等腰直角三角形，接下来证，所以可得，则可求．
【详解】
（1）根据题意补全图形如下：
过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G．
（2）证明：当时，．推理如下：
，，
．
，
，
，
，
，
．
（3）．
证明：在AE上截取，连接DM．
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
∵
∴
∴即
∵
∴
∵，
∴,
∴
又∵，
∴
∴
又∵ ，
∴利用勾股定理可得：
∴．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．
2．黔东南州某校杨老师组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，王老师巧妙的运用了“数形结合”的思想，具体做法是：如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、．已知，，．设，则，．则问题转化成求的最小值．
（1）我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______，此时______．
（2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式：的最小值．
（3）请你用构图的方法试求的最大值．
【答案】（1）5；；（2）13；（3）
【分析】
（1）延长AB到F，使BF=DE=2，连接EF，则在直角△AFE中，AF=3，EF=BD=4，由勾股定理得即可求得AE，利用三角形相似可求得x的值；
（2）构造与（1）类似的图形，代数式的最值求法与（1）同；
（3）构造与（1）类似的图形，但AB、DE在线段BD所在直线的同侧，最值求法与（1）同．
【详解】
（1）延长AB到F，使BF=DE=2，连接EF
则BF∥DE，且BF=DE
∴四边形BFDE是矩形
∴EF=BD=4
∵AF=BF+AB=3
在Rt△AFE中，由勾股定理得：
∴的最小值为5
∵△ABC∽△EDC
∴
∴CD=2BC=2x
∵BC+CD=4，即x+2x=4
∴
故答案为：5；
（2）如图1，取线段，分别过、作，，且，，连接，
则为的最小值，
最小值为：．
（3）如图2，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点C，
则线段为的最大值，最大值为：
【点睛】
本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用数形结合思想，通过构造直角三角形，把两个代数式的和或差的最值问题转化为最短路线问题是解题的关键．
3．如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积．
【答案】见解析；； ；
【分析】
根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可
【详解】
解：钝角三角形时，如图，
∵BC⊥BD，BC=5，
∴△ABC是钝角三角形，
根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4,
∴；
直角三角形时，如图，
取格点F使得BF=4，FC=3，
根据勾股定理，得BC==5，
∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB≌△BFC，
∴∠EAB=∠FBC，
∵∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠FBC+∠EBA=90°，
∴∠ABC =90°，
∴△ABC是直角三角形，
根据勾股定理，得AB==5，
∴；
锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4，
根据勾股定理，得BC==5，
根据直角三角形时的作图，知道∠ABN=90°，
∴∠ABC＜∠ABN，
∴∠ABC＜90°
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠A=∠C＜90°，
∴△ABC是锐角三角形，
∴=12；
【点睛】
本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键．
4．已知整点在平面直角坐标系内做“跳马运动”（也就是中国象棋式“日字”型跳跃）．例如，在下图中，从点做一次“跳马运动”可以到点，但是到不了点． 设做一次跳马运动到点，再做一次跳马运动到点，再做一次跳马运动到点，……，如此继续下去
（1）若，则可能是下列哪些点______；[；；]
（2）已知点，，则点的坐标为______________；
（3）为平面上一个定点，则点、可能与重合的是_____________；
（4）为平面上一个定点，则线段长的最小值是____________；
（5）现在，规定每一次只向轴的正方向跳跃，若，则，，……，点的纵坐标的最大值为__________．
【答案】（1）E(−1，−1)；（2）(7，2)或E(7，4)；（3）P26；（4）；（5）18
【分析】
（1）根据横纵坐标的变化规律求解即可；
（2）P0至P2经过2次运动，根据题意可求解；
（3）根据题意知只有跳偶数次才可能重合，据此可求解；
（4）由（3）知，当P0与 P2、P2与 P4重合时，P0P7取值最小，利用勾股定理求解即可；
（5）从P0至P21共21次变化，设有x次横坐标变化2个单位，则有(21-x)次横坐标变化1个单位，列方程求得x；设有m次纵坐标变大1个单位，则有(16-m)次纵坐标变小1个单位，有n次纵坐标变大2个单位，则有(21-16-n)次纵坐标变小2个单位，列式计算即可求解．
【详解】
（1）根据题意，“跳马运动”一次，有两种情况，一是横坐标平移2个单位，纵坐标平移1个单位；二是横坐标平移1个单位，纵坐标平移2个单位；
由于P(1，0)，
对于D(−1，2)，，，横、纵坐标都平移了2个单位，不合题意；
对于F(−2，0)，，，横坐标平移了3个单位，不合题意；
对于E(−1，−1)，，，横坐标平移2个单位，纵坐标平移1个单位，符合题意；
故答案为：E(−1，−1)；
（2）P0至P2经过2次运动，横坐标变小了4个单位，纵坐标不变，
则P1可能是(7，2)或E(7，4)；
故答案为：(7，2)或E(7，4)；
（3）设P0至P1，P1至P2，当P0= P2时，重合，
故只有跳偶数次才可能重合，
故答案为：P26；
（4）由（3）知，当P0与 P2、P2与 P4重合时，P0P7取值最小，即只跳了一个“日”，
∴P0P7=，
故答案为：；
（5）从P0至P21共21次变化，每次都向x轴正方向运动，则横坐标始终变大，
设有x次横坐标变化2个单位，则有(21-x)次横坐标变化1个单位，
依题意得：，
∴，
设有m次纵坐标变大1个单位，则有(16-m)次纵坐标变小1个单位，有n次纵坐标变大2个单位，则有(21-16-n)次纵坐标变小2个单位，
依题意得：，
整理得：，
则纵坐标最大为18，
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了新定义，规律型－点的坐标，解题的关键是根据题意得出点的横坐标与纵坐标的变化规律以及利用参数构建方程解决问题．
5．如图是有公共边AB的两个直角三角形，其中AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．
①求证：CD＝CE，CD⊥CE；
②直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请写出线段AD，BD，CD的数量关系，并证明．
【答案】(1) ①CD=CE， CD⊥CE；证明见详解，②AD+BD=CD，证明见详解；(2) AD-BD=CD，证明见详解．
【分析】
(1)①根据四边形的内角和得到∠DAC+∠DBC=180°，推出∠DBC=∠EAC，根据全等三角形的性质得到CD=CE，∠BCD=∠ACE，求得∠DCE=90°，根据垂直的定义得到结论；
②由已知条件得到△CDE是等腰直角三角形，求得DE=CD，根据线段的和差即可得到结论；
(2)如图2，在AD上截取AE=BD，连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠ABC=45°，求得∠CBD=∠CAE，根据全等三角形的性质得到CD=CE，∠BCD=∠ACE，求得∠DCE=90°，根据线段的和差即可得到结论．
【详解】
(1)证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB=360°，
∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∵∠EAC+∠DAC=180°，
∴∠DBC=∠EAC，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∵∠BCD+∠DCA=90°，
∴∠ACE+∠DCA=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠DCA =90°，
∴CD⊥CE；
②∵CD=CE，CD⊥CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得DE=，
∴DE==CD，
∵DE=AD+AE，AE=BD，
∴DE=AD+BD，
∴AD+BD=CD；
(2)解：AD-BD=CD；
理由：如图2，在AD上截取AE=BD，连接CE，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DBC=90°-∠BAD-∠ABC=90°-∠BAD-45°=45°-∠BAD，
∵∠EAC=∠BAC-∠BAD=45°-∠BAD，
∴∠DBC=∠EAC，
在△CBD和△CAE中，
∴△CBD≌△CAE(SAS)，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠BCE=90°，
即∠DCE=90°，
∴DE===CD，
∵DE=AD-AE=AD-BD，
∴AD-BD=CD．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．我们约定：在一个平面图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图①，在中，，过点能否画出的一条“等分积周线”？若能，说出你的画法；若不能，说明理由；
（2）如图②，在四边形中，垂直平分，垂足为点，交于点．判断直线是否为四边形的“等分积周线”，并说明理由；
（3）如图③，在中，，请按要求作出的一条“等分积周线”，叙述你的画法，并对你的画法进行证明要求：直线不过的顶点，交边于点，交边于点．用黑色签字笔画图．
【答案】（1）不能，理由见详解；（2）直线是四边形的“等分积周线”，理由见详解；（3）见详解
【分析】
（1）若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，结合AC≠BC，进而得出答案；
（2）根据勾股定理可得出：AB2＋BE2＝CE2＋DC2，进而得出BE＝5，CE＝3，进而得出周长与面积分别相等得出答案即可；
（3）在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，结合全等三角形的判定与性质得出答案．
【详解】
解：（1）不能，理由如下：
如答图1，若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，
∴AD＝BD，
∵AC≠BC，
∴AD＋AC≠BD＋BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”；
（2）直线是四边形的“等分积周线”，理由如下：
如答图2，连接AE、DE，设BE＝x，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF，
∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB2＋BE2＝CE2＋DC2，即32＋x2＝（8−x）2＋52，
解得：x＝5，
∴BE＝5，CE＝3，
∴AB＋BE＝CE＋DC，S△ABE＝S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S△ABE＋S△AEF，S四边形DCEF＝S△DEF＋S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，AF＋AB＋BE＝DF＋EC＋DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（3）如答图3，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF＝AC−FC＝8−6＝2，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝2，则有AB＋AF＝CF＋CG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CFG中，
∵，
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S△ABF＝S△CFG，
∵BE＝2，
∴EG=6-2-2=2，
∴BE=EG，
∴S△BFE＝S△EFG，
∴S△EFC＝S四边形ABEF，
AF＋AB＋BE＝CE＋CF＝10，
∴EF是△ABC的等分积周线．
【点睛】
此题主要考查了三角形综合题，需要掌握应用与设计作图和全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据题意作出辅助项，分割图形是解题关键．
7．如图是由边长为的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将边绕点逆时针旋转得到线段；
（2）画的高；
（3）将点竖直向下平移个单位长度得到点，画出点；
（4）画线段关于直线的对称线段．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【分析】
（1）取BT=2，作出图形即可．
（2）取格点R，W，满足AR=3，RW=2，连接AW交BC于点D．
（3）取格点M，N，P，Q，满足BM=3，CN=3，AP=3，NQ=3，连接MN，PQ，二线交于．
（4）取B=2，格点K，H，作直线，HK，二线交于．
【详解】
解：（1）如图，取BT=2，，则线段即为所求作．
（2）如图，取AR=3，RW=2，连接AW交BC于点D，则线段AD即为所求作．
（3）如图，取BM=3，CN=3，AP=3，NQ=3，连接MN，PQ，二线交于，则点即为所求作．
（4）如图，
取B=2，格点K，H，作直线，HK，二线交于，则点即为所求作．
【点睛】
本题考查了网格上的作图，熟练运用三角形全等，平移思想，对称思想是解题的关键．
8．如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G．
（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据SAS即可证明△BCE≌△ACD；
（2）由△ACD≌△BCE可得∠CBG=∠CAF，从而利用ASA可证明△ACF≌△BCG；
（3）求出CG=CF=4，过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，求出GM，FN，根据S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠DCA，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）由（1）得△ACD≌△BCE，
∴∠CBG=∠CAF，
又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，
在△ACF和△BCG中，
，
∴△ACF≌△BCG（ASA）；
（3）∵△ACF≌△BCG，
∴S△ACF=S△BCG，CG=CF，而CF+CG=8，
∴CG=CF=4，
过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴GM=CG=，FN=CF=，
∴S△ACD=S△ACF+S△CDF
=S△BCG+S△CDF
=BC•GM+CD•FN
=（BC+CD）
=BD
=．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质得出CG=CF是解答此题的关键．
9．如图1，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．
（1）证明；
（2）猜想之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点F是的中点，求的长．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】
（1）由三角形内角和定理和平角的性质可求解；
（2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解；
（3）由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长．
【详解】
解：（1）证明：和都是等腰直角三角形，，，
，，，
∴∠ECA=∠DCB，
，，
；
（2），
理由如下：
连接，
在和中，
，
，，
，
是直角三角形，
，
；
（3）如图2，过点作于，
，，，，
，
，
点是的中点，
，
都是等腰直角三角形，，，
，
，
．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
10．若三角形一边上的高线是该边的一半，则称这个三角形为“半高三角形”．
（1）下列三角形为半高三角形是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形C．含有角的直角三角形
（2）若一个等腰三角形是半高三角形，则它的底角为________；
（3）如图，在四边形中，，，求证：是半高三角形；
（4）如图，在的正方形网格中，为格点，若为半高三角形，则满足条件的有________个．
【答案】（1）B（2）15°或45°或75°；（3）证明见解析；（4）6．
【分析】
（1）分别画出图形，根据等边三角形，等腰直角三角形，含30°角的直角三角形的性质分别判断即可；
（2）分△ABC为锐角三角形、直角三角形或为钝角三角形时，画出对应图形根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；
（3）过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，根据等腰三角形三线合一可得，证明△AND和△BMA可得BM=AN，由此可得结论；
（4）先排除以AB为底时的情况，再以AC为底或以BC为底的半高三角形，设AC=2x或BC=2x，边AB上高为h，利用等面积法列出方程，再分类讨论即可．
【详解】
解：(1)如图所示，△ABC为等边三角形，过点A作AH⊥BC于点H，
∵△ABC为等边三角形，AH⊥BC，
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠BAC=60°，
则，
，
，
由等边三角形对称性可知边AB，AC上的高均等于或，根据半高三角形的定义可知，等边三角形不是半高三角形；
如图所示，△ABC为等腰直角三角形，过点A作AH⊥BC于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，AH⊥BC，
，
即△ABH，△ACH均为等腰直角三角形，
∴AH=BH=CH，即，
∴△ABC为半高三角形，即等腰直角三角形为半高三角形；
如图，△ABC为直角三角形，过点B作BH⊥AC于点H，且∠A=30°，
则.
又，则，
又AB为△ABC边BC上的高且，
BC为△ABC边AC上的高且，
∴△ABC不是半高三角形，
即有一个角为30°的直角三角形不是半高三角形，
综上所述，等腰直角三角形为半高三角形，
故选：B；
(2)如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC且△ABC为锐角三角形或直角三角形时，
(1)∠BAC=90°时，过点A作AH⊥BC，
△ABC为半高三角形，则，
∵AB=AC，AH⊥BC
，即AH=CH，
；
(2)∠BAC<90°，过点C作CG⊥AB于点G，
∵△ABC为半高三角形，
又AB=AC，
∴∠CAG=30°
则∠ACB=(180°-∠CAG)÷2=75°；
如图所示，△ABC为等腰三角形AB=AC且△ABC为钝角三角形，
过点C作CH⊥BA延长线于点H，
∵△ABC为半高三角形，
，
又AC=AB，∠CHA=90°，
，即∠CAH=30°，
∴∠BAC=180°-∠CAH=150°，
，
综上所述：若一个等腰三角形是半高三角形，则它们的底角为15°或45°或75°
故答案为： 15°或45°或75°；
(3)如图1所示，过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，
∵AB=AC=CD，DN⊥AC，
∵DN⊥AC，BM⊥AC，
∴∠AND=∠BMA=90°，∠NAD+∠NDA=90°，
又∠BAD=90°，即∠NAD+∠MAB=90°，
∴∠NDA=∠MAB，
在△AND和△BMA中，，
∴△AND≌△BMA(AAS)，
∴BM=AN，即
又BM⊥AC，
∴△ABC是半高三角形；
(4)在5×5正方形网格中，AB=5，C为格点，
则点C到AB距离设为h，即h=1，2，3，4或5，
设AC=2x或BC=2x，
由于△ABC为半高三角形，
∴AC边上高为，或BC边上高为，，
，
又边AB上高为h，AB=5，
当h=1时，，即或
如图所示，当点C在图中位置时，
由勾股定理得:，
故h=1时，图中符合题意；
当h=2时，，
如图所示，当点C在图中位置时，
由勾股定理得，，
，
故h=2时，图中符合题意;
当h=3时，，没有格点C使得AC或BC值为;
当h=4时，，没有格点C使得AC或BC值为;
当h=5时，.
如图所示，当点C为图中位置时，
由勾股定理得，，
，
故h=5时，图中符合题意．
综上所述，若△ABC为半高三角形则满足条件的C点有这6个．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定、勾股定理等．能理解半高三角形的定义，并能结合以上性质分析是解题关键．
11．综合与探究
问题情境
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接DE，CE．
探究发现
（1）如图1，BD＝CE，BD⊥CE，请证明；探究猜想；
（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；
探究拓广
（3）当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．
【分析】
（1）根据题意计算得∠BAD=∠CAE；再根据旋转的性质，通过证明△BAD≌△CAE，从而完成求解；
（2）结合（1）的结论，通过△BAD≌△CAE，得；通过勾股定理，得；再通过勾股定理计算，记得得到答案；
（3）过点作交于点；根据等腰三角形三线合一的性质，得，再根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据勾股定理的性质，通过计算，即可得到线段BD，DC，AD之间的数量关系．
【详解】
（1）由题意得，∠BAC=∠DAE=90°
∵∠BAD+∠CAD =∠CAE+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE
∴AD=AE
又∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°
∴∠ECD=90°，BD⊥CE．
（2）由（1）得：△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°
∵，BD＝2DC，即,
∴，
∵AD=AE
∴
∴∠B=∠ACB=45°
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE =90°
∴CD2+CE2=DE2，即，
∴；
（3）如图，过点作交于点
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴
∴
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】
本题考查了旋转、等腰直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等腰三角形三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
12．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．
（1）若点在上，且满足，求此时的值；
（2）在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形．
【答案】（1）；（2）s或s或s或3s
【分析】
（1）设PC=PA=x，则PB=4-x，在Rt△ABP中，依据AB2+PB2=AP2，列方程求解即可得到t的值；
（2）分四种情况：当P在AC上且AP=BP时，当P在AC上且AP=BA=3时，当P在AC上且AB=PB时，当P在BC上且AB=PB=3时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值．
【详解】
解：（1）∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，
∴AC==5cm，
设PC=PA=x，则PB=4-x，
在Rt△ABP中，AB2+PB2=AP2，
∴32+（4-x）2=x2，
解得x=，
∴PC=，
∴；
（2）分四种情况：
①如图，当P在AC上且AP=PB时，
∠A=∠ABP，而∠A+∠C=90°，∠ABP+∠CBP=90°，
∴∠C=∠CBP，
∴BP=CP，
∴P是AC的中点，即AP=AC=，
∴t==；
②如图，当P在AC上且AP=BA=3时，
t==；
③如图，当P在AC上且AB=PB时，过B作BD⊥AC于D，则
BD==，
∴Rt△ABD中，AD==，
∴AP=2AD=，
∴t==；
④如图，当P在BC上且AB=PB=3时，CP=4-3=1，
∴t===3，
综上：当t=s或s或s或3s时，△ABP为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（2）题的关键．
13．如图，在中，，，交于点．动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为秒．
（1）求和的长；
（2）当秒时，求证：；
（3）当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的的值．
【答案】（1）BD=，AD=；（2）见解析；（3）6.2或6.5
【分析】
（1）如图1中，作AH⊥BC于H．根据S△ABC=•BC•AH=•AC•BD即可求出BD，再根据勾股定理即可求出AD．
（2）证明△APC≌△ADB（SAS），可得∠APC=∠ADB=90°．
（3）分两种情形①CP=CD．②PD=PC分别求解即可．
【详解】
解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=3，
∴AH=，
∵S△ABC=•BC•AH=•AC•BD，
∴BD=，
∴AD==；
（2）证明：如图2中，
当t=3.2时，3.2×2=6.4，此时点P在AB边上，AP=6.4-5=1.4，
由（1）可知AD==1.4，
∴AP=AD，
∵AC=AB，∠A=∠A，
∴△APC≌△ADB（SAS），
∴∠APC=∠ADB=90°，
∴PC⊥AB．
（3）解：当点P在BC上时，CP=16-2t，
①如图3-1中，当CD=CP时，
∵CD=5-1.4=3.6，
∴16-2t=3.6，
∴t=6.2．
②如图3-2中，当PD=PC时，
∵PD=PC，
∴∠C=∠PDC，
∵∠C+∠CBD=90°，∠PDC+∠PDB=90°，
∴∠PBD=∠PDB，
∴PB=PD，
∴PC=PB=3，
∴16-2t=3，
∴t=6.5，
综上所述，满足条件的t的值为6.2或6.5．
【点睛】
本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若是“近直角三角形”，，则 度；
（2）如图，在中，．边上是否存在点，使得也是“近直角三角形”，若存在，求出所有点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）20；（2）存在，或
【分析】
（1）根据题意分析列出等式∠C+2∠A=90°计算即可，
（2）存在这样的点E，分情况当点E在边AC上且满足时，根据题意证明，利用勾股定理即可求出即；当点E在边AC上且满足时，根据题意证明，利用勾股定理即可求出．
【详解】
（1）20；
由题意知：
∵∠B>90°，∠C=50°，
∴∠C+2∠A=90° ，
∴∠A=20°；
（2）存在这样的点E，
①作平分交于，
∴，
∵BE平分，
∴，
∴点E即为所求，
又，
作，
又平分，
，
，
，
在中，，
则，
即，
解得：，
即；
②作，交延长线于，
，
，
∴，
作，
交于，
∵，
∴，
∴点即为所求，
又∵
AB=AB，
，
∴，
设，
根据勾股定理结合和列方程得：
，
解得：，
即，
综上或．
【点睛】
此题利用新定义考查直角三角形边上的动点问题，利用三角形全等结合勾股定理求直角三角形的边，有一定难度，理解题意是关键．
专题04 勾股定理解答题压轴训练
（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分
解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
1．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是CA延长线上一点，点E是AB延长线上一点，且AD＝BE，过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G
（1）依题意补全图形；
（2）当∠AED＝α，请你用含α的式子表示∠AGC；
（3）用等式表示线段CG与AD之间的数量关系，并写出证明思路
【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析
【分析】
（1）根据题意补全图形即可；
（2）先证，再根据与可得，则，又因为可得；
（3）在AE上截取，连接DM．先证与是等腰直角三角形，接下来证，所以可得，则可求．
【详解】
（1）根据题意补全图形如下：
过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G．
（2）证明：当时，．推理如下：
，，
．
，
，
，
，
，
．
（3）．
证明：在AE上截取，连接DM．
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
∵
∴
∴即
∵
∴
∵，
∴,
∴
又∵，
∴
∴
又∵ ，
∴利用勾股定理可得：
∴．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．
2．黔东南州某校杨老师组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，王老师巧妙的运用了“数形结合”的思想，具体做法是：如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、．已知，，．设，则，．则问题转化成求的最小值．
（1）我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______，此时______．
（2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式：的最小值．
（3）请你用构图的方法试求的最大值．
【答案】（1）5；；（2）13；（3）
【分析】
（1）延长AB到F，使BF=DE=2，连接EF，则在直角△AFE中，AF=3，EF=BD=4，由勾股定理得即可求得AE，利用三角形相似可求得x的值；
（2）构造与（1）类似的图形，代数式的最值求法与（1）同；
（3）构造与（1）类似的图形，但AB、DE在线段BD所在直线的同侧，最值求法与（1）同．
【详解】
（1）延长AB到F，使BF=DE=2，连接EF
则BF∥DE，且BF=DE
∴四边形BFDE是矩形
∴EF=BD=4
∵AF=BF+AB=3
在Rt△AFE中，由勾股定理得：
∴的最小值为5
∵△ABC∽△EDC
∴
∴CD=2BC=2x
∵BC+CD=4，即x+2x=4
∴
故答案为：5；
（2）如图1，取线段，分别过、作，，且，，连接，
则为的最小值，
最小值为：．
（3）如图2，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点C，
则线段为的最大值，最大值为：
【点睛】
本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用数形结合思想，通过构造直角三角形，把两个代数式的和或差的最值问题转化为最短路线问题是解题的关键．
3．如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积．
【答案】见解析；； ；
【分析】
根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可
【详解】
解：钝角三角形时，如图，
∵BC⊥BD，BC=5，
∴△ABC是钝角三角形，
根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4,
∴；
直角三角形时，如图，
取格点F使得BF=4，FC=3，
根据勾股定理，得BC==5，
∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB≌△BFC，
∴∠EAB=∠FBC，
∵∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠FBC+∠EBA=90°，
∴∠ABC =90°，
∴△ABC是直角三角形，
根据勾股定理，得AB==5，
∴；
锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4，
根据勾股定理，得BC==5，
根据直角三角形时的作图，知道∠ABN=90°，
∴∠ABC＜∠ABN，
∴∠ABC＜90°
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠A=∠C＜90°，
∴△ABC是锐角三角形，
∴=12；
【点睛】
本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键．
4．已知整点在平面直角坐标系内做“跳马运动”（也就是中国象棋式“日字”型跳跃）．例如，在下图中，从点做一次“跳马运动”可以到点，但是到不了点． 设做一次跳马运动到点，再做一次跳马运动到点，再做一次跳马运动到点，……，如此继续下去
（1）若，则可能是下列哪些点______；[；；]
（2）已知点，，则点的坐标为______________；
（3）为平面上一个定点，则点、可能与重合的是_____________；
（4）为平面上一个定点，则线段长的最小值是____________；
（5）现在，规定每一次只向轴的正方向跳跃，若，则，，……，点的纵坐标的最大值为__________．
【答案】（1）E(−1，−1)；（2）(7，2)或E(7，4)；（3）P26；（4）；（5）18
【分析】
（1）根据横纵坐标的变化规律求解即可；
（2）P0至P2经过2次运动，根据题意可求解；
（3）根据题意知只有跳偶数次才可能重合，据此可求解；
（4）由（3）知，当P0与 P2、P2与 P4重合时，P0P7取值最小，利用勾股定理求解即可；
（5）从P0至P21共21次变化，设有x次横坐标变化2个单位，则有(21-x)次横坐标变化1个单位，列方程求得x；设有m次纵坐标变大1个单位，则有(16-m)次纵坐标变小1个单位，有n次纵坐标变大2个单位，则有(21-16-n)次纵坐标变小2个单位，列式计算即可求解．
【详解】
（1）根据题意，“跳马运动”一次，有两种情况，一是横坐标平移2个单位，纵坐标平移1个单位；二是横坐标平移1个单位，纵坐标平移2个单位；
由于P(1，0)，
对于D(−1，2)，，，横、纵坐标都平移了2个单位，不合题意；
对于F(−2，0)，，，横坐标平移了3个单位，不合题意；
对于E(−1，−1)，，，横坐标平移2个单位，纵坐标平移1个单位，符合题意；
故答案为：E(−1，−1)；
（2）P0至P2经过2次运动，横坐标变小了4个单位，纵坐标不变，
则P1可能是(7，2)或E(7，4)；
故答案为：(7，2)或E(7，4)；
（3）设P0至P1，P1至P2，当P0= P2时，重合，
故只有跳偶数次才可能重合，
故答案为：P26；
（4）由（3）知，当P0与 P2、P2与 P4重合时，P0P7取值最小，即只跳了一个“日”，
∴P0P7=，
故答案为：；
（5）从P0至P21共21次变化，每次都向x轴正方向运动，则横坐标始终变大，
设有x次横坐标变化2个单位，则有(21-x)次横坐标变化1个单位，
依题意得：，
∴，
设有m次纵坐标变大1个单位，则有(16-m)次纵坐标变小1个单位，有n次纵坐标变大2个单位，则有(21-16-n)次纵坐标变小2个单位，
依题意得：，
整理得：，
则纵坐标最大为18，
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了新定义，规律型－点的坐标，解题的关键是根据题意得出点的横坐标与纵坐标的变化规律以及利用参数构建方程解决问题．
5．如图是有公共边AB的两个直角三角形，其中AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．
①求证：CD＝CE，CD⊥CE；
②直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请写出线段AD，BD，CD的数量关系，并证明．
【答案】(1) ①CD=CE， CD⊥CE；证明见详解，②AD+BD=CD，证明见详解；(2) AD-BD=CD，证明见详解．
【分析】
(1)①根据四边形的内角和得到∠DAC+∠DBC=180°，推出∠DBC=∠EAC，根据全等三角形的性质得到CD=CE，∠BCD=∠ACE，求得∠DCE=90°，根据垂直的定义得到结论；
②由已知条件得到△CDE是等腰直角三角形，求得DE=CD，根据线段的和差即可得到结论；
(2)如图2，在AD上截取AE=BD，连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠ABC=45°，求得∠CBD=∠CAE，根据全等三角形的性质得到CD=CE，∠BCD=∠ACE，求得∠DCE=90°，根据线段的和差即可得到结论．
【详解】
(1)证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB=360°，
∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∵∠EAC+∠DAC=180°，
∴∠DBC=∠EAC，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∵∠BCD+∠DCA=90°，
∴∠ACE+∠DCA=90°，
∴∠DCE=∠ACE+∠DCA =90°，
∴CD⊥CE；
②∵CD=CE，CD⊥CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得DE=，
∴DE==CD，
∵DE=AD+AE，AE=BD，
∴DE=AD+BD，
∴AD+BD=CD；
(2)解：AD-BD=CD；
理由：如图2，在AD上截取AE=BD，连接CE，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DBC=90°-∠BAD-∠ABC=90°-∠BAD-45°=45°-∠BAD，
∵∠EAC=∠BAC-∠BAD=45°-∠BAD，
∴∠DBC=∠EAC，
在△CBD和△CAE中，
∴△CBD≌△CAE(SAS)，
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠BCE=90°，
即∠DCE=90°，
∴DE===CD，
∵DE=AD-AE=AD-BD，
∴AD-BD=CD．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．我们约定：在一个平面图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图①，在中，，过点能否画出的一条“等分积周线”？若能，说出你的画法；若不能，说明理由；
（2）如图②，在四边形中，垂直平分，垂足为点，交于点．判断直线是否为四边形的“等分积周线”，并说明理由；
（3）如图③，在中，，请按要求作出的一条“等分积周线”，叙述你的画法，并对你的画法进行证明要求：直线不过的顶点，交边于点，交边于点．用黑色签字笔画图．
【答案】（1）不能，理由见详解；（2）直线是四边形的“等分积周线”，理由见详解；（3）见详解
【分析】
（1）若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，结合AC≠BC，进而得出答案；
（2）根据勾股定理可得出：AB2＋BE2＝CE2＋DC2，进而得出BE＝5，CE＝3，进而得出周长与面积分别相等得出答案即可；
（3）在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，结合全等三角形的判定与性质得出答案．
【详解】
解：（1）不能，理由如下：
如答图1，若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，
∴AD＝BD，
∵AC≠BC，
∴AD＋AC≠BD＋BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”；
（2）直线是四边形的“等分积周线”，理由如下：
如答图2，连接AE、DE，设BE＝x，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF，
∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB2＋BE2＝CE2＋DC2，即32＋x2＝（8−x）2＋52，
解得：x＝5，
∴BE＝5，CE＝3，
∴AB＋BE＝CE＋DC，S△ABE＝S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S△ABE＋S△AEF，S四边形DCEF＝S△DEF＋S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，AF＋AB＋BE＝DF＋EC＋DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（3）如答图3，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF＝AC−FC＝8−6＝2，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝2，则有AB＋AF＝CF＋CG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CFG中，
∵，
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S△ABF＝S△CFG，
∵BE＝2，
∴EG=6-2-2=2，
∴BE=EG，
∴S△BFE＝S△EFG，
∴S△EFC＝S四边形ABEF，
AF＋AB＋BE＝CE＋CF＝10，
∴EF是△ABC的等分积周线．
【点睛】
此题主要考查了三角形综合题，需要掌握应用与设计作图和全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据题意作出辅助项，分割图形是解题关键．
7．如图是由边长为的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将边绕点逆时针旋转得到线段；
（2）画的高；
（3）将点竖直向下平移个单位长度得到点，画出点；
（4）画线段关于直线的对称线段．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析
【分析】
（1）取BT=2，作出图形即可．
（2）取格点R，W，满足AR=3，RW=2，连接AW交BC于点D．
（3）取格点M，N，P，Q，满足BM=3，CN=3，AP=3，NQ=3，连接MN，PQ，二线交于．
（4）取B=2，格点K，H，作直线，HK，二线交于．
【详解】
解：（1）如图，取BT=2，，则线段即为所求作．
（2）如图，取AR=3，RW=2，连接AW交BC于点D，则线段AD即为所求作．
（3）如图，取BM=3，CN=3，AP=3，NQ=3，连接MN，PQ，二线交于，则点即为所求作．
（4）如图，
取B=2，格点K，H，作直线，HK，二线交于，则点即为所求作．
【点睛】
本题考查了网格上的作图，熟练运用三角形全等，平移思想，对称思想是解题的关键．
8．如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G．
（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据SAS即可证明△BCE≌△ACD；
（2）由△ACD≌△BCE可得∠CBG=∠CAF，从而利用ASA可证明△ACF≌△BCG；
（3）求出CG=CF=4，过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，求出GM，FN，根据S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠DCA，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）由（1）得△ACD≌△BCE，
∴∠CBG=∠CAF，
又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，
在△ACF和△BCG中，
，
∴△ACF≌△BCG（ASA）；
（3）∵△ACF≌△BCG，
∴S△ACF=S△BCG，CG=CF，而CF+CG=8，
∴CG=CF=4，
过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴GM=CG=，FN=CF=，
∴S△ACD=S△ACF+S△CDF
=S△BCG+S△CDF
=BC•GM+CD•FN
=（BC+CD）
=BD
=．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质得出CG=CF是解答此题的关键．
9．如图1，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．
（1）证明；
（2）猜想之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点F是的中点，求的长．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】
（1）由三角形内角和定理和平角的性质可求解；
（2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解；
（3）由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长．
【详解】
解：（1）证明：和都是等腰直角三角形，，，
，，，
∴∠ECA=∠DCB，
，，
；
（2），
理由如下：
连接，
在和中，
，
，，
，
是直角三角形，
，
；
（3）如图2，过点作于，
，，，，
，
，
点是的中点，
，
都是等腰直角三角形，，，
，
，
．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
10．若三角形一边上的高线是该边的一半，则称这个三角形为“半高三角形”．
（1）下列三角形为半高三角形是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形C．含有角的直角三角形
（2）若一个等腰三角形是半高三角形，则它的底角为________；
（3）如图，在四边形中，，，求证：是半高三角形；
（4）如图，在的正方形网格中，为格点，若为半高三角形，则满足条件的有________个．
【答案】（1）B（2）15°或45°或75°；（3）证明见解析；（4）6．
【分析】
（1）分别画出图形，根据等边三角形，等腰直角三角形，含30°角的直角三角形的性质分别判断即可；
（2）分△ABC为锐角三角形、直角三角形或为钝角三角形时，画出对应图形根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解；
（3）过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，根据等腰三角形三线合一可得，证明△AND和△BMA可得BM=AN，由此可得结论；
（4）先排除以AB为底时的情况，再以AC为底或以BC为底的半高三角形，设AC=2x或BC=2x，边AB上高为h，利用等面积法列出方程，再分类讨论即可．
【详解】
解：(1)如图所示，△ABC为等边三角形，过点A作AH⊥BC于点H，
∵△ABC为等边三角形，AH⊥BC，
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠BAC=60°，
则，
，
，
由等边三角形对称性可知边AB，AC上的高均等于或，根据半高三角形的定义可知，等边三角形不是半高三角形；
如图所示，△ABC为等腰直角三角形，过点A作AH⊥BC于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，AH⊥BC，
，
即△ABH，△ACH均为等腰直角三角形，
∴AH=BH=CH，即，
∴△ABC为半高三角形，即等腰直角三角形为半高三角形；
如图，△ABC为直角三角形，过点B作BH⊥AC于点H，且∠A=30°，
则.
又，则，
又AB为△ABC边BC上的高且，
BC为△ABC边AC上的高且，
∴△ABC不是半高三角形，
即有一个角为30°的直角三角形不是半高三角形，
综上所述，等腰直角三角形为半高三角形，
故选：B；
(2)如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC且△ABC为锐角三角形或直角三角形时，
(1)∠BAC=90°时，过点A作AH⊥BC，
△ABC为半高三角形，则，
∵AB=AC，AH⊥BC
，即AH=CH，
；
(2)∠BAC<90°，过点C作CG⊥AB于点G，
∵△ABC为半高三角形，
又AB=AC，
∴∠CAG=30°
则∠ACB=(180°-∠CAG)÷2=75°；
如图所示，△ABC为等腰三角形AB=AC且△ABC为钝角三角形，
过点C作CH⊥BA延长线于点H，
∵△ABC为半高三角形，
，
又AC=AB，∠CHA=90°，
，即∠CAH=30°，
∴∠BAC=180°-∠CAH=150°，
，
综上所述：若一个等腰三角形是半高三角形，则它们的底角为15°或45°或75°
故答案为： 15°或45°或75°；
(3)如图1所示，过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，
∵AB=AC=CD，DN⊥AC，
∵DN⊥AC，BM⊥AC，
∴∠AND=∠BMA=90°，∠NAD+∠NDA=90°，
又∠BAD=90°，即∠NAD+∠MAB=90°，
∴∠NDA=∠MAB，
在△AND和△BMA中，，
∴△AND≌△BMA(AAS)，
∴BM=AN，即
又BM⊥AC，
∴△ABC是半高三角形；
(4)在5×5正方形网格中，AB=5，C为格点，
则点C到AB距离设为h，即h=1，2，3，4或5，
设AC=2x或BC=2x，
由于△ABC为半高三角形，
∴AC边上高为，或BC边上高为，，
，
又边AB上高为h，AB=5，
当h=1时，，即或
如图所示，当点C在图中位置时，
由勾股定理得:，
故h=1时，图中符合题意；
当h=2时，，
如图所示，当点C在图中位置时，
由勾股定理得，，
，
故h=2时，图中符合题意;
当h=3时，，没有格点C使得AC或BC值为;
当h=4时，，没有格点C使得AC或BC值为;
当h=5时，.
如图所示，当点C为图中位置时，
由勾股定理得，，
，
故h=5时，图中符合题意．
综上所述，若△ABC为半高三角形则满足条件的C点有这6个．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定、勾股定理等．能理解半高三角形的定义，并能结合以上性质分析是解题关键．
11．综合与探究
问题情境
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接DE，CE．
探究发现
（1）如图1，BD＝CE，BD⊥CE，请证明；探究猜想；
（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；
探究拓广
（3）当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．
【分析】
（1）根据题意计算得∠BAD=∠CAE；再根据旋转的性质，通过证明△BAD≌△CAE，从而完成求解；
（2）结合（1）的结论，通过△BAD≌△CAE，得；通过勾股定理，得；再通过勾股定理计算，记得得到答案；
（3）过点作交于点；根据等腰三角形三线合一的性质，得，再根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据勾股定理的性质，通过计算，即可得到线段BD，DC，AD之间的数量关系．
【详解】
（1）由题意得，∠BAC=∠DAE=90°
∵∠BAD+∠CAD =∠CAE+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE
∴AD=AE
又∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°
∴∠ECD=90°，BD⊥CE．
（2）由（1）得：△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°
∵，BD＝2DC，即,
∴，
∵AD=AE
∴
∴∠B=∠ACB=45°
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE =90°
∴CD2+CE2=DE2，即，
∴；
（3）如图，过点作交于点
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴
∴
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】
本题考查了旋转、等腰直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等腰三角形三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
12．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．
（1）若点在上，且满足，求此时的值；
（2）在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形．
【答案】（1）；（2）s或s或s或3s
【分析】
（1）设PC=PA=x，则PB=4-x，在Rt△ABP中，依据AB2+PB2=AP2，列方程求解即可得到t的值；
（2）分四种情况：当P在AC上且AP=BP时，当P在AC上且AP=BA=3时，当P在AC上且AB=PB时，当P在BC上且AB=PB=3时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值．
【详解】
解：（1）∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，
∴AC==5cm，
设PC=PA=x，则PB=4-x，
在Rt△ABP中，AB2+PB2=AP2，
∴32+（4-x）2=x2，
解得x=，
∴PC=，
∴；
（2）分四种情况：
①如图，当P在AC上且AP=PB时，
∠A=∠ABP，而∠A+∠C=90°，∠ABP+∠CBP=90°，
∴∠C=∠CBP，
∴BP=CP，
∴P是AC的中点，即AP=AC=，
∴t==；
②如图，当P在AC上且AP=BA=3时，
t==；
③如图，当P在AC上且AB=PB时，过B作BD⊥AC于D，则
BD==，
∴Rt△ABD中，AD==，
∴AP=2AD=，
∴t==；
④如图，当P在BC上且AB=PB=3时，CP=4-3=1，
∴t===3，
综上：当t=s或s或s或3s时，△ABP为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（2）题的关键．
13．如图，在中，，，交于点．动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为秒．
（1）求和的长；
（2）当秒时，求证：；
（3）当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的的值．
【答案】（1）BD=，AD=；（2）见解析；（3）6.2或6.5
【分析】
（1）如图1中，作AH⊥BC于H．根据S△ABC=•BC•AH=•AC•BD即可求出BD，再根据勾股定理即可求出AD．
（2）证明△APC≌△ADB（SAS），可得∠APC=∠ADB=90°．
（3）分两种情形①CP=CD．②PD=PC分别求解即可．
【详解】
解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=3，
∴AH=，
∵S△ABC=•BC•AH=•AC•BD，
∴BD=，
∴AD==；
（2）证明：如图2中，
当t=3.2时，3.2×2=6.4，此时点P在AB边上，AP=6.4-5=1.4，
由（1）可知AD==1.4，
∴AP=AD，
∵AC=AB，∠A=∠A，
∴△APC≌△ADB（SAS），
∴∠APC=∠ADB=90°，
∴PC⊥AB．
（3）解：当点P在BC上时，CP=16-2t，
①如图3-1中，当CD=CP时，
∵CD=5-1.4=3.6，
∴16-2t=3.6，
∴t=6.2．
②如图3-2中，当PD=PC时，
∵PD=PC，
∴∠C=∠PDC，
∵∠C+∠CBD=90°，∠PDC+∠PDB=90°，
∴∠PBD=∠PDB，
∴PB=PD，
∴PC=PB=3，
∴16-2t=3，
∴t=6.5，
综上所述，满足条件的t的值为6.2或6.5．
【点睛】
本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若是“近直角三角形”，，则 度；
（2）如图，在中，．边上是否存在点，使得也是“近直角三角形”，若存在，求出所有点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）20；（2）存在，或
【分析】
（1）根据题意分析列出等式∠C+2∠A=90°计算即可，
（2）存在这样的点E，分情况当点E在边AC上且满足时，根据题意证明，利用勾股定理即可求出即；当点E在边AC上且满足时，根据题意证明，利用勾股定理即可求出．
【详解】
（1）20；
由题意知：
∵∠B>90°，∠C=50°，
∴∠C+2∠A=90° ，
∴∠A=20°；
（2）存在这样的点E，
①作平分交于，
∴，
∵BE平分，
∴，
∴点E即为所求，
又，
作，
又平分，
，
，
，
在中，，
则，
即，
解得：，
即；
②作，交延长线于，
，
，
∴，
作，
交于，
∵，
∴，
∴点即为所求，
又∵
AB=AB，
，
∴，
设，
根据勾股定理结合和列方程得：
，
解得：，
即，
综上或．
【点睛】
此题利用新定义考查直角三角形边上的动点问题，利用三角形全等结合勾股定理求直角三角形的边，有一定难度，理解题意是关键．
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