专题02 二次根式解答题压轴训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

这是一份专题02 二次根式解答题压轴训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用），共22页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

专题02 二次根式解答题压轴训练
（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分
解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
1．阅读材料：一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如其思考过程如下：
设（其中均为正整数）则有，∴，
请你解决问题：
（1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得：=_____，=____．
（2）利用所探索的结论，找一组正整填空：____+____=；
（3）若，且均为正整数，求的值．
【答案】（1），；（2）13，4，1，2（答案不唯一）；（3）或．
【分析】
（1）利用完全平方公式得到，则，；
（2）可设，，根据（1）中的公式代入即可；
（3）由于，则，即，所以，或，，然后分别计算对应的的值．
【详解】
解：（1），
，；
故答案为，；
（2）令，，
则，，
故答案为13，4，1，2（答案不唯一）；
（3），
，即，
而、为正整数，
，或，，
当，时，，
当，时，．
故或．
【点睛】
本题考查了二次根式的计算．先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了完全平方公式．
2．阅读下列解题过程：
＝＝-1；
＝＝-；
＝＝-＝2-；
…
解答下列各题：
（1）＝　　；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　．
（3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）．
【答案】（1）；（2）；（3）2020
【分析】
（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
（1）
＝
＝
＝
故答案为：；
（2）


故答案为：；
（3）（+…+）×（+1）
＝（+…+）×（+1）
＝（）×（+1）
＝
＝2020．
【点睛】
本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．
3．若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|．
例如：＝＝|++|＝请解决下列问题：
（1）求的值．
（2）设S＝++…+，求S的整数部分．
（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围．
【答案】（1）；（2）2019；（3）0＜x≤
【分析】
（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
（2）将原式进行化简，再确定整数部分；
（3）将原式化简为||+||，再根据||+||取最小值时，确定x的取值范围．
【详解】
解：（1）＝＝|++|＝；
（2）S＝++…+，
＝++…+，
＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|，
＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣，
＝2019+，
故整数部分为2019；
（3）由题意得，
+|﹣﹣|，
＝|++|+|﹣﹣|，
＝||+||，
又y+z＝3yz，
原式＝||+||，
因为||+||取最小值，
所以﹣3≤≤3，而x＞0，
因此，0＜x≤，
答：x的取值范围为0＜x≤．
【点睛】
本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算．
4．已知m,n是两个连续的正整数，，，求证：是定值且为奇数．
【答案】见解析
【分析】
设，用n将a表示出来，代入原式化简即可证明．
【详解】
由题：，
原式



∴代数式定值为1，是一个奇数．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，和分解因式，题目较为新颖，难度较大，用n将a表示出来是本题的关键．
5．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，，，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；
（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．
【详解】
解：（1），
所以，
答：的面积是．
（2）边上的高，
答：边的高是．
故答案为（1）；（2）．
【点睛】
本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．
6．先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ①． ②．
【答案】（1）④；；（2）①；②
【分析】
（1）第④步出现了错误，==．
（2）类比例题，将13和8分别拆分成两个二次根式的平方和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
【详解】
解：（1）第④步出现了错误；

=
=．
（2）①
=
=
=．
②
=
=
．
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简以及完全平方公式的应用，利用完全平方公式对二次根式进行化简是解题关键．
7．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，形如一样的式子，我们可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）请用上述的方法化简；
（2）利用上面的解法，化简：．
【答案】（1）；（2）18
【分析】
（1）给分子、分母同时乘以，然后在化简即可；
（2）先分别给各无理式分母有理化、然后找规律解答即可．
【详解】
解：（1）；
（2）
=
=
=
=
=18．
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，掌握分母有理化并根据分母有理化总结规律、应用规律是解答本题的关键．
8．（1）用计算器计算：
________________；
_______________；
_____________；
____________．
（2）观察（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想出下式的结果，并用计算器验证你的猜想__________．
【答案】（1）5，55，555，5555；（2）（n个3，n个4）=55…5（n个5）；（3）55555，计算机验证正确
【分析】
（1）直接利用计算器计算得出答案；
（2）利用计算结果可得出数字变化规律；
（3）根据（2）中发现的规律猜想结果，再用计算机验证．
【详解】
解：（1）5，
55，
555，
5555，
故答案为：5，55，555，5555；
（2）观察题（1）中各式的计算结果，可得出：
（n个3，n个4）=55…5（n个5）；
（3）由（2）可得：
55555，
计算机验证正确．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简以及计算器的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
9．(1) 观察下列各式的特点：
，
，
，
，
…
根据以上规律可知：_____(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)观察下列式子的化简过程：
，
，
，
…
根据观察，请写出式子(n≥2)的化简过程．
(3)根据上面(1)(2)得出的规律计算下面的算式：.
【答案】(1)＞；(2)；(3)．
【分析】
（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得答案；
（3）根据（2）中的规律可得，，…，分别把绝对值里面的式子化简计算即可.
【详解】
(1)根据题意可得＞，
故答案为＞．
(2) ；
(3)原式＝|(﹣1)﹣(﹣)|+|(﹣)﹣(﹣)|+|(﹣)﹣(﹣)|+…+|(﹣)﹣(﹣)|
＝(﹣1)﹣(﹣)+(﹣)﹣(﹣)+(﹣)﹣(﹣)+…+(﹣)﹣(﹣)
＝(﹣1)﹣(﹣)
＝﹣1﹣+10
＝﹣+9．
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，关键是认真观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后应用规律进行计算.
10．若a，b都是正整数，且a＜b，与是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使＋＝？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.
【解析】
试题分析：直接利用同类二次根式的定义得出，与是同类二次根式，进而得出答案．
试题解析：∵与是可以合并二次根式，+=，
∴+==5，
∴当a=3，则b=48，
当a=12，则b=27．

11．先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果）
(3) （填或）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017.
【分析】
（1）根据有理化因式的定义求解；
（2）利用分母有理化计算；
（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到； ，然后进行大小比较；
（4）先根据规律化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．
【详解】
解：（1）-1的有理化因式是+1；
（2）；
（3），，
∵
∴>
∴<；
（4）原式=
=
=2018-1
=2017．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
12．若x，y是实数，且y＝，求（x）﹣（）的值．
【答案】﹣．
【分析】
首先根据二次根式有意义求出x 、y的值，再化简后面的代数式，最后代入求值即可．
【详解】
解：∵x，y是实数，且y＝，
∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，
解得：x＝，
∴y＝，
∴x）﹣（）的值．
＝2x+2﹣x﹣5
＝x﹣3
＝﹣3
＝．
【点睛】
本题主要考查含字母的二次根式化简求值，需要注意利用二次根式有意义的情况求未知数的值．
13．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．

解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数的最小值．
【答案】（1），；（2），；（3），
【分析】
（1）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（2）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（3）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可.
【详解】
解：（1）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（2）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（3）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为6.
【点睛】
本题是对二次根式和不等式的综合考查，读懂题意，准确变形是解决本题的关键.
14．已知x＋y=－8，xy=8，求的值．
【答案】
【分析】
根据已知条件可知，x，y是负数，再由二次根式的性质化简，把原式用x+y和xy表示即可求解．
【详解】
解：∵x＋y=－8，xy=8，
∴x＜0，y＜0，
∴．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的乘除法法则和加减法法则，先要根据式子，找出题目中的隐含条件，判断所含字母或式子的符号，再结合二次根式的定义和运算法则，把式子用x+y和xy表示，再整体代入求值．
15．观察下列等式：


回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：；
（2）化简：；
（3）计算：…．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据题目的运算，先将分式通分，然后化简计算，即可得答案；
（2）根据题目的运算，先将分式通分，然后化简计算，即可得答案；
（3）根据规律，化简求值即可．
【详解】
（1）




（2）





（3）由（2）的运算可得：
∴




【点睛】
本题考查了利用平方差公式对二次根式进行有理化，熟悉相关运算法则是解题的关键．
16．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）m2＋3n2，2mn；（2）4,，1 ,（答案不唯一）；（3）7或13．
【分析】
（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）取m=2，n=1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=4和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【详解】
解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn，
故答案为：m2＋3n2，2mn；
（2）取m=2，n=1，则a=7，b=4，∴7+4=（2+）2，
故答案为：4,，1 ,（答案不唯一）；
（3）a=m2+3n2，2mn=4，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
当m=2，n=1时，a=4+3=7，
当m=1，n=2时，a=1+3×4=13，
∴a的值为7或13．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及阅读理解问题，正确理解题意并掌握基本运算法则是解题的关键．
17．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：

因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而
当时，分母有最小值2，所以的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为．
【分析】
（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最下值0得到的最小值．
【详解】
解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】
本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．