专题10 平行四边形中的存在性问题训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

这是一份专题10 平行四边形中的存在性问题训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用），共28页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

专题10 平行四边形中的存在性问题训练
（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分
解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
1. 如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
(1)求证：EO=FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
(3)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．

【答案】解：(1)

∵MN//BC，
∴∠3=∠2，
又∵CF平分∠GCO，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴FO=CO，
同理：EO=CO，
∴EO=FO.                                               
(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．            
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
由(1)可知，FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．                                  
(3)当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．                                                 
∵由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵MN//BC，
∴∠AOE=∠ACB
∵∠ACB=90°，
∴∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
【知识点】矩形的判定、正方形的判定
【解析】(1)由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，得出EO=CO，FO=CO，即可得出结论；
(2)先证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；
(3)由正方形的性质得出∠ACE=45°，得出∠ACB=2∠ACE=90°即可．
本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．

2. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=60cm，∠A=60∘，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D，E运动的时间是t s(0
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形;
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形⋅
【答案】(1)证明：∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴AB=12AC=30cm，
由题意得，CD=4t cm，AE=2t cm，
∵DF⊥BC，∠C=30°，
∴DF=12CD=2t cm，
∴DF=AE，
∵DF//AE，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
(2)当∠EDF=90°时，如图①，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE，即60−4t=2t×2，
解得，t=152，
当∠DEF=90°时，如图②，
∵AD//EF，
∴DE⊥AC，
∴AE=2AD，即2t=2×(60−4t)，
解得，t=12，
综上所述，当t=152或12时，△DEF为直角三角形．
【知识点】平行四边形的判定、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形、分类讨论思想
【解析】本题考查的是平行四边形的判定、直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理、含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
(1)根据三角形内角和定理得到∠C=30°，根据直角三角形的性质求出DF，得到DF=AE，根据平行四边形的判定定理证明；
(2)分∠EDF=90°、∠DEF=90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．

3. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90∘，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点P，Q运动的时间为t s．

(1)CD边的长度为          cm，t的取值范围为          ．
(2)从运动开始，当t取何值时，PQ//CD?
(3)从运动开始，当t取何值时，PQ=CD?
(4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形⋅若存在，请求出t值;若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)10；0⩽t⩽9；
(2)∵AD//BC，
∴当PQ//CD时，四边形PQCD为平行四边形，
∴PD=CQ，
∵PD=12−t，CQ=2t，
∴12−t=2t，
∴t=4，
∴当t=4s时PQ//CD；
(3)由(2)得当t=4s时四边形PQCD为平行四边形，此时PQ=CD，
当P，Q运动到如图(2)的位置时PQ=CD=10，
过点P作PE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，

则PE=DF=AB=8cm，
PD=EF=12−t，
在Rt△PQE和Rt△DCF中
PQ=DCPE=DF
∴Rt△PQE≌Rt△DCF(HL)，
∴QE=CF，
由(1)得CF=6cm
∴QE=6cm
∵QE+EF+FC=CQ，
∴6+(12−t)+6=2t，
∴t=8，
综上所述，当t的值为4s或8s时PQ=CD，；
(4)不存在.理由如下：
要使四边形PQCD为菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形，
由(2)得当t=4s时四边形PQCD是平行四边形，
此时PD=12−4=8≠10，即PD≠CD，
∴四边形PQCD不是菱形，
所以不存在t的值使四边形PQCD为菱形．
【知识点】菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、四边形综合、三角形的面积、全等三角形的判定与性质
【解析】
【分析】
本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质、勾股定理．
(1)过点D作DH⊥BC于点H，先证得四边形ABHD是矩形，利用勾股定理求出CD，即可求出答案；
(2)当PQ//CD时，四边形PQCD为平行四边形，即PD=CQ，根据PD=CQ列出方程求解即可；
(3)过点P作PE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，先证得Rt△PQE≌Rt△DCF，根据QE+EF+FC=CQ列出方程，求出解即可；
(4)要使四边形PQCD为菱形，当t=4s时四边形PQCD是平行四边形，PD=12−4=8≠10，即PD≠CD，故不存在t的值使四边形PQCD为菱形．
【解答】
解：(1)如图所示，过点D作DH⊥BC于点H，
∴∠DHB=∠DHC=90°，
∵∠B=90°，AD//BC，
∴∠A=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB=DH=8cm，BH=AD=12cm，
∴CH=BC−BH=18−12=6(cm)，
∴CD=DH2+CH2=82+62=10(cm)，
点P从点A运动到点D用12÷1=12s，点Q从点C运动到点B用18÷2=9(s)，
所以t的取值范围是0⩽t⩽9，
故答案为：0⩽t⩽9；(2)(3)(4)见答案．

4. 如下图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90∘，AB=12，BC=21，AD=16.动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t秒．
(1)设△DPQ的面积为S，用含t的式子表示S;
(2)当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形⋅
(3)分别求出当t为何值时， ①PD=PQ， ②DQ=PQ．

【答案】当点Q运动到点D时，用时为16秒;当点P运动到点C时，用时为212秒，因为212<16，所以当点P，Q停止运动时，所用时间为212秒.
(1)在直角梯形ABCD中，依题意知AQ=t，BP=2t，
则DQ=16−t，PC=21−2t，
如下图，过点P作PE⊥AD于点E，则四边形ABPE是矩形，

∴PE=AB=12，
∴S=12DQ⋅PE=12(16−t)×12=−6t+96．
(2)当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，
即21−2t=16−t，解得t=5，符合题意．
∴当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形．
(3)由(1)知AE=BP=2t，PE=AB=12．
 ①当PD=PQ时，QE=ED=12QD=12(16−t)，
又∵AE=BP=AQ+QE，
∴2t=t+QE，则QE=t，
∴12(16−t)=t，
解得t=163，符合题意．
∴当t=163时，PD=PQ．
 ②当DQ=PQ时，DQ2=PQ2，
在Rt△PEQ中，PQ2=PE2+QE2，
∴DQ2=PE2+QE2，即(16−t)2=t2+122，
解得t=72，符合题意．
∴当t=72时，DQ=PQ．
【解析】略

5. 如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
(1)求证：四边形DBEC是平行四边形．
(2)若∠ABC=120°，AB=BC=4，则在点E的运动过程中：
①当BE=______时，四边形BECD是矩形，试说明理由；
②当BE=______时，四边形BECD是菱形．
【答案】解：(1)证明：∵AB//CD，
∴∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
在△DCF和△EBF中，
∠CDF=∠FEB∠DCF=∠EBFFC=BF，
∴△EBF≌△DCF(AAS)，
∴DC=BE，
∴四边形BECD是平行四边形；

(2)①2  ；② 4
【知识点】菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、矩形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质
【解析】此题主要考查了菱形和矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等，矩形四个角都是直角．
(1)先证明△EBF≌△DCF，可得DC=BE，结合AB//CD，可证四边形BECD是平行四边形；
(2)①根据四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°，再由∠ABC=120°可得∠ECB=30°，再根据直角三角形的性质可得BE=2；
②根据四边形BECD是菱形可得BE=EC，再由∠ABC=120°，可得∠CBE=60°，进而可得△CBE是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)解：①BE=2；
∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°；
∴∠ECB=30°，
∴BE=12BC=2，
故答案为：2；
②BE=4，
∵四边形BECD是菱形时，BE=EC，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=4．
故答案为：4．

6. 已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10,0)，C(0,4)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P的运动时间为t秒

(1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在线段PB上有一点M，且PM=5，当P运动______ 秒时，四边形OAMP的周长最小，并画图标出点M的位置．
【答案】解：(1)∵四边形OABC为矩形，A(10,0)，C(0,4)，
∴BC=OA=10，AB=OC=4，
∵点D时OA的中点，
∴OD=12OA=5，
由运动知，PC=2t，
∴BP=BC−PC=10−2t，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=5，
∴10−2t=5，
∴t=2.5；
(2)①当Q点在P的右边时，如图1，

∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=3      
∴2t=3；
∴t=1.5，
∴Q(8,4)

②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2，

同①的方法得出 t=4，
∴Q(3,4)，
③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3，

同①的方法得出，  t=1，
∴Q(−3,4)
(3)t=54，   
如图4，

由(1)知，OD=5，
∵PM=5，
∴OD=PM，
∵BC//OA，
∴四边形OPMD时平行四边形，
∴OP=DM，
∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP
=10+AM+5+DM=15+AM+DM，
∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，
∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M，
∴AB=EB，
∵BC//OA，
∴BM=12AD=52，
∴PC=BC−BM−PM=10−5−52=52，
∴t=52÷2=54．
【知识点】菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、轴对称-最短路线问题、四边形综合、分类讨论思想
【解析】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，解(1)的关键是求出OD的值，解(2)的关键时分类讨论的思想，解(3)的关键是找出点M的位置，是一道中等难度的中考常考题．
(1)先求出OA，进而求出OD=5，再由运动知BP=10−2t，进而由平行四边形的性质建立方程10−2t=5即可得出结论；
(2)分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
(3)先判断出四边形OAMP周长最小，得出AM+DM最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论．

7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A=______时，四边形BECD是正方形？

【答案】45°
【知识点】正方形的判定、菱形的判定
【解析】(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC//DE，
∵MN//AB，即CE//AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；

(2)解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；

(3)当∠A=45°时，∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
由(2)可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC=∠CBE=45°，
∴∠DBE=90°，
∴四边形BECD是正方形．
(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
(3)当∠A=45°，四边形BECD是正方形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

8. 已知，平行四边形ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
(1)如图①，运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠ABC的度数．
(2)如图②，在(1)问的条件下，连结BP并延长，与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB=8cm，求△APF的面积．
(3)如图③，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止)，若AD=12cm，则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．

【答案】解：(1)如图①中，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∵PC平分∠BCD，
∴∠PCD=∠PCB，
∴∠DPC=∠DCP，
∴DP=DC，
∵CD=CP，
∴PC=CD=PD，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠D=∠B=60°．

(2)如图②中，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CD，BC//AD，
∴S△PBC=S△FAB=12S平行四边形ABCD，
∴S△ABP+S△PCD=12S平行四边形ABCD，
∴S△APF+S△ABP=S△ABP+S△PCD，
∴S△APF=S△PCD=34⋅82=163．

(3)如图③中，

∵PD//BC，
∴当PD=BQ时，四边形PDQB是平行四边形，
∴12−t=12−4t或12−t=4t−12或12−t=36−4t或12−t=4t−36，
解得t=4.8或8或9.6，
∴t为4.8s或8s或9.6 s时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质、四边形综合
【解析】(1)如图①中，只要证明△PCD是等边三角形即可．
(2)如图②中，由四边形ABCD是平行四边形，推出AD//CD，BC//AD，推出S△PBC=S△FAB=12S平行四边形ABCD，推出S△ABP+S△PCD=12S平行四边形ABCD，推出S△APF+S△ABP=S△ABP+S△PCD，可得S△APF=S△PCD由此即可解决问题．
(3)如图③中，分四种情形列出方程解方程即可．
本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

9. 已知：如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，BF平分∠CBD，交CD于F．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)当AD与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
【答案】证明：(1)∵▱ABCD，
∴AD=BC，∠A=∠C，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE与△CBF中
∠ADE=∠CBFAD=BC∠A=∠C，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
(2)当AD=BD时，
∵DE平分∠ADB，
∴DE⊥BE，
∴∠DEB=90°，
∵△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，
∵∠EDB=∠DBF，
∴DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵∠DEB=90°，
∴平行四边形DEBF是矩形．
【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【解析】(1)根据平行四边形的性质得出AD=BC，∠A=∠C，AD//BC，进而得出∠ADE=∠CBF，利用全等三角形的判定证明即可；
(2)利用矩形的判定解答即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力，注意：平行四边形的对边平行，对角相等．．

10. 如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠BAD=60∘，动点E、F分别从点B、D同时出发，以1cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，取AF、CE的中点G、H，连接GE、FH.设运动的时间为t(s)(0    
(1)求证：AF // CE；
(2)当t为何值时，四边形EHFG为菱形：
(3)探究：是否存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明：∵动点E、F同时运动且速度相等，
∴DF=BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB//DC，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF//CE；
(2)解：当t=1时，四边形EHFG为菱形，理由如下：
过D作DM⊥AB于M，连接GH，EF，

∴DF=BE=t，
∵G、H是AF、CE的中点，
∴GH//AB，
∵四边形EGFH是菱形，
∴GH⊥EF，
∴EF⊥AB，∠FEM=90°，
∵DM⊥AB，
∴DM//EF，
∴四边形DMEF是矩形，
∴ME=DF=t，
∵AD=4，∠DAB=60°，DM⊥AB，
∴∠ADM=30°，
∴AM=12AD=2，
∴BE=4−2−t=t，
∴t=1；
(3)解：不存在，假设存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，
∵四边形EHFG为矩形，
∴EF=GH，
∴EF2=GH2，
∵DM=AD2−AM2=42−22=23，
∴(2−2t)2+(23)2=(4−t)2，
解得t=0，0 ∴与原题设矛盾，
∴不存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【解析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)根据菱形的性质得到AB=CD，AB//DC，推出AE=CF，得到四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质定理即可得到结论；
(2)过D作DM⊥AB于M，连接GH，EF，推出四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到四边形EGFH是菱形，证得四边形DMEF是矩形，于是得到ME=DF=t列方程即可得到结论；
(3)不存在，假设存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，根据矩形的性质列方程即可得到结果．

11. 如图，在在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：

(1)BC=____cm；
(2)当t=____秒时，四边形PQBA成为矩形．
(3)当t为多少时，PQ=CD？
(4)是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】解：(1)18；
(2)185；
(3)①当P′Q′//CD时，如图，

∵AD//BC，
∴四边形CDP′Q′是平行四边形，
∴P′Q′=CD，DP′=CQ′，
∴12−2t=3t，
∴t=125秒，
②如图，梯形PDCQ是等腰梯形时，PQ=CD，
易证，四边形PDEF是矩形，
∴EF=DP=12−2t，
易证，△CDE≌△QPF，
∴FQ=CE=6，
∴CQ=FQ+EF+CE=6+12−2t+6=3t，
∴t=245．
(4)△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当QC=DC时，即3t=10，
∴t=103；
②当DQ=DC时，3t2=6，
∴t=4；
③当QD=QC时，3t⋅610=5，
∴t=259．
故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为103秒或4秒或259秒．
【知识点】等腰梯形的性质*、四边形综合、矩形的判定、等腰三角形的判定、分类讨论思想
【解析】
【分析】
此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
(1)过D点作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的长，根据勾股定理可以计算EC的长度，根据BC=BE+EC即可求出BC的长度；
(2)当PA=BQ时，四边形PQBA为矩形，根据PA=QB列出关于t的方程，解方程即可；
(3)分两种情况，建立方程求解即可得出结论；
(4)因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．
【解答】
解：根据题意得：PA=2t，CQ=3t，则PD=AD−PA=12−2t，
(1)如图，过D点作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，

∴DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，
在Rt△CDE中，∵∠CED=90°，DC=10cm，DE=8cm，
∴EC=DC2−DE2=6cm，
∴BC=BE+EC=18cm．
故答案为18；
(2)∵AD//BC，∠B=90°，
∴当PA=BQ时，四边形PQBA为矩形，
即2t=18−3t，
解得t=185秒，
故当t=185秒时，四边形PQBA为矩形；
故答案为185；
(3)见答案；
(4)见答案．

12. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=48，点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒(t>0)，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

(1)求证：AE=DF；
(2)当四边形BFDE是矩形时，求t的值；
(3)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
【答案】解：(1)证明：在Rt△CDF中，∠C=30°
∴DF=12CD，
∴DF=12⋅4t=2t，
又∵AE=2t，
∴AE=DF．
(2)当四边形BFDE是矩形时，有BE=DF，
∵Rt△ABC中，∠C=30°
∴AB=12AC=12×48=24，
∴BE=AB−AE=24−2t，
∴24−2t=2t，
∴t=6．
(3)∵∠B=90°，DF⊥BC
∴AE//DF，
∵AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
由(1)知：四边形AEFD是平行四边形，
则当AE=AD时，四边形AEFD是菱形，
∴2t=48−4t，
解得t=8，
又∵t≤ABv=242=12，
∴t=8适合题意，
故当t=8s时，四边形AEFD是菱形．
【知识点】菱形的性质、矩形的判定与性质
【解析】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数及特殊角的三角函数值等知识，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
(1)由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=2t=AE；
(2)当四边形BEDF是矩形时，△DEF为直角三角形且∠EDF=90°，求出t的值即可；
(3)先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=3，AD=AC−DC=48−4t，若△DEF为等边三角形，则四边形AEFD为菱形，得出AE=AD，2t=48−4t，求出t的值即可；

13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD、BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当点D是AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若点D是AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？
【答案】(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC//DE，
∵m//AB，即CE//AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
(2)解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴▱四边形BECD是菱形；
(3)当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定
【解析】本题考查了本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用．
(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
(3)求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．

14. 如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠BAD=60°.动点E、F分别从点B、D同时出发，以1cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，取AF、CE的中点G、H，连接GE、FH.设运动的时间为ts(0
(1)求证：AF // CE；
(2)当t为何值时，四边形EHFG为菱形；
(3)试探究：是否存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明：
∵动点E、F同时运动且速度相等，
∴DF=BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB//DC，
在△ADF与△CBE中，DF=BE∠B=∠DAD=BC，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC，
∵AB//DC，
∴∠DFA=∠FAB，
∴∠FAB=∠BEC，
∴AF//CE；

(2)过D作DM⊥AB于M，连接GH，EF，
∴DF=BE=t，
∵AF//CE，AB//CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵G、H是AF、CE的中点，
∴GH//AB，
∵四边形EGFH是菱形，
∴GH⊥EF，
∴EF⊥AB，∠FEM=90°，
∵DM⊥AB，
∴DM//EF，
∴四边形DMEF是矩形，
∴ME=DF=t，
∵AD=4，∠DAB=60°，DM⊥AB，
∴AM=12AD=2，
∴BE=4−2−t=t，
∴t=1，

(3)不存在，假设存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，
∵四边形EHFG为矩形，
∴EF=GH，
∴EF2=GH2，
即(2−2t)2+(23)2=(4−t)2，
解得t=0，0 ∴与原题设矛盾，
∴不存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形．
【知识点】菱形的判定与性质、矩形的判定、四边形综合、全等三角形的判定与性质
【解析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)根据菱形的性质得到∠B=∠D，AD=BC，AB//DC，推出△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质得到∠DFA=∠BEC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
(2)过D作DM⊥AB于M，连接GH，EF，推出四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到四边形EGFH是菱形，证得四边形DMEF是矩形，于是得到ME=DF=t列方程即可得到结论；
(3)不存在，假设存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，根据矩形的性质列方程即可得到结果．