专题14 一次函数中的动态问题训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

这是一份专题14 一次函数中的动态问题训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用），共37页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

专题14 一次函数中的动态问题训练
（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分
解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
1．如图1所示，直线l：y=k（x﹣1）（k＞0）与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于A，B两点．
（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线l的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设C为线段AB延长线上一点，作直线OC，过AB两点分别作AD⊥OC于点D．BE⊥OC于点E．若AD=，求BE的长；
（3）如图3所示，当k取不同的值时，点B在y轴负半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第三象限．第四象限内分别作等腰直角△OBG和等腰直角△ABF，连接FG交y轴于点H．
①连接AH，直接写出△ABH的面积是　　　　；
②动点F始终在一条直线上运动，则该直线的函数表达式是　　　　．


【答案】（1）点A的坐标为（1，0）；直线l的函数表达式为y=x﹣1；（2）；（3）①；②y=-x－1
【分析】
（1）分别表示出点A和点B的坐标，然后根据OA=OB即可求出k的值，从而求出结论；
（2）利用勾股定理即可求出OD，利用AAS证出△OBE≌△AOD，根据全等三角形的性质即可求出结论；
（3）①过点F作FE⊥y轴于E，利用AAS证出△OAB≌△EBF，可得BE=OA=1，EF=OB，然后利用AAS证出△FEH≌△GBH，即可求出BH，从而求出结论；
②用含k的式子表示出点F的坐标，从而得出结论．
【详解】
解：（1）当x=0时，解得y=-k；当y=0时，解得x=1
∴点B的坐标为（0，-k），点A的坐标为（1，0）
∴OA=1，OB=k
∵OA=OB
∴k=1
∴直线l的函数表达式为y=x﹣1；
（2）在Rt△OAD中，AD=，OA=1
∴OD=
∵∠OEB=∠ADO=∠AOB=90°
∴∠BOE＋∠OBE=90°，∠BOE＋∠AOD=90°
∴∠OBE=∠AOD
∵OB=OA
∴△OBE≌△AOD
∴BE=OD=；
（3）①过点F作FE⊥y轴于E，

∵△ABF和△OBG都是等腰直角三角形
∴AB=BF，OB=OG，∠ABF=∠OBG=90°，
∵∠AOB=∠BEF=90°
∴∠OAB＋∠OBA=90°，∠EBF＋∠OBA=90°
∴∠OAB=∠EBF
∴△OAB≌△EBF
∴BE=OA=1，EF=OB
∴EF=BG
∵∠FEH=∠GBH=90°，∠EHF=∠BHG
∴△FEH≌△GBH
∴BH=EH=BE=
∴△ABH的面积是BH·OA=；
②∵点B的坐标为（0，-k），点A的坐标为（1，0），OA=1，OB=k
∴EF=OB=k，OE=OB＋BE=k＋1
∴点F的坐标为（k，-k－1），令x=k，y=-k－1
则y=-x－1
∴点F始终在一条直线上运动，则该直线的函数表达式是y=-x－1．
【点睛】
此题考查的是一次函数与几何图形的综合大题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、全等三角形的判定及性质和等腰直角三角形的性质是解题关键．
2．如图1，直线y＝2x+b过点A（﹣1，﹣4）和B（m，8），它与y轴交于点G，点P是线段AB上的一个动点．
（1）求出b的值，并直接写出m＝　 　，点G的坐标为　 　；
（2）点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝﹣x﹣上，求点P的坐标；
（3）过点P作y轴的平行线PE，过点G作x轴的平行线GE，它们相交于点E．
①如图2，将△PGE沿直线PG翻折，当点E的对应点E′落在x轴上时，求点P的坐标；
②在点P从A运动到点B的过程中，点E′也随之运动，直接写出点E′的运动路径长为　 　．


【答案】（1）b=-2，m=5，G（0，-2）；（2）或；（3）①；②6．
【分析】
（1）把点A（﹣1，﹣4）代入直线y＝2x+b即可求出b=-2，再把点B（m，8）代入y=2x-2即可求出m，把x=0,代入解析式即可求出点G坐标；
（2）设点P坐标为（p，2p-2），分点P与Q关于y轴对称，点P与Q关于x轴对称两种情况分别表示出点Q坐标，代入直线入y＝﹣x﹣求出p，即可分别求出点P坐标；
（3））①设直线AB与x轴交于点M，根据对称与平行的性质证明E'M=E'G，设GE=GE'= E'M=m，
根据勾股定理构造方程，求出m，即可求出点P坐标；②根据点E的位置求出点E的运动路径为6，根据对称的性质即可确定点E′的运动路径长也为6．
【详解】
解：（1）把点A（﹣1，﹣4）代入直线y＝2x+b得
-2+b=-4，
解得 b=-2，
所以直线解析式为y=2x-2，
把点B（m，8）代入y=2x-2得
2m-2=8，
解得m=5，
令x=0，则y=-2，
∴点G坐标为（0，-2）
故答案为：b=-2，m=5，G（（0，-2））；
（2）∵点P在直线AB上，
∴设点P坐标为（p，2p-2）．
当点P与Q关于y轴对称时，则点Q坐标为（-p，2p-2），代入y＝﹣x﹣得
，
解得 ，
此时2p-2=，
∴P1坐标为，
当点P与Q关于x轴对称时，则点Q坐标为（p，-2p+2），代入y＝﹣x﹣得
，
解得 ，
则2p-2=，
∴P2坐标为，
∴点P的坐标为或；
（3）①如图2，设直线AB与x轴交于点M，
则2x-2=0，
∴x=1，
∴点M坐标为（1,0），
∵GE∥x轴，
∴∠EGM=∠E'MG，
∵△PGE沿直线PG翻折得到△△PGE'
∴∠EGM=∠E'GM，
∴∠E'MG=∠E'GM，
∴E'M=E'G，
设GE=GE'= E'M=m，
在Rt△GE'O中，，
解得 ，
∴点P横坐标为
把x=代入y=2x-2得y=3，
∴点P坐标为；


②由题意得，当点P位于点A时，点E的横坐标为-1，当点P运动点B时，点E横坐标为5，
∴P从A运动到点B的过程中,点E的运动路径长为6，
∵点E′与点E关于直线AB对称，
∴P从A运动到点B的过程中,点E′的运动路径长也为6．
故答案为为：6
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，综合性较强，理解函数图象上点的特点，轴对称的性质等腰三角形的判定，勾股定理等知识是解题关键．
3．如图，已知一次函数y=﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=x的图象相交于点C．

（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式：　 ．
【答案】（1）点C的坐标为（4，3）；（2）Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；（3）y=x﹣7．
【分析】
（1）解析式联立，解方程组即可求得C的坐标；
（2）求得A、B点的坐标，分两种情况讨论求得即可；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，通过证得△PCM≌△C′PN（AAS），求得C′（3+m，m-4），即可得出结论．
【详解】
（1）由方程组得，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（，0），B（0，8），
∵点Q在直线AB上，
∴设Q（x，），
当Q点在C的上方时，S△OCQ=S△OBC﹣S△OBQ=12，
∴×8×4﹣=12，解得，x=1，
∴此时Q的坐标为（1，）；
当Q点在线段AC上时，
S△OAC=××3=9.6<12，不存在，舍去；
当Q点在A的下方时，S△OCQ=S△OAC+S△OAQ=12，
∴××3+=12，解得，x=7，
∴此时Q的坐标为（7，﹣），
故Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，

∵C（4，3），
∴OM=4，CM=3，
∴PM=，
∵∠CPM+∠C′PN=90°=∠CPM+∠PCM，
∴∠C′PN=∠PCM，
在△PCM和△C′PN中，
，
∴△PCM≌△C′PN（AAS），
∴PN=CM=3，C′N=PM=4﹣m，
∴ON=3+m，
∴C′（3+m，m﹣4），
∴点C′始终在直线上y=x﹣7运动，
故答案为：y=x﹣7．
【点睛】
本题考查了两条直线相交问题，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键：（1）解由解析式联立构成的方程组；（2）分类讨论；（3）表示出C′的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（6，0）为坐标轴上的点，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D，点E为y轴负半轴上一点，连结CE交x轴于点F，且CF＝FE．

（1）直接写出E点的坐标；
（2）过点B作BG∥CE，交y轴于点G，交直线CD于点H，求四边形ECBG的面积；
（3）直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）E（0，﹣2）；（2）27；（3）存在，点Q的坐标为（3，15）或（3，﹣）．
【分析】
（1）证明△CDF≌△EOF（AAS），由全等三角形的性质得出CD＝OE，由中位线定理求出CD＝2，则可得出答案；
（2）过出直线CE的解析式，可求出直线BG的解析式，则求出AG＝12，由S四边形ECBG＝S△ABG﹣S△ACE可求出答案；
（3）分点Q在x轴的上方或点Q在x轴下方两种情况画出图形，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可求出答案．
【详解】
解：（1）∵CD⊥x轴，
∴∠CDF＝90°＝∠EOF，
又∵∠CFD＝∠EFO，CF＝EF，
∴△CDF≌△EOF（AAS），
∴CD＝OE，
又∵A（0，4），B（6，0），
∴OA＝4，OB＝6，
∵点C为AB的中点，CD∥y轴，
∴CDOA＝2，
∴OE＝2，
∴E（0，﹣2）；
（2）设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∵C为AB的中点，A（0，4），B（6，0），
∴C（3，2），
∴，
解得，
∴直线CE的解析式为yx﹣2，
∵BG∥CE，
∴设直线BG的解析式为yx+m，
∴6+m＝0，
∴m＝﹣8，
∴G点的坐标为（0，﹣8），
∴AG＝12，
∴S四边形ECBG＝S△ABG﹣S△ACE
AE×OD
6×3
＝27．
（3）直线CD上存在点Q使得∠ABQ＝45°，分两种情况：
如图1，当点Q在x轴的上方时，∠ABQ＝45°，

过点A作AM⊥AB，交BQ于点M，过点M作MH⊥y轴于点H，
则△ABM为等腰直角三角形，
∴AM＝AB，
∵∠HAM+∠OAB＝∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠HAM＝∠ABO，
∵∠AHM＝∠AOB＝90°，
∴△AMH≌△BAO（AAS），
∴MH＝AO＝4，AH＝BO＝6，
∴OH＝AH+OA＝6+4＝10，
∴M（4，10），
∵B（6，0），
∴直线BM的解析式为y＝﹣5x+30，
∵C（3，2），CD∥y轴，
∴C点的横坐标为3，
∴y＝﹣5×3+30＝15，
∴Q（3，15）．
如图2，当点Q在x轴下方时，∠ABQ＝45°，

过点A作AN⊥AB，交BQ于点N，过点N作NG⊥y轴于点G，
同理可得△ANG≌△BAO，
∴NG＝AO＝4，AG＝OB＝6，
∴N（﹣4，﹣2），
∴直线BN的解析式为yx，
∴Q（3，）．
综上所述，点Q的坐标为（3，15）或（3，）．
【点睛】
本题是综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式的求法，四边形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为m和n，且满足m2+n2＝2mn．
（1）判断△AOB的形状．
（2）如图②，正比例函数y＝kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝13，MN＝6，求BN的长．
（3）如图③，E为线段AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连接PD、PO．试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．

【答案】（1）△AOB是等腰直角三角形，理由見解析；（2）BN＝7；（3）PO＝PD，PO⊥PD
【分析】
（1）把m2+n2＝2mn变形后，因式分解，得到m=n即可判断；
（2）证△MAO≌△NOB，利用线段和差可求；
（3）延长DP到点C，使PC＝DP，连接CB、OD、OC，证△DOC为等腰直角三角形，根据三线合一可得结论．
【详解】
解：（1）△AOB是等腰直角三角形，
理由：
∵m2+n2＝2mn，
∴m2+n2﹣2mn＝0，
∴（m﹣n）2＝0，
∴m＝n，即OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；
（2）∵AM⊥ON，BN⊥ON，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠MOA+∠MAO＝90°，
∵∠MOA+∠NOB＝90°，
∴∠MAO＝∠NOB，
在△MAO和△NOB中，
，
∴△MAO≌△NOB（AAS），
∴OM＝BN，AM＝ON＝13，
∵MN＝ON﹣OM，MN＝6，
∴6＝13﹣OM，
∴OM＝7，
∴BN＝7；
（3）PO＝PD且PO⊥PD，
如图3，延长DP到点C，使PC＝DP，连接CB、OD、OC，

在△DEP和△CBP，
，
∴△DEP≌△CBP（SAS），
∴CB＝DE＝DA，∠DEP＝∠CBP＝135°，
则∠CBO＝∠CBP﹣∠ABO＝135°﹣45°＝90°，
又∵∠BAO＝45°，∠DAE＝45°，
∴∠DAO＝90°，
在△OAD和△OBC，
，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴OD＝OC，∠AOD＝∠COB，
∴∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∵PC＝DP，
∴PO=PD，PO⊥PD．
【点睛】
本题考查了一次函数和全等三角形的综合，解题关键是恰当的作辅助线，通过全等求线段长或线段的关系．
6．如图1，已知直线l1：y＝kx＋b与直线l2：y＝x交于点M，直线l1与坐标轴分别交于A，C两点，且点A坐标为（0，7），点C坐标为（7，0）．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）在直线l2上是否存在点D，使△ADM的面积等于△AOM面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P是线段OM上的一动点（不与端点重合），过点P作PB∥x轴交CM于点B，设点P的纵坐标为m，以点P为直角顶点作等腰直角△PBF（点F在直线PB下方），设△PBF与△MOC重叠部分的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出相应m的取值范围．

【答案】（1）y＝﹣x＋7；（2）存在，D（9，12）或（﹣3，﹣4）；（3）当0＜m＜时，；当≤m＜4时，
【分析】
（1）将点A，C坐标代入直线y＝kx＋b中，求解，即可得出结论；
（2）先求出点M的坐标，再分点D在射线OM和射线MO上，利用面积的关系求出OD，即可得出结论；
（3）先表示出PF＝PB＝7﹣m，再分两种情况，利用面积公式，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵直线l1：y＝kx＋b与坐标轴分别交于A（0，7），C（7，0），
∴，解得，
∴直线l1的函数表达式为：y＝﹣x＋7；
（2）联立方程组，解得，，
∴M（3，4），
如图1，过点M作ME⊥x轴于E，
∴OE＝3，ME＝4，根据勾股定理得，OM＝5，
设D（3n，4n），
①当点D在射线OM上时，△ADM的面积等于△AOM面积的2倍，
∴DM＝2OM＝10，
∴OD＝15，
∴（3n）2＋（4n）2＝152，
∴n＝3或n＝﹣3，
由于点D在第一象限内，
∴n＝3，
∴D（9，12）；
②当点D在射线MO上时，△ADM的面积等于△AOM面积的2倍，
∴DM＝2OM，
∴OM＝OD＝5，
∴（3n）2＋（4n）2＝52，
∴n＝1或n＝﹣1，
由于点D在第三象限内，
∴n＝﹣1，
∴D（﹣3，﹣4），
即点D（9，12）或（﹣3，﹣4）；
（3）∵点P的纵坐标为m，
∴P（m，m），
∵PB∥x轴，
∴B（7﹣m，m），
∴PB＝7﹣m﹣m＝7﹣m，
∵以点P为直角顶点作等腰直角△PBF，
∴PF＝PB＝7﹣m，
当7﹣m＝m时，m＝；
①当0＜m＜时，如图2，记PF与x轴相交于G，BF与x轴相交于H，
∴PG＝m，
FG＝PF﹣PG＝7﹣m﹣m＝7﹣m，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴∠F＝∠PBF＝45°，
∵PB∥x轴，
∴∠GHF＝45°＝∠F，
∴FG＝HG，
∴S＝S△PBF﹣S△FGH＝PB2﹣FG2
＝[（7﹣m）2﹣（7﹣m）2]
＝﹣m2＋7m；
②当≤m＜4时，如图3，
S＝S△PBF＝PB2＝（7﹣m）2＝m2﹣m＋

【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
7．如图，已知直线与轴交于A（-3，0）、与轴交于B点，
且经过（1，8），在轴上有一点C（0，3），动点D从点A以每秒1个单位的速度沿
轴向右移动，设动点D的移动时间为秒．
（1）求、的值；
（2）当为何值时△COD≌△AOB，并求此时点D的坐标；
（3）求△COD的面积S与动点D的移动时间之间的函数关系式．

【答案】（1）k=2，b=6；（2）t=9，D点坐标为（6,0）；（3）
【分析】
（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）求出B点坐标，根据OB=OD，求出t值及D点坐标；
（3）当D点在原点左侧和右侧分类讨论，根据OC=3，高为OD长，求面积即可．
【详解】
解：把代入得，
，
解得，，
（2）由（1）得，直线AB解析式为：，
当x=0时，y=6，B点坐标为（0，6），
∴OB=6，
当OD=OB=6时，△COD≌△AOB，
AD=OA+OB=9,
∴t=9，此时D点坐标为（6,0）；
（3）∵C点坐标为（0，3），
∴OC=3，
当0≤t＜3时，OA=3，AD=t ，
∴OD=3-t，
S= ，
当t≥3时，OD=t-3，
S= ，
．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合问题，包括待定系数法、全等三角形、动点函数等，解题关键是准确理解题意，熟练运用相关知识解决问题，注意：动点问题的分类讨论．
8．平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，满足，，点为轴上一动点，作直线．

（1）如图1，求点、的坐标；
（2）如图2，当时，作，垂足为，在上截取，连，，求的度数；
（3）如图3，将直线绕点逆时针旋转交轴于点，过点作交直线于点，设点，求证：在点运动的过程中，点的横坐标为定值．
【答案】（1）；（2）；（3） 证明见解析．
【分析】
（1）由，可得：可求解的值，从而可得的坐标，由，可得 解方程可得的坐标；
（2）分三种情况讨论，当时，如图，可得重合，再利用等腰直角三角形的性质可得；当＜＜， 如图，过作交于 过作轴于 连接 先证明再证明 可得 证明 再利用等腰直角三角形的性质可得；当时，则 如图，证明三点共线，再证明重合， 再利用等腰直角三角形的性质可得；
（3）如图，过作轴于 证明 可得 从而可得，再求解直线为把代入可得： 把代入可得： 可得 从而可得答案．
【详解】
解：（1） ，


且


，




（2） ，
当时，

轴，



重合，



当＜＜，如图，
如图，过作交于 过作轴于 连接














当时，则 如图，设直线为



直线为
当时，
在直线上，
此时三点重合，
由
可得

综上：当时，
（3）如图，过作轴于

由题意可得：









即，
由 设直线为


所以直线为
把代入可得：
把代入可得：



或
当 点不符合题意，舍去，


为定值．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，同底数幂的除法，因式分解的应用，角的动态定义，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．如图①，在矩形OACB中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．
（1）请直接写出点C的坐标；
（2）如图②，点F在BC上，连接AF，把ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点重合，求线段CF的长度；
（3）如图③，动点P(x，y)在第一象限，且y＝2x﹣6，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角BDP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）C(8，6)；（2）CF＝3；（3）存在，P(4，2)或(，)
【分析】
（1）由矩形的性质可得BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC∥OB，BC∥OA，即可求解；
（2）由折叠的性质的可得AC＝AC'＝6，CF＝C'F，∠C＝∠AC'F＝60°，由勾股定理可求CF的长；
（3）分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求PF＝BE，EP＝DF，即可求解．
【详解】
解：（1）∵四边形OACB是矩形，
∴BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC∥OB，BC∥OA，
∴点C的坐标（8，6）；
（2）∵BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C'重合，
∴AC＝AC'＝6，CF＝C'F，∠C＝∠AC'F＝60°，
∴BC'＝AB﹣AC'＝4，
∵BF2＝C'F2+C'B2，
∴（8﹣CF）2＝CF2+16，
∴CF＝3；
（3）设点P（a，2a﹣6），
当点P在BC下方时，如图③，过点P作EF∥BC，交y轴于E，交AC于F，

∵△BPD是等腰直角三角形，
∴BP＝PD，∠BPD＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠BEP＝∠BOA＝90°，∠PFD＝∠CAO＝90°，
∴∠BPE+∠DPF＝∠DPF+∠PDF，
∴∠BPE＝∠PDF，
∴△BPE≌△PDF（AAS），
∴PF＝BE＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a，EP＝DF，
∵EF＝EP+PF＝a+12﹣2a＝8，
∴a＝4，
∴点P（4，2）；
当点P在BC的上方时，如图④，过点P作EF∥BC，交y轴于E，交AC的延长线于F，

同理可证△BPE≌△PDF，
∴BE＝PF＝2a﹣6﹣6＝2a﹣12，
∵EF＝EP+PF＝a+2a﹣12＝8，
∴a＝，
∴点P（，），
综上所述：点P坐标为(4，2)或(，)．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
10．如图，已知在平面直角坐标系中，等腰的边在y轴的正半轴上，且，点C在第一象限，过点的直线经过点C．

（1）求点C的坐标及直线的解析式．
（2）点E为直线上的动点，若的面积等于面积的一半，求点E的坐标．
（3）点F为y轴上的动点，若，求点F的坐标．
【答案】（1），；（2）或；（3）点F坐标为，．
【分析】
（1）直接利用待定系数法求解直线的解析式，然后根据点的坐标特点求得点的坐标；
（2）设点的横坐标为，根据题意可知的面积，的面积，根据的面积等于面积的一半，即可求得的值；
（3）由已知条件可知，可以分为点F在点D下方和上方两种情况讨论，点F在点D下方时，过点A作交直线于点H，过点H作轴于点G，过点C作轴于点M，根据角度相等可证明，进而可以证明，则，，即可得到的坐标，通过待定系数法即可得到直线的解析式，即可得到F的坐标，因为轴，所以另一个点F关于对称，即可求得．
【详解】
（1）设直线：，
把代入，得，
，
∴，，
∴，
设点C的坐标为，代入，
解得，，
∴点；
（2）三角形的面积：，
设点的横坐标为，
∴三角形的面积：，
∴ ，
∴，
∴点E的横坐标为，
①当时，，
②当时，，
∴点E的坐标为或；
（3）①当点F在点D下方时，
是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
过点A作交直线于点H，
过点H作轴于点G，过点C作轴于点M，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
得：点H的坐标为，
把H，C(4,4)代入到得，

解得：
∴直线的解析式为：，
将，代入到解析式中，得，
∴点坐标为，
②当点F在点D上方时，
设点F在点D上方时，为，
∵轴，
∴此时点与①中所求的点关于对称，
∵C(4，4)，D(0，4)，，
∴点的坐标为，
∴点F坐标为，．

【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质、三角形的面积、三角形全等等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，正确找出点F，并分情况进行讨论．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，过：x轴正半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且．

（1）求出直线对应的函数表达式；
（2）点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接．判断的形状，并说明理由；
（3）若为直线上的点，为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）等腰直角三角形；见解析；（3）存在，或
【分析】
（1）先求出点OA、OB的长，在根据，求出点C、D坐标，再利用待定系数法求CD解析式即可；
（2）根据角的等量代换，可得,可证，即可得到，即可得到为等腰直角三角形；
（3）先求出点E的坐标，当点在点下方时，如详解图：连接，过点作交的延长线于点，根据一线三等角模型证，可得Q点的纵坐标，进而可求Q点坐标；当点在点上方时，如详解图：过点作轴，过点作于点，过点作交的延长线于点，根据一线三等角模型证，可得Q点的纵坐标，进而可求Q点坐标；
【详解】
（1）把代入得：

把代入得：，




设直线对应的函数表达式为：
把代入得：，
解得：
直线对应的函数表达式为：
是等腰直角三角形．理由如下：


又
即
即

在与中，



又
是等腰直角三角形
（3）直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰三角形．
在直线上，代入得：

当点在点下方时，如图一所示连接，过点作交的延长线于点


轴且点的纵坐标为
是以为直角顶点的等腰三角形

在与中，



点的纵坐标为
把代入中得：

当点在点上方时，如图二所示点作轴，过点作于点，过点作交的延长线于点．

则
点的橫坐标为，
则
是以为直角顶点的等腰三角形

在与中，


点的纵坐标为
点的纵坐标为
把代入中得：

综上所述，直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰三角形．且或．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，属于一次函数的综合题，准确作出辅助线是解题关键，