2021学年12.3 角的平分线的性质学案设计

12．3  角的平分线的性质（第1课时）

备课时间：              授课时间：                    年        班

学习目标 ：

1、知识与技能 ：会用尺规作一个已知角的平分线，知道作法的合理性；探索并证明角平分线的性质，能运用角的平分线的性质解决简单问题.

2、过程与方法：经历探索角的平分线的性质的过程，进一步发展推理证明意识和能力. 

3、情感态度与价值观：培养探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验. 

学习重点：探索并证明角的平分线的性质．

学习难点：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质.

学习过程：

一、自主学习：

1.在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？

2.如右图，AB＝AD，BC＝DC，沿着A、C画一条射线AE，AE就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗？

3.自学课本P48，思考为什么要用大于MN的长为半径画弧？

4．OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，

操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论                 

5.猜想角的平分线的性质：                                        .

二、合作探究、交流展示：

1.证明角的平分线的性质：

（1）分析命题：题设：                            .

结论：                                .

（2）结合右图，写出已知和求证；

（3）证明：

2.归纳： 证明一个几何命题的步骤有那些？

3.例题：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

三、拓展延伸：

如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论？

四、课堂检测：

1.如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD吗?为什么?

2.如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA, PD⊥OB，垂足分别为C,D.下列结论不一定成立的是（   ）

A. ∠AOP=∠BOP   B.PC=PD    C. ∠OPC=∠OPD    D.OP=PC+PD

3.如图,一目标在A区,而且A区在公路、铁路所夹角的平分线上，如果目标离公路的距离是500米.那么它离铁路的距离是          米。

4.如图，在△ABC中，∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.

五、学（教）后反思：

答案

一、自主学习：

1.略

2.解答：在△ABC和△ADC中

∵AB=AD,BC=DC,AC=AC

∴△ABC≌△ADC

∴∠BAC=∠DAC

∴AC是角平分线

3.根据两点之间线段最短，若以小于MN的长为半径画弧，则两弧不会有交点

4．结论：PD=PE； 表略

5.角平分线上的点到角的两边距离相等

二、合作探究、交流展示：

1.证明角的平分线的性质：

（1）一个点在一个叫的平分线上；这个点到这个角的两边距离相等

（2）已知：OC平分∠AOB,PE⊥OB于E,PD⊥OA于D

     求证：PD=PE

（3）证明：如图，

∵OC是∠AOB的平分线，

∴∠POD=∠POE.

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠POD=∠POE=90°.

在△POD和△POE中，

  ∴△POD≌△POE，

∴PD=PE.

2.已知，求证，证明

3.解答：证明：作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，

∵BM为的角平分线，
，，
（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）。
同理可证：。
。
即点O到三边AB、BC、CA的距离相等。

三、拓展延伸：

解答：

证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，

∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90∘，

在Rt△BED和Rt△DFC中，

{BD=CDDE=DF，

∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，

∴EB=FC.

①AE是等腰三角形的对称轴．

②AD⊥BC于D．

③BE＝CF．

④AB＝AC．

四、课堂检测：

1.解答：PE不一定等于PD

当OP⊥DE时PE=PD

原因在△OPE和△OPD中

OP=OP

∠EOP=∠OPD

∴△OPE≌△OPD

∴PE=PD

2.D

3.500

4.解答：证明：如图，过点P作PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，

∵△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于P，

∴PF=PG，PG=PH，

∴PF=PG=PH，

∴点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。