2020—2021学年浙教版七年数学下册期末复习压轴大题题型梳理卷（原卷+解析）

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2020—2021学年浙教版七年数学期末复习压轴大题题型梳理卷

【题型1 平行线的判定与性质综合】
【例1】（2020春•石泉县期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．
（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB＝36°，求∠MCD的度数；
（2）如图2，点G在CH上时，试说明2∠MCD+∠GAB＝90°．

【分析】（1）依据AG⊥AC，∠GAB＝36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；
（2）结合（1）得ACD+∠CAH＝180°，再依据角平分线的定义，即可得2∠MCD+∠GAB＝90°．
【解答】解：（1）∵AG⊥AC，∠GAB＝36°，
∴∠CAH＝90°﹣36°＝54°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAH＝180°，
∴∠ACD＝126°，
∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH＝∠DCM＝63°．
（2）∵∠ACH＝∠DCM，
∴∠ACD＝2∠MCD，
由（1）得∠ACD+∠CAH＝180°，
∵AG⊥AC，
∴∠CAG＝90°，
∴2∠MCD+90°+∠GAB＝180°，
∴2∠MCD+∠GAB＝90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．
【变式1-1】（2020春•中山市期末）如图，已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点EF，点P是射线EB上一点（与点E不重合）．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N作NH⊥FM于点H．
（1）若∠BEF＝64°，求∠FNH的度数；
（2）猜想∠BEF和∠FNH之间有怎样的数量关系，并加以证明．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠BEF+∠EFD＝180°，代入求出∠EFD的度数，根据角平分线的定义得出∠MFP=12∠EFP，∠NFP=12∠PFD，求出∠MFN=12∠EFD，根据垂直的定义得出∠NHF＝90°，根据三角形的内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠BEF+∠EFD＝180°，代入求出∠EFD的度数，根据角平分线的定义得出∠MFP=12∠EFP，∠NFP=12∠PFD，求出∠MFN=12∠EFD，根据垂直的定义得出∠NHF＝90°，根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵∠BEF＝64°，
∴∠EFD＝180°﹣64°＝116°，
∵FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，
∴∠MFP=12∠EFP，∠NFP=12∠PFD，
∴∠MFN=12（∠EFP+∠PFD）=12∠EFD=12×116°=58°，
∵NH⊥FM，
∴∠NHF＝90°，
∴∠FNH＝180°﹣∠NHF﹣∠HFN＝180°﹣90°﹣58°＝32°；

（2）∠BEF＝2∠FNH，
证明：设∠BEF＝x°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵∠BEF＝x°，
∴∠EFD＝180°﹣x°，
∵FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，
∴∠MFP=12∠EFP，∠NFP=12∠PFD，
∴∠MFN=12（∠EFP+∠PFD）=12∠EFD=12×（180°﹣x°）＝90°-12x°，
∵NH⊥FM，
∴∠NHF＝90°，
∴∠FNH＝180°﹣∠NHF﹣∠HFN＝180°﹣90°﹣（90°-12x°）=12x°，
即∠BEF＝2∠FNH．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，求解过程类似．
【变式1-2】（2020春•邳州市期末）已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC．
（2）如图2，若BD⊥BC，BD与CE交于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE，∠BAC＝∠BAD时，直接写出∠BAD的度数为　 　°．

【分析】（1）根据AC∥BD，可得∠DAE＝∠D，再根据∠C＝∠D，即可得到∠DAE＝∠C，进而判定AD∥BC；
（2）根据三角形内角和定理，即可得到∠CGB＝∠D+∠DAE，再根据△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，即可得到∠D+∠DAE+∠C＝90°，进而得出2∠C+∠DAE＝90°；
（3）设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根据DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，再根据2∠C+∠DAE＝90°，即可得到2（180°﹣8α）+α＝90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．
【解答】解：（1）如图1，

∵AC∥BD，
∴∠DAE＝∠D，
又∵∠C＝∠D，
∴∠DAE＝∠C，
∴AD∥BC；
（2）∠EAD+2∠C＝90°．
证明：如图2，设CE与BD交点为G，

因为∠D+∠DAE+∠DGA＝180°（三角形内角和为180°），∠DGA+∠AGB＝180°（邻补角性质），
所以∠AGB＝∠D+∠DAE（等量代换），
∴∠CGB＝∠D+∠DAG，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，
∴∠D+∠DAG+∠C＝90°，
又∵∠D＝∠C，
∴2∠C+∠DAE＝90°；
（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，

∵∠DFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝180°﹣8α，
∵DF∥BC，
∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，
又∵2∠C+∠DAE＝90°，
∴2（180°﹣8α）+α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，
又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠ABD=12∠CBD＝45°，
∴△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．
故答案为：99°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理的运用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
【变式1-3】（2020秋•福州期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM＝∠FME．
（1）当∠AEF＝70°时，∠FME＝　 　°；
（2）判断EM是否平分∠AEF，并说明理由；
（3）如图2，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF＝α．探究当点G在运动过程中，∠MHN﹣∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

【分析】（1）依据平行线的性质线，可得∠AEM＝∠FME，根据∠FEM＝∠FME，可得∠AEM＝∠FEM，进而得出∠FME的度数；
（2）由（1）得∠AEM＝∠FEM，根据角平分线的定义即可得出结论；
（3）依据平行线的性质可得∠BEG＝∠EGF＝α，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH=12∠AEG＝90°-12α，再根据HN⊥EM，即可得到Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH=12α，由∠BEH＝∠EHF即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEM＝∠FME，
又∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠AEF＝70°，
∴∠FME＝∠AEM=12∠AEF＝35°；
故答案为：35；
（2）由（1）得∠AEM＝∠FEM，
∴EM平分∠AEF；
（3）∠MHN﹣∠FEH=12α．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGF＝α，
∵EH平分∠FEG，
∴∠FEH＝∠HEG=12∠FEG，
∴∠FEH+α＝∠BEG+∠GEH＝∠BEH，
∵EM平分∠AEF，EH平分∠FEG，
∴∠MEH=12∠AEG=12（180°﹣α）＝90°-12，
在Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（90°-12α）=12α，
∵AB∥CD，
∴∠BEH＝∠EHF，即α+∠GEH＝∠EHN+∠NHM，
∴α+∠FEH=12α+∠NHM，
∴∠MHN﹣∠FEH=12α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
【题型2 平行线的判定与性质综合（作平行线）】
【例2】（2020秋•朝阳区期末）【感知】如图①，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．（提示：过点P作直线PQ∥AB）
【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，
（1）当点P在线段AB上运动时，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为　 　．
（2）当点P在线段A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为　 　．

【分析】过P作PQ∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）分两种情况：点P在A、M两点之间；点P在B、O两点之间；分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．
【解答】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠APQ＝180°﹣∠PAB＝50°，∠CPQ＝180°﹣∠PCD＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：

如图②，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图③，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图④，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
【变式2-1】（2020秋•内江期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．

【分析】（1）如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论；
（3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．
【解答】解：（1）成立，
理由：如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，

∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．

（2）如图2，过点E作EH∥AB，

∵AB∥CD，∠FAD＝60°，
∴∠FAD＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，
∴∠EDC=12∠ADC＝30°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABE=12∠ABC＝20°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．
（3）∠BED的度数改变．
如图3，过点E作EG∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝∠FAD＝m°，
∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC=12m°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°-12n°，∠CDE＝∠DEG=12m°，
∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°-12n°+12m°．

【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是正确的作出辅助线．
【变式2-2】（2020春•武昌区期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠AEF+∠CHF=73∠EFH．
（1）直接写出∠EFH的度数为　 　；
（2）如图2，HM平分∠CHF，交FE的延长线于点M，证明：∠FHD﹣2∠FMH＝36°；
（3）如图3，点P在FE的延长线上，点K在AB上，点N在∠PEB内，连NE，NK，NK∥FH，∠PEN＝2∠NEB，则2∠FHD﹣3∠ENK的值为　 　．

【分析】（1）证明∠DHF＝∠HFM，则∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°，而∠AEF+∠CHF=73∠EFH，即可求解；
（2）∠3＝∠EFH﹣∠F′FH＝108°﹣∠FHD，则∠M′MF＝∠3＝108°﹣∠FHD，而∠1＝∠2，则∠1=180°-∠FHD2，进而求解；
（3）证明∠1+∠2＝252°，则3α﹣∠4＝72°，即可求解．
【解答】解：（1）过点F作MN∥AB，如图1所示：

则∠BEF＝∠EFM，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠DHF＝∠HFM，
∴∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°，
∵∠AEF+∠CHF=73∠EFH，
故∠EFH＝108°，
故答案为108°；

（2）过点F作FF′∥AB，过点M作MM′∥AB．

∵AB∥CD，
∴FF′∥MM′∥AB∥CD，
∴∠F′FH＝∠FHD，
∴∠3＝∠EFH﹣∠F′FH＝108°﹣∠FHD，
∴∠M′MF＝∠3＝108°﹣∠FHD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1=180°-∠FHD2，
∵MM′∥CD，
∴∠M′MH＝∠1，
∴∠FMH+108°﹣∠FHD=180°-∠FHD2，
∴∠FHD﹣2∠FMH＝36°；

（3）延长NK交CD于点R，

∵∠AEF+∠CHF=73∠EFH，即∠1+∠2=73∠3，
而∠1+∠2+∠3＝360°，
故∠1+∠2＝252°，
设∠NEB＝α，则∠PEN＝2∠NEB＝2α，
则∠1＝∠PEB＝3α，
而∠2＝180°﹣∠4，
故3α﹣∠4＝72°，
则2∠FHD﹣3∠ENK＝2∠4﹣3（∠NKB﹣∠NEB）＝2∠4﹣3（∠4﹣α）＝3α﹣∠4＝72°，
故答案为72°．
【点睛】本题考查平行线的判定定理以及平行线的性质．注意如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行的运用．
【变式2-3】（2020秋•道里区期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM=12∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM=12∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE=12∠AFE，
即12(180°-10x)=13x，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质．
【题型3 平行线的判定与性质综合（含旋转）】
【例3】（2020秋•金川区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．
（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是　 　度．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是　 　．
（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，
①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是　 　度．
②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．

【分析】（1）根据三角板中的特殊角，以及互余的意义可求答案；
（2）利用直角的意义以及角的和差关系得出结论；
（3）①由平行线的性质，得出两直线平行，内错角相等可得答案；
②利用平行线的性质和三角板的特殊角以及角的和差关系得出答案．
【解答】解：（1）
①∵∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝50°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30；
（2）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
故答案为：∠ACB+∠DCE＝180°；
（3）①∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
故答案为：45°；
②∵BC∥DA，
∴∠A+∠ACB＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ECB＝120°﹣90°＝30°．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角板的特殊内角，掌握平行线的性质和三角板的内角度数是解决问题的关键．
【变式3-1】（2020秋•郑州期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．
如图2：当角∠CAE＝60°时，BC∥DE．
求其它所有可能符合条件的角∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数，画出对应的图形并证明．

【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【解答】解：当AC∥DE时，如图所示：

则∠CAE＝∠E＝90°；
当BC∥AD时，如图所示：

则∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
当BC∥AE时，

∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝90°+60°＝150°；
综上所述：∠CAE的度数为90°或105°或150°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质以及直角三角形的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
【变式3-2】（2020秋•苏州期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板AOB的直角顶点O放在直尺EF的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转．

（1）若三角板AOB在EF的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现∠AOE、∠BOF的大小发生了变化，但它们的和不变，即∠AOE+∠BOF＝　 　°．
（2）若OA、OB分别位于EF的上方和下方，如图2所示，则∠AOE、∠BOF之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；
（3）射线OM、ON分别是∠AOE、∠BOE的角平分线，若三角板AOB始终在EF的上方，则旋转过程中，∠MON的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由平角的性质可求解；
（2）由补角和余角的性质可求解；
（3）由角平分线的性质和平角的性质可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOE+∠AOB+∠BOF＝180°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°；
故答案为90；
（2）∠AOE﹣∠BOF＝90°，
理由如下：∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOF+∠BOF＝90°，
∴∠AOE﹣∠BOF＝90°；
（3）∠MON的度数是一个定值，
理由如下：∵射线OM、ON分别是∠AOE、∠BOE的角平分线，
∴∠EOM=12∠AOE，∠EON=12∠BOF=12（∠AOE+∠AOB）=12∠AOE+45°，
∴∠MON＝∠EON+∠EOM＝45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，余角和补角，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式3-3】（2020春•义乌市期末）如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒40°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝20°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．

【分析】（1）通过延长PG作辅助线，根据平行线的性质，得到∠PGE＝90°，再根据外角的性质可计算得到结果；
（2）①当∠MEP＝20°时，分两种情况，Ⅰ当ME在AE和EP之间，Ⅱ当ME在EP和EB之间，由∠MEP＝20°，计算出EM的运动时间t，根据运动时间可计算出∠FPN，由已知∠FPE＝120°可计算出∠EPN的度数；
②根据题意可知，当EM∥PN时，分三种情况，
Ⅰ射线PN由PF逆时针转动，EM∥PN，根据题意可知∠AEM＝15t°，∠FPN＝40t°，再平行线的性质可得∠AEM＝∠AHP，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；
Ⅱ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝15t°，ME∥PN，∠GHP＝15t°，可计算射线PN的转动度数180°+90°﹣15t°，再根据PN转动可列等量关系，即可求出答案；
Ⅲ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝15t°，∠GPN＝40（t-92）°，根据（1）中结论，∠PEG＝30°，∠PGE＝60，可计算出∠PEM与∠EPN代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论．
【解答】解：（1）延长FP与AB相交于点G，
如图1，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝∠PGE＝90°，
∵∠EPF＝∠PGE+∠AEP，
∴∠AEP＝∠EPF﹣∠PGE＝120°﹣90°＝30°；
（2）①Ⅰ如图2，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝20°，
∴∠AEM＝10°，
∴射线ME运动的时间t=1015=23（秒），
∴射线PN旋转的角度∠FPN=23×40°=80°3，
又∵∠EPF＝120°，
∴∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN＝120°-80°3=280°3；
Ⅱ如图3所示，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝20°，
∴∠AEM＝50°，
∴射线ME运动的时间t=5015=103（秒），
∴射线PN旋转的角度∠FPN=103×40°=400°3，
又∵∠EPF＝120°，
∴∠EPN＝∠FPN﹣∠EPF=400°3-120°=40°3；
∴∠EPN的度数为280°3或40°3；
②Ⅰ当PN由PF运动如图4时EM∥PN，
PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，∠FPN＝40t°，
∵EM∥PN，
∴∠AEM＝∠AHP＝15t°，
又∵∠EPN＝∠EPF﹣∠FPN，
∴40t°＝90°+15t°，
解得t=185（秒）；
Ⅱ当PN运动到PG，再由PG运动到如图5时EM∥PN，
PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，
∵EM∥PN，
∴∠GHP＝15t°，∠GPH＝90°﹣15t°，
∴PN运动的度数可得，180°+∠GPH＝40t°，
解得t=5411；
Ⅲ当PN由PG运动如图6时，EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，∠GPN＝40（t-92）°，
∵∠AEP＝30°，∠EPG＝60°，
∴∠PEM＝15t°﹣30°，∠EPN＝40（t-92）°﹣60°，
又∵EM∥PN，
∴∠PEM+∠EPN＝180°，
∴15t°﹣30°+40（t-92）°﹣60°＝180°，
解得t=9011（秒），
当t的值为185秒或5411或9011秒时，EM∥PN．






【点睛】本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键．
【题型4 完全平方公式的几何背景及应用】
【例4】（2020秋•无棣县期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于　 　．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为　 　．
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）用代数式表示阴影部分正方形的边长即可求周长；
（2）结合图2表示大正方形面积，利用等面积法可得答案；
（3）利用（2）结论，先计算（m+n）2即可得到答案；
（4）设AC＝a，BC＝b，根据已知求出ab即可得到结果．
【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长为a﹣b，故周长为4（a﹣b）＝4a﹣4b；
故答案为：4a﹣4b；
（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a﹣b）2，
大正方形边长为a+b，故面积也可表达为：（a+b）2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）由（2）知：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
∵m﹣n＝4，mn＝﹣3；
∴（m+n）2＝42+4×（﹣3）＝16﹣12＝4；
∴m+n＝2或﹣2；
（4）设AC＝a，BC＝b；
∵AB＝8，S1+S2＝26；
∴a+b＝8，a2+b2＝26；
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴64＝26+2ab，解得ab＝19，
由题意：∠ACF＝90°，
∴S阴影=12ab=192．
【点睛】本题考查完全平方公式及应用，解题的关键是用不同方法表达同一图形面积．
【变式4-1】（2020秋•梁园区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：　 　；方法2：　 　；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系　 　；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
②已知（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，求（2020﹣a）（a﹣2019）的值；

【分析】（1）方法1：图2是边长为（a+b）的正方形，利用正方形的面积公式可得出S正方形＝（a+b）2；
方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，根据正方形及长方形的面积公式可得出S正方形＝a2+2ab+b2；
（2）由图2中的图形面积不变，可得出（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）①由a+b＝5可得出（a+b）2＝25，将其与a2+b2＝13代入（a+b）2＝a2+2ab+b2中即可求出ab的值；
②设2020﹣a＝x，a﹣2019＝y，则x+y＝1，由（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5可得出x2+y2＝5，将其和（x+y）2＝1代入（x+y）2＝x2+2xy+y2中即可求出xy的值，也即（2020﹣a）（a﹣2019）的值；
【解答】解：（1）方法1：图2是边长为（a+b）的正方形，
∴S正方形＝（a+b）2；
方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，
∴S正方形＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2；a2+b2+2ab；

（2）由（1）可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2

（3）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
又∵a2+b2＝13，
∴ab＝6；
②设2020﹣a＝x，a﹣2019＝y，则x+y＝1，
∵（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy=(x+y)2-(x2+y2)2=1-52=-2，
即（2020﹣a）（a﹣2019）＝xy＝﹣2；
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，解题的关键是：
（1）利用长方形、正方形的面积公式，找出结论；
（2）由图2的面积不变，找出（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）利用（2）的公式求值．
【变式4-2】（2020秋•广水市期末）[知识生成]
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是　 　；
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1：　 　；方法2：　 　；
（3）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，xy=112，则（x﹣y）2＝　 　；
[知识迁移]
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（5）根据图③，写出一个代数恒等式：　 　；
（6）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求a3+b32的值．

【分析】（1）由拼图直接得出答案；
（2）用不同方法表示小正方形的面积；
（3）由（2）可直接得出答案；
（4）直接根据（3）的结论代入求值即可；
（5）根据体积的不同计算方法得出等式；
（6）根据（5）中的结论，直接代入计算即可．
【解答】解：（1）由拼图可得，中间小正方形的边长为a﹣b，
故答案为：a﹣b；
（2）方法1，直接根据正方形的面积公式得，（a﹣b）2，
方法2，大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
（3）故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）由（3）得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣22＝14；
故答案为：14；
（5）根据体积的不同计算方法可得；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
（6）a+b＝3，ab＝1，
∴a3+b32=(a+b)3-3ab(a+b)2=27-92=9．
【点睛】本题考查用面积法解释完全平方公式，用不同的方法表示一个图形的面积是得出恒等式的关键．
【变式4-3】（2020春•东海县期末）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．
如，可以把公式“（a+b）2＝a2+2ab+b2”变形成a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）等形式，运用于下面这个问题的解答：
问题：若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．
我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30，则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．
请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
（1）若x满足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，则（80﹣x）2+（x﹣70）2的值为　 　．
（2）若x满足（2020﹣x）2+（2017﹣x）2＝4051，则（2020﹣x）（2017﹣x）的值为　 　．
（3）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．

【分析】（1）根据题中提供方法进行计算即可；
（2）设a＝2020﹣x，b＝2017﹣x，计算出a﹣b的值，利用2ab＝a2+b2﹣（a﹣b）2，进行计算即可；
（3）由题意知，a2+b2＝400，a﹣b＝4．利用（a﹣b）2+2ab＝a2+b2计算ab的值即可；
【解答】解：（1）设a＝80﹣x，b＝x﹣70，则ab＝﹣10，a+b＝80﹣x+x﹣70＝10，
∴（80﹣x）2+（x﹣70）2的值＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100+20＝120，
故答案为：120；
（2）设a＝2020﹣x，b＝2017﹣x，则a﹣b＝2020﹣x﹣2017+x＝3，
∴（2020﹣x）（2017﹣x）＝ab=12[a2+b2﹣（a﹣b）2]=12（4051﹣9）＝2021，
故答案为：2021；
（3）设LD＝a，DK＝b，则AD＝8+a，DC＝b+12．
由题意知，8+a＝b+12，a2+b2＝400，
∴a﹣b＝4．
∴（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
∴42+2ab＝400，
所以ab＝192．
所以长方形NDMH的面积为ab＝192．
即：S矩形NDMH＝ab＝192．
【点睛】考查完全平方公式的意义和应用，理解公式的变形和结构特征是正确应用的前提．
【题型5 平方差公式的几何背景及应用】
【例5】（2020春•昌平区期末）乘法公式的探究及应用．

（1）如图1可以求出阴影部分的面积是　 　；
（2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　 　，长是　 　，面积是　 　；
（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式　 　；（用式子表达）
（4）小明展示了以下例题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1．
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（28﹣1）（28+1）（216+1）+1＝（216﹣1）（216+1）+1＝232﹣1+1＝232．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．
【分析】（1）阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，即可得出答案；
（2）根据长方形的面积＝长×宽即可得出答案；
（3）根据图1与图2面积相等，则列出等式即可得出答案；
（4）参考例题，应用平方差公式找出规律即可得出答案．
【解答】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2，
因为阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
所以阴影部分面积＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）拼成矩形的长是a+b，宽是a﹣b，面积是（a+b）（a﹣b），
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）因为图1的阴影部分与图2面积相等，
所以（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1
＝（316﹣1）（316+1）+1
＝332﹣1+1
＝332．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，把2写成3﹣1，变成平方差公式的形式是本题的关键．
【变式5-1】（2020春•肃州区期末）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　 　（写成平方差的形式）．
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是　 　，长是　 　，面积是　 　．（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式　 　．
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝　 　．
②计算：20202﹣2018×2022．
③计算：(1-122)(1-132)(1-142)⋯(1-120192)(1-120202)．

【分析】（1）由面积公式可得到答案；
（2）根据图形可知长方形的长是a+b，宽是a﹣b，由长方形面积公式可得到答案；
（3）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；
（4）①根据平方差公式，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），已知2m+n＝4代入即可求出答案；
②可先把2018×2022化为（2020﹣2）（2020+2），再利用平方差公式计算即可得出答案；
③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．
【解答】解：（1）大正方形面积＝a2，小正方形面积＝b2，
阴影部分面积＝大正方形面积﹣小正方形面积＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知，长方形的宽＝a﹣b，长方形的长＝a+b，
∴长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故答案为，a﹣b；a+b；（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2或a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）①∵4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝12，2m+n＝4，
∴2m﹣n＝3，
故答案为：3；
②

＝20202﹣（20202﹣4）
＝20202﹣20202+4
＝4；
③



．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．
【变式5-2】（2020春•河口区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　．（用含a，b的等式表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　．
（2）计算：20192﹣2020×2018．
【拓展】
计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．

【分析】【探究】将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
【应用】
（1）利用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；
（2）可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平方差公式求值；
【拓展】利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值．
【解答】解：
【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】
（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3．
（2）20192﹣2020×2018
＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1
【拓展】
1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝199+195+…+7+3
＝5050
【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式5-3】（2020春•东城区期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝　 　；

（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式　 　；
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式　 　（填写选项）．
A．xy=m2-n24 B．x+y＝m C．x2﹣y2＝mn D．x2+y2=m2+n22
【分析】（1）计算（2a+b）（a+2b）的结果，可知需要A、B、C型的纸片的张数，进而画出拼图；
（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼图，得出等式；
（3）根据m、n与x、y之间的关系，利用恒等变形，可得结论．
【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：2a2+5ab+2b2；拼图如图所示：

（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼成如图所示的图形，

因此可得等式：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b），
故答案为：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；
（3）由图③可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此有m+n＝2x，m﹣n＝2y，mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；
m2-n24=(m+n)(m-n)4=2x⋅2y4=xy；
m2+n22=(m+n)2-2mn2=4x2-2(x2-y2)2=x2+y2；
故答案为：A、B、C、D．
【点睛】考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，理解拼图原理是得出关系式的前提．
【题型6 因式分解的应用】
【例6】（2020秋•偃师市期末）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：x2+9x-10=x2+9x+(92)2-(92)2-10
=(x+92)2-1214
=(x+92+112)(x+92-112)
＝（x+10）（x﹣1）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法及平方差公式把多项式x2﹣7x+12进行分解因式；
（2）用多项式的配方法将x2+6x﹣9化成a（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
【分析】（1）根据阅读材料中的方法分解即可；
（2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可；
（3）原式配方后，利用非负数的性质验证即可．
【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝x2﹣7x+494-494+12＝（x-72）2-14=（x-72+12）（x-72-12）＝（x﹣3）（x﹣4）；
（2）x2+6x﹣9＝x2+6x+9﹣18＝（x+3）2﹣18≥﹣18，即多项式的最小值为﹣18；
（3）x2+y2﹣4x+2y+6＝（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1＞0，
则x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式6-1】（2020秋•喀什地区期末）我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），
所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．
但小白在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式．
x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42
＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．
这种在二次三项式x2+6x﹣7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．
（1）请使用小白发现的方法把x2﹣8x+7分解因式；
（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+　 　+9y2﹣　 　＝（x﹣5y）2﹣16y2
＝（x﹣5y）2﹣（　 　）2＝[（x﹣5y）+　 　][（x﹣5y）﹣　 　]
＝（x﹣y）（x﹣　 　）；
（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．
【分析】（1）根据小白发现的方法即可分解因式；
（2）结合（1）的方法即可填空；
（3）根据已知所给两种方法进行分解因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣8x+7
＝x2﹣8x+16+7﹣16
＝（x﹣4）2﹣9
＝（x﹣4）2﹣32
＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）
＝（x﹣1）（x﹣7）；
（2）x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2
＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]
＝（x﹣y）（x﹣9y）；
故答案为：25y2，25y2，4y，4y，4y，9y；
（3）方法1：原式＝x2+[13m+（﹣m）]x+13m•（﹣m）＝（x+13m）（x﹣m）；
方法二：原式＝x2+12mx+36m2﹣13m2﹣36m2
＝（x+6m）2﹣49m2
＝（x+6m+7m）（x+6m﹣7m）
＝（x+13m）（x﹣m）．
【点睛】本题考查了因式分解﹣十字相乘法、公式法，配方法，解决本题的关键是掌握因式分解法．
【变式6-2】（2020秋•夏津县期末）阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2）
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）根据分组分解法可以分解题目中的因式，本题得以解决；
（2）根据因式分解法可以分解题目中的式子，再根据三角形三边关系即可得到该三角形的形状，本题得以解决．
【解答】解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）
＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）
＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；
（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴（a+b）﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
得a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
【变式6-3】（2020春•常德期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；

根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个边长为a的正方体中挖出一个边长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）．
（1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝　 　；
（2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）
①　 　；②　 　；
思考：类比平方差公式，你能得到的等式为　 　．
（3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣125；
（4）拓展：已知a﹣2b＝6，ab＝﹣2，你能求出代数式a4b﹣8ab4的值为　 　．
【分析】（1）根据提取公因式的方法分解因式便可；
（2）根据“图1的立体图形的体积＝图3的三个立体图形的体积之和”和“图1的立体图形的体积＝图3的三个立体图形的体积之和；
（3）利用总结的公式进行因式分解便可；
（4）先提公因式，再按新公式分解因式，再用完全平方公式将原式化成已知代数式的形式，最后代值计算便可．
【解答】解：（1）a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（2）①根据题意得，图1的立体图形的体积＝边长为a的正方体的体积﹣边长为b的正方体的体积，
即a3﹣b3；
②根据题意得，图1的立体图形的体积＝图3的三个立体图形的体积之和，
即b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）．
故答案为：①a3﹣b3；②b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）；
思考：∵b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（3）x3﹣125＝x3﹣53＝（x﹣5）（x2+5x+25）；
（4）a4b﹣8ab4＝ab（a3﹣8b3）＝ab（a﹣2b）（a2+2ab+4b2）＝ab（a﹣2b）[（a﹣2b）2+6ab]，
当a﹣2b＝6，ab＝﹣2时，原式＝﹣2×6×（36﹣12）＝﹣288．
故答案为：﹣288．
【点睛】本题考查了数形结合的数学思想，利用数形结合思想建立了代数（速算、方程与不等式等）与几何图形之间的内在联系，体现了数学的魅力，是一道好题．试题立意新颖，构思巧妙，对于学生的学习大有裨益；不足之处在于题干篇幅过长，学生读题并理解题意需要花费不少的时间，影响答题的信心．
【题型7 二元一次方程与方程组的综合应用题】
【例7】（2020秋•郑州期末）2021年郑州市中招体育考试统考项目为：长跑、立定跳远、足球运球，选考项目（50米跑或1分钟跳绳）．为了备考练习，很多同学准备重新购买足球、跳绳．

（1）某校九（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根（其中a＞15），恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
（3）假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
【分析】（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组解可；
（2）由题意得80a+15b＝1800（a＞15），当全买足球时，可买足球的数量为22.5，对a、b的值进行讨论得两种方案即可；
（3）求出方案一利润和方案二利润，即可得出结论．
【解答】解：（1）设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，
由题意得：12x+10y=140010x+12y=1240，
解得：x=100y=20，
∴足球和跳绳的单价分别为100元、20元，
答：足球和跳绳的单价分别为100元、20元；
（2）由题意得：80a+15b＝1800，（a＞15），
当全买足球时，可买足球的数量为：180080=22.5，
∴15＜a＜22.5，
当a＝16时，b=1043（舍去）；
当a＝17时，b=883（舍去）；
当a＝18时，b＝24；
当a＝19时，b=563（舍去）；
当a＝20时，b=403（舍去）；
当a＝21时，b＝8；
当a＝22时，b=83（舍去）；
∴有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；
方案二，购进足球21个，跳绳8根；
答：有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根；
（3）方案一利润：（100﹣80）×18+（20﹣15）×24＝480（元），
方案二利润：（100﹣80）×21+（20﹣15）×8＝460（元），
∵480元＞460元，
∴选方案一，购进足球18个，跳绳24根．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识；理解题意，列出方程组和方程是解题的关键．
【变式7-1】（2020秋•肃州区期末）由于酒泉独特的气候资源，生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋葱产区，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，根据题意列出方程组即可；
（2）根据题意，得：3a+4b＝31，a，b均为正整数，求出a和b的正整数解即可得到租车方案；
（3）根据题意分别计算三种方案所需租金进行比较即可．
【解答】解：（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，
依题意，得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4，
答：1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨．
（2）依题意，得：3a+4b＝31，
∵a，b均为正整数，
∴a=1b=7或a=5b=4或a=9b=1．
∴一共有3种租车方案，
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租A型车5辆，B型车4辆；
方案三：租A型车9辆，B型车1辆；
（3）方案一所需租金为100×1+120×7＝940（元）；
方案二所需租金为100×5+120×4＝980（元）；
方案三所需租金为100×9+120×1＝1020（元）．
∵940＜980＜1020，
∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
【变式7-2】（2020春•诸城市期末）小李在某商场购买A，B两种商品若干次（每次A，B都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，A，B两种商品同时打折，三次购买A，B商品和费用如表所示：

购买A商品的数量
购买B商品的数量
购买总费用
第一次
6
5
980
第二次
3
7
940
第三次
9
8
912
（1）求A，B商品的标价各多少元？
（2）若小李第三次购买时，A，B商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？
（3）在（2）的条件下打折，若小李第四次购买A，B商品共花去960元，则小李购买方案可能有哪几种？
【分析】（1）设A商品的标价为x元，B商品的标价为y元，根据前两次购物的数量及总费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设商场是打m折出售这两种商品，根据现总价＝原总价×折扣率，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设可以购买A商品a件，B商品b件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设A商品的标价为x元，B商品的标价为y元，
依题意，得：6x+5y=9803x+7y=940，
解得：x=80y=100．
答：A商品的标价为80元，B商品的标价为100元．
（2）设商场是打m折出售这两种商品，
依题意，得：（80×9+100×8）×m10=912，
解得：m＝6．
答：商场是打6折出售这两种商品．
（3）设可以购买A商品a件，B商品b件，
依题意，得：（80a+100b）×0.6＝960，
∴a＝20-54b．
又∵a，b均为正整数，
∴a=15b=4，a=10b=8，a=5b=12，
∴共有3种购买方案，方案1：购买A商品15件，B商品4件；方案2：购买A商品10件，B商品8件；方案3：购买A商品5件，B商品12件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【变式7-3】（2020春•衢州期末）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．
（1）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？
（2）把长方体铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少铁盒？

【分析】（1）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片2014张、正方形铁片1176张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用（35﹣m﹣n）块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，根据裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（35﹣m﹣n）均为非负整数，即可得出各裁剪方案，再分别求出各方案所能加工成的铁盒数量，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，
依题意，得：4x+3y=2014x+2y=1176，
解得：x=100y=538．
答：可以加工竖式长方体铁容器100个，横式长方体铁容器538个．
（2）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用（35﹣m﹣n）块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，
依题意，得：3m+(35-m-n)4=4n+2(35-m-n)2，
∴n=65m﹣21．
∵m，n，（35﹣m﹣n）均为非负整数，
∴m=25n=9，m=20n=3．
当m＝25，n＝9时，3m+(35-m-n)4=3×25+(35-25-9)4=19；
当m＝20，n＝3时，3m+(35-m-n)4=3×20+(35-20-3)4=18．
∵19＞18，
∴最多可以加工成19个铁盒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【题型8 分式方程应用题】
【例8】（2020秋•章贡区期末）某中学教学楼需要在规定时间内改造完以迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如表（部分信息）：
甲：（1）施工一天，需付甲工程队2.1万元；
（2）单独完成这项工程可提前两天完成．
乙：（1）施工一天，需付乙工程队工程款1万元；
（2）单独完成这项工程会延期8天才可以完成．
学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队单独施工；②由乙工程队单独施工；
校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案：③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：（1）学校规定的期限是多少天？
（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
【分析】（1）设该工程的规定时间为x天，等量关系为：甲乙合作4天的工作总量+乙做（规定天数﹣4）天的工作量＝1，依此列出方程求解即可；
（2）根据已知算出各种方案的价钱之后，再根据题意进行选择．
【解答】解：（1）设该工程的规定时间为x天，则甲队需要（x﹣2）天完成，乙队需要（x+8）天完成，
根据题意，得：4×1x-2+x×1x+8=1，
解得：x＝12，
经检验：x＝12是原分式方程的根，
答：学校规定的期限是12天；

（2）选择方案③，
理由如下：由于不耽误工期，故方案②舍去，只能选择方案①与方案③．
方案①：由甲队单独施工，10天完成，其费用为10×2.1＝21（万元）；
方案③：由甲乙合作4天，再由乙队施工8天，其费用为4×2.1+12×1＝20.4（万元）；
所以选择方案③进行施工．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．
【变式8-1】（2020秋•綦江区期末）轻轨3号线北延伸段渝北空港广场站的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.1万元，付乙工程队工程款1.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用5天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
（1）请你求出完成这项工程的规定时间；
（2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由．
【分析】（1）设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需（x+5）天完成这项工程，根据甲工程队4天的工作量等于乙工程队5天的工作量，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）根据总费用＝每天需付费用×工作天数，分别求出方案一、三需付的工程款，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设完成这项工程的规定时间为x天，
由题意得：4(1x+1x+5)+x-4x+5=1．
解得：x＝20．
经检验x＝20是原方程的根．
答：完成这项工程的规定时间是20天．
（2）方案一：所需工程款为20×2.1＝42万元；方案二超过了规定时间；
方案三：所需工程款为4×2.1+20×1.5＝38.4万元．
故选择方案三．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据甲工程队4天的工作量等于乙工程队5天的工作量，列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系列式计算．
【变式8-2】（2020春•拱墅区期末）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元．
（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？
（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍．这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
【分析】（1）根据购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得A款T恤衫的单价和B款T恤衫的单价，然后即可计算出同时购进A数和B款T恤衫各60件的总价钱，然后和10000比较大小，即可解答本题；
（2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到a的值，然后即可计算出商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润．
【解答】解：（1）设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，
40a+60b=840045a+50b=8050，
解得，a=90b=80，
∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000，
∴商店3月份的进货金额只有10000元，不能同时购进A数和B款T恤衫各60件；
（2）由题意可得，
980090+a×1.2=1224090+a+0.5a，
解得，a＝8，
经检验，a＝8是原分式方程的解，
则4月份购进的T恤衫的数量为980090+8=100（件），5月份购进的T恤衫的数量为100×1.2＝120（件），
（100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元），
答：商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润10060元．
【点评】本题考查分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和分式方程，注意分式方程要检验．
【变式8-3】（2020秋•沙坪坝区期末）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？
（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？
【分析】（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结果；
（2）根据题意列出分式方程，求出m，进一步求出11月份、12月份购进的A商品数量，即可得出结果．
【解答】解：（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，
由题意得：40x+60y=840050x+30y=6900，
解得：x=90y=80，
答：该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；
（2）由题意可得：4900090+m×1.2=6120090+m+0.5m，
解得：m＝8，
经检验，m＝8是原分式方程的解，
故11月份购进的A商品数量为：4900090+8=500（件），
12月份购进的A商品数量为500×1.2＝600（件），
（500+600﹣50）×150+150×0.8×50＝163500（元）．
答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用等知识；解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和分式方程，注意分式方程要检验．