初中数学沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数综合与测试同步练习题

第21章达标检测卷

一、选择题(每题4分，共40分)

1．下列函数中不属于二次函数的是(　　)

A．y＝(x－1)(x＋2)  B．y＝(x＋1)2  C．y＝1－x2  D．y＝2(x＋3)2－2x2

2．为了更好地保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足表达式V＝Sh(V≠0)，则S关于h的函数图象大致是(　　)

3．若点A(a＋1，y1)，B(a－1，y2)在反比例函数y＝(k<0)的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是(　　)

A．a<－1    B．－1<a<1   C．a>1     D．a<－1或a>1

4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式为(　　)

A．y＝(x＋2)2＋2  B．y＝(x－2)2－2  C．y＝(x－2)2＋2  D．y＝(x＋2)2－2

5．已知点(3，y1)，(4，y2)，(5，y3)在函数y＝2x2＋8x＋7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)

A．y1>y2>y3    B．y2>y1>y3    C．y3>y2>y1    D．y2>y3>y1

6．若函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b和y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)

7．抛物线y＝－x2＋bx＋c上，部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：

从上表可知，下列说法中错误的是(　　)

A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2，0) 

B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)

C．抛物线的对称轴是直线x＝0 

D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的

8．在平面直角坐标系中，有M(2，1)，N(2，6)两点，过反比例函数y＝的图象上任意一点P作y轴的垂线PG，G为垂足，O为坐标原点．若反比例函数y＝的图象与线段MN相交，则△OGP的面积S的取值范围是(　　)

A.≤S≤3     B．1≤S≤6   C．2≤S≤12   D．S≤2或S≥12

9．某海滨浴场有100把遮阳伞，每把伞每天收费10元时，可全部租出；若每把伞每天收费提高2元，则减少10把伞租出；若每把伞每天收费再提高2元，则再减少10把伞租出……要使投资少而获利大，每把伞每天应提高(　　)(注：提高钱数是2元的倍数)

A．4元或6元   B．4元    C．6元    D．8元

10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是(　　)

A．－3＜P＜－1  B．－6＜P＜0  C．－3＜P＜0  D．－6＜P＜－3

二、填空题(每题5分，共20分)

11．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为40，这个三角形的面积S随x的变化而变化．则S与x之间的函数表达式为____________________．

12．如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽6 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)距离水面3 m，当水面下降1 m时，水面的宽度为________．

13．如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝的图象上，且OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为________．

14．P是抛物线y＝2(x－2)2的对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x，抛物线交于点A，B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的t的值为________．

三、解答题(15～18题，每题8分；19，20题，每题10分；21，22题，每题12分；23题14分，共90分)

15．已知二次函数的图象经过点(0，－4)，且当x＝2时，y有最大值－2.求该二次函数的表达式．

16．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝x＋b的图象交于A(1，－k＋4)，B(k－4，－1)两点．

(1)试确定这两个函数的表达式；

(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．

17．(1)在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝(x＋3)2，y＝(x－3)2的图象；

(2)比较(1)中的三个函数图象之间的位置关系，写出这三个函数图象的顶点坐标和对称轴．

18．如图，一次函数y＝x＋5的图象与反比例函数y＝(k为常数且k≠0)的图象相交于A(－1，m)，B两点．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)将一次函数y＝x＋5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求b的值．

19．已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴两个交点的坐标分别为(m，0)和(－3m，0)(m≠0)．

(1)求证：4c＝3b2；

(2)若该函数图象的对称轴为直线x＝1，试求该二次函数的最小值．

20．已知二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)，a，b是常数，且a≠0.

(1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数；

(2)若该二次函数的图象过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的两个点，求该二次函数的表达式；

(3)若a＋b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数的图象上，求证：a>0.

21．某中学为预防秋季呼吸道疾病的传播，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(mg)与时间x(min)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点右侧的部分)．根据图象所示信息，解答下列问题：

(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数表达式及自变量的取值范围；

(2)据测定，只有当空气中每立方米的含药量不低于5 mg时，且至少持续作用20 min以上对预防才有作用，请问这次消毒是否有作用？

22．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围内，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间的关系是y1＝170－2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)之间存在如图所示的函数关系．

(1)直接写出y2与x之间的函数表达式；

(2)求月产量x的范围；

(3)当月产量为多少时，这种设备的月利润最大？最大月利润是多少？

23．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4.

(1)求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数表达式；

(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，求出当|PM－AM|取最大值时点M的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值．

答案

一、1.D　2.C　3.B　4.B　5.C　6.D

7．C　8.B　9.C

10．B　【点拨】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，∴0＝a－b＋c，－3＝c，∴b＝a－3.∴P＝a＋b＋c＝a＋a－3－3＝2a－6.∵顶点在第四象限，a＞0，∴b＝a－3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴－6＜2a－6＜0，即－6＜P＜0.故选B.

二、11.S＝－x2＋20x　12.4  m

13．2　14.或1或3

三、15.解：∵当x＝2时，y有最大值－2，

∴设所求的二次函数的表达式为y＝a(x－2)2－2(a≠0)．

∵它的图象过点(0，－4)，

∴－4＝a(0－2)2－2，解得a＝－.

∴y＝－(x－2)2－2.

16．解：(1)反比例函数的表达式为y＝，一次函数的表达式为y＝x＋1.

(2)由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是x<－2或0<x<1.

17．解：(1)如图．

(2)三条抛物线的形状相同．抛物线y＝(x＋3)2是由抛物线y＝x2向左平移3个单位长度而得到的；抛物线y＝(x－3)2是由抛物线y＝x2向右平移3个单位长度而得到的．抛物线y＝x2的顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴；抛物线y＝(x＋3)2的顶点坐标为(－3，0)，对称轴是直线x＝－3；抛物线y＝(x－3)2的顶点坐标为(3，0)，对称轴是直线x＝3.

18．解：(1)∵一次函数y＝x＋5的图象与反比例函数y＝(k为常数且k≠0)的图象相交于A(－1，m)，

∴m＝4.

∴k＝－1×4＝－4.

∴反比例函数的表达式为y＝－.

(2)一次函数y＝x＋5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)得到的图象对应的函数表达式为y＝x＋5－b.

∵平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，

即x＋5－b＝－有两个相等的实数根．

即x2＋(5－b)x＋4＝0.

∴Δ＝(5－b)2－16＝0，

解得b＝9或1.

19．(1)证明：由题意知m，－3m是一元二次方程x2＋bx－c＝0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系，得

m＋(－3m)＝－b，m·(－3m)＝－c，

∴b＝2m，c＝3m2，

∴4c＝12m2，3b2＝12m2，

∴4c＝3b2.

(2)解：由题意得－＝1，

∴b＝－2.由(1)得c＝b2＝×(－2)2＝3，∴y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，

∴该二次函数的最小值为－4.

20．(1)解：∵b2＋4a(a＋b)＝b2＋4ab＋4a2＝(b＋2a)2，

∴当b＋2a＝0时，图象与x轴有一个交点；

当b＋2a≠0时，图象与x轴有两个交点．

(2)解：∵当x＝1时，y＝a＋b－(a＋b)＝0，

∴图象不可能过点C(1，1)．

∴函数的图象经过A(－1，4)，B(0，－1)两点，

可得

解得

∴该二次函数的表达式为y＝3x2－2x－1.

(3)证明：∵点P(2，m)(m>0)在该二次函数的图象上，

∴m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b>0.

又∵a＋b<0，

∴(3a＋b)－(a＋b)>0，

整理，得2a>0，

∴a>0.

21．解：(1)设反比例函数的表达式为y＝(k≠0)，将点(25，6)的坐标代入y＝(k≠0)，得k＝25×6＝150，

则反比例函数的表达式为y＝.

将y＝10代入y＝，得10＝，

解得x＝15，

故A(15，10)．

设正比例函数的表达式为y＝nx(n≠0)，

将点A(15，10)的坐标代入y＝nx(n≠0)，

得n＝＝，

则正比例函数的表达式为y＝x.

综上，可得y＝

(2)将y＝5代入y＝，得x＝30；

将y＝5代入y＝x，得x＝7.5.

∵30－7.5＝22.5(min)，22.5＞20，

∴这次消毒有作用．

22．解：(1)y2与x之间的函数表达式为y2＝500＋30x.

(2)依题意，得

解得25≤x≤40.

(3)设这种设备的月利润为w万元，则w＝xy1－y2＝x(170－2x)－(500＋30x)＝－2x2＋140x－500，

∴w＝－2(x－35)2＋1 950.

∵－2＜0，25<35<40,

∴当x＝35时，w最大＝1 950.

即当月产量为35套时，这种设备的月利润最大，最大月利润是1 950万元．

23．解：(1)设抛物线所对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，由题易知A(1，0)，B(0，3)，C(－4，0)．

∵点A，B，C在抛物线上，

∴

解得

∴经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数表达式为y＝－x2－x＋3.

(2)存在．理由：当点P在第一象限时，如图，作平行四边形ACBP.

∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，∠BOC＝90°，

∴BC＝AC＝5.

又∵四边形ACBP是平行四边形，

∴四边形ACBP为菱形．

易知此时点P的坐标为(5，3)．

当点P在第二、三象限时，以点A，B，C，P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P的坐标为(5，3)时，以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形．

(3)设直线PA对应的函数表达式为y＝kx＋m(k≠0)，

∵A(1，0)，P(5，3)，

∴解得

∴直线PA所对应的函数表达式为y＝x－.

∵当点M与点P，A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系知|PM－AM|＜PA，当点M与点P，A在同一直线上时，|PM－AM|＝PA，

∴当点M与点P，A在同一直线上时，|PM－AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点．

解方程组

得或

∴当点M的坐标为(1，0)或时，|PM－AM|的值最大，此时|PM－AM|的值为5.