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人教版2020-2021学年七年级数学下册期末复习实数知识点专练（含解析）
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这是一份人教版2020-2021学年七年级数学下册期末复习实数知识点专练（含解析），共31页。试卷主要包含了16的平方根是，若，则是，下列各数中，没有平方根的是，的平方根是 ，实数9的算术平方根是，下列式子中，正确的是，9的算术平方根等于 ，如果，则 等内容，欢迎下载使用。
专题02实数（含解析）
一．平方根（共5小题）
1．16的平方根是
A． B． C．4 D．
2．若，则是
A． B．2 C．或2 D．4
3．下列各数中，没有平方根的是
A． B． C． D．
4．已知正数的两个平方根是和，则 ．
5．的平方根是 ．
二．算术平方根（共4小题）
6．实数9的算术平方根是
A． B．81 C．3 D．
7．若方程的解分别为，，且，下列说法正确的是
A．是5的平方根 B．是5的平方根
C．是5的算术平方根 D．是5的算术平方根
8．下列式子中，正确的是
A． B． C． D．
9．9的算术平方根等于 ．
三．非负数的性质：算术平方根（共3小题）
10．如果，则 ．
11．若，则的取值范围是 ．
12．当 时，有最大值，最大值是 ．
四．立方根（共5小题）
13．下列计算正确的是
A． B． C． D．
14．给出下列4个说法：
①只有正数才有平方根；
②2是4的平方根；
③平方根等于它本身的数只有0；
④27的立方根是．其中，正确的有
A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④
15．下列式子中，正确的是
A． B． C． D．
16．的平方根是，64的立方根是，则的值为
A．3 B．7 C．3或7 D．1或7
17．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根．
五．计算器—数的开方（共5小题）
18．有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值
A． B． C． D．
19．用计算器求2012的平方根时，下列四个键中，必须按的键是
A． B． C． D．
20．用计算器计算： ．（精确到
21．（1）方程的解是 ．
（2）用计算器计算： ．（结果保留三个有效数字）
22．按要求填空：
（1）填表：
0.0004
0.04
4
400
（2）根据你发现规律填空：
已知：，则 ， ；
已知：，，则 ．
六．无理数（共4小题）
23．下列各数中，不是无理数的是
A． B．
C． D．
24．下列四个数中，无理数是
A． B．0 C．0.12 D．
25．下列各数：，0，，，，（相邻两个3之间多一个，中，无理数的个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
26．在3.14、，，，，这5个数中，无理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
七．实数（共5小题）
27．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“”．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：
①圆周率是一个有理数；
②圆周率是一个无理数；
③圆周率是一个与圆的大小有关的常数；
④圆周率是一个与圆的大小无关的常数．
其中表述正确的序号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
28．下列各数中，是有理数的是
A． B．2.2 C． D．
29．下列关于的说法，错误的是
A．是无理数 B．面积为2的正方形边长为
C．是2的算术平方根 D．的倒数是
30．下列说法正确的是
A．任何实数都有平方根 B．无限小数是无理数
C．负数没有立方根 D．的立方根是
31．在，，这三个实数中，分数是 ．
八．实数的性质（共3小题）
32．下列说法中正确的是
A．立方根是它本身的数只有1和0
B．算术平方根是它本身的数只有1和0
C．的算术平方根是4
D．绝对值是它本身的数只有1和0
33．下列各组数中互为相反数的一组是
A．2与 B．与 C．与 D．2与
34．下列说法中，不正确的是
A．的绝对值是 B．的相反数是
C．的立方根是2 D．的倒数是
九．实数与数轴（共4小题）
35．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是
A． B． C． D．
36．如图，数轴上两点、所对应的实数分别为、，则的结果可能为
A．4 B．3 C．2 D．
37．数轴上、、三点分别对应实数、、，点、关于点对称，若，，则下列各数中，与最接近的数是
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
38．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0和1，若正方形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2020所对应的点是
A．点 B．点 C．点 D．点
一十．实数大小比较（共3小题）
39．若，，表示、、三个数中的最小值，则当且，，时，的最大值为
A． B．4 C． D．
40．下列四个实数中，最小的数是
A． B． C．0 D．
41．下列四个数：，，，中，绝对值最大的数是
A． B． C． D．
一十一．估算无理数的大小（共2小题）
42．已知，介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
43．与最接近的整数是
A．1 B．2 C．3 D．4
一十二．实数的运算（共5小题）
44．实数在数轴上的位置如图所示，则化简 ．
45．已知，、互为倒数，、互为相反数，求 ．
46．计算：
（1）；
（2）．
47．对于任意实数，，定义一种新的运算公式：⊕，如6⊕．
（1）计算：⊕；
（2）已知⊕，求的值．
48．计算：
（1）；
（2）．
专题02实数（含解析）
参考答案与试题解析
一．平方根（共5小题）
1．16的平方根是
A． B． C．4 D．
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：因为，
所以16的平方根是，
故选：．
【点评】此题考查了平方根的定义，熟知一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数是解题的关键．．
2．若，则是
A． B．2 C．或2 D．4
【分析】先求出，再开平方求出的值．
【解答】解：，
，
解得：．
故选：．
【点评】本题考查了平方和平方根有关知识，注意不要漏解．
3．下列各数中，没有平方根的是
A． B． C． D．
【分析】根据平方根的性质即可进行求解．
【解答】解：、，负数没有平方根，符合题意；
、，正数有两个平方根，不符合题意；
、，正数有两个平方根，不符合题意；
、，正数有两个平方根，不符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解本题的关键．
4．已知正数的两个平方根是和，则 4 ．
【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此可得关于的一元一次方程，解一元一次方程可得的值．
【解答】解：正数的两个平方根是和，
，
解得：，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
5．的平方根是 ．
【分析】根据平方根的意义即可得出答案．
【解答】解：因为，
所以的平方根是，
故答案为：．
【点评】本题考查平方根的意义，理解平方根的意义是得出正确答案的前提．
二．算术平方根（共4小题）
6．实数9的算术平方根是
A． B．81 C．3 D．
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【解答】解：实数9的算术平方根是：3．
故选：．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
7．若方程的解分别为，，且，下列说法正确的是
A．是5的平方根 B．是5的平方根
C．是5的算术平方根 D．是5的算术平方根
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：若方程的解分别为，，且，
则是5的算术平方根．
故选：．
【点评】本题主要考查看平方根与算术平方根，熟记相关定义是解答本题的关键，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；平方根的定义：如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
8．下列式子中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根的定义逐一判断即可得．
【解答】解：．没有意义，此选项错误；
．，此选项错误；
．，此选项正确；
．，此选项错误；
故选：．
【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
9．9的算术平方根等于 3 ．
【分析】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为．
【解答】解：，
故答案为：3．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，解题时注意算术平方根与平方根的区别．
三．非负数的性质：算术平方根（共3小题）
10．如果，则 ．
【分析】根据两个非负数的和是0，即可得到这两个数都等于0，从而得到关于，的方程求得，的值，进而求得代数式的值．
【解答】解：根据题意得：，，
解得：，，
则．
故答案是：．
【点评】本题考查了非负数的性质，正确理解几个非负数的和是0，则每个数都等于0是解题的关键．
11．若，则的取值范围是 ．
【分析】根据非负数的性质列出关于的不等式，求出的值即可．
【解答】解：，
，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键．
12．当 时，有最大值，最大值是 ．
【分析】根据算术平方根非负数的性质求解即可．
【解答】解：，
时，即时，有最大值3．
故答案为：，3．
【点评】本题考查了算术平方根非负数的性质，初中阶段共有绝对值非负数，平方数非负数，算术平方根非负数三种，需熟练掌握．
四．立方根（共5小题）
13．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据立方根和算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：、没有意义，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了立方根，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义正确进行计算．
14．给出下列4个说法：
①只有正数才有平方根；
②2是4的平方根；
③平方根等于它本身的数只有0；
④27的立方根是．其中，正确的有
A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④
【分析】分别根据平方根与立方根的定义判断即可．
【解答】解：①只有正数才有平方根，错误，0的平方根是0；
②2是4的平方根，正确；
③平方根等于它本身的数只有0，正确；
④27的立方根是3，故原说法错误．
所以正确的有②③．
故选：．
【点评】本题主要考查了平方根与立方根的定义，熟记定义是解答本题的关键．
15．下列式子中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根，平方根，立方根求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了算术平方根，平方根，立方根的应用，主要考查学生的计算能力和理解能力．
16．的平方根是，64的立方根是，则的值为
A．3 B．7 C．3或7 D．1或7
【分析】分别求出、的值，再代入求出即可．
【解答】解：，
的平方根是，
即，
的立方根是，
，
当时，，
当时，．
故选：．
【点评】本题考查了平方根和立方根的应用，关键是求出的值．
17．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义求出、即可解决问题．
【解答】解：的平方根是，的立方根是3，
，，
，，
，
的平方根为．
【点评】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
五．计算器—数的开方（共5小题）
18．有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值
A． B． C． D．
【分析】因为计算器只能显示十三位（包括小数点），要想知道7后面的数字是什么，必须想办法让7后面的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让7后面的数据出现．
【解答】解：，总的位数还是13位，
所以不可能出现7后面的数字，故错误；
一共12位，
这样7后面的数字一定会出现，故正确；
，总的位数还是13位，
所以不可能出现7后面的数字，故错误；
一共13位，
这样7后面的数字不可能出现，故错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了数的规律，以及计算器的开方性质，得出让7后面的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键．
19．用计算器求2012的平方根时，下列四个键中，必须按的键是
A． B． C． D．
【分析】首先了解各个符号表示的意义，然后结合计算器不同按键功能即可解决问题．
【解答】解：由于表示加号；表示乘号；表示根号；表示除号；
根据计算器的知识可知求2012的平方根时，必须按的键是．
故选：．
【点评】此题主要考查了利用计算器求平方根，要让学生接触了解计算器，学会运用计算器进行一些复杂的计算．
20．用计算器计算： 1.57 ．（精确到
【分析】利用计算器分别求得5的3次方根，求得，再按照从左往右的顺序计算即可．
【解答】解：
．
故答案为：1.57．
【点评】考查用计算器进行估算．熟练使用计算器是解决本题的关键．
21．（1）方程的解是 4 ．
（2）用计算器计算： ．（结果保留三个有效数字）
【分析】（1）根据等式性质：两边同除以0.25即可解答；
（2）首先利用计算器求出13的算术平方根，然后即可求出结果．
【解答】解：（1），
两边同时乘以4得，
．
（2）
．
【点评】本题除了考查解方程之外，还要熟知有效数字的概念：从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位止，所有的数字叫做这个数的有效数字．
22．按要求填空：
（1）填表：
0.0004
0.04
4
400
（2）根据你发现规律填空：
已知：，则 26.38 ， ；
已知：，，则 ．
【分析】（1）分别用计算器将0.0004、0.04、4、400开方即可得出答案．
（2）将720化为，将0.00072化为，继而可得出答案；再根据61.64化为可得出第二空的答案．
【解答】解：（1），，，；
（2），
；
，，
．
故答案为：0.02、0.2、2、20；26.38、0.02638；3800．
【点评】此题考查了计算器数的开方，属于基础题，解答本题的关键是熟练计算机的运用，难度一般．
六．无理数（共4小题）
23．下列各数中，不是无理数的是
A． B．
C． D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：、是无理数，故本选项不合题意；
、是分数，属于有理数，故本选项符合题意；
、是无理数，故本选项不合题意；
、是无理数，故本选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
24．下列四个数中，无理数是
A． B．0 C．0.12 D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
、0.12是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
、是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
25．下列各数：，0，，，，（相邻两个3之间多一个，中，无理数的个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：，
故无理数有，（相邻两个3之间多一个，，共3个．
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
26．在3.14、，，，，这5个数中，无理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：，
故在3.14、，，，，这5个数中，无理数有，，共2个．
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
七．实数（共5小题）
27．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“”．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：
①圆周率是一个有理数；
②圆周率是一个无理数；
③圆周率是一个与圆的大小有关的常数；
④圆周率是一个与圆的大小无关的常数．
其中表述正确的序号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案．
【解答】解：因为圆周率是一个无限不循环的小数，
所以圆周率是无理数；
因为圆周率是圆的周长与其直径的比，
所以圆周率与圆的大小无关，
所以②④表述正确．
故选：．
【点评】此题考查了实数的意义，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．
28．下列各数中，是有理数的是
A． B．2.2 C． D．
【分析】根据有理数和无理数的定义即可判断．
【解答】解：、是无理数，不合题意；
、2.2是有理数，符合题意；
、是无理数，不合题意；
、是无理数，不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
29．下列关于的说法，错误的是
A．是无理数 B．面积为2的正方形边长为
C．是2的算术平方根 D．的倒数是
【分析】根据无理数的定义，倒数的定义，算术平方根定义，平方根的定义逐个判断即可．
【解答】解：、是无理数是正确的，不符合题意；
、面积为2的正方形边长为是正确的，不符合题意；
、是2的算术平方根是正确的，不符合题意；
、的倒数是，原来的说法是错误的，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了无理数的定义，倒数的定义，算术平方根定义，平方根的定义的应用，能理解知识点的意义是解此题的关键，难度不大．
30．下列说法正确的是
A．任何实数都有平方根 B．无限小数是无理数
C．负数没有立方根 D．的立方根是
【分析】根据平方根、立方根、无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：、只有正数和0有平方根，原说法错误，故本选项不符合题意；
、无限不循环小数才是无理数，原说法错误，故本选项不符合题意；
、任何实数都有立方根，原说法错误，故本选项不符合题意；
、的立方根是，原说法正确，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了平方根、立方根、无理数的定义，能熟记平方根、立方根、无理数的定义的内容是解此题的关键．
31．在，，这三个实数中，分数是 ．
【分析】根据分数的定义求解可得．
【解答】解：在，，这三个实数中，分数是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查实数，解题的关键熟练掌握分数的定义．
八．实数的性质（共3小题）
32．下列说法中正确的是
A．立方根是它本身的数只有1和0
B．算术平方根是它本身的数只有1和0
C．的算术平方根是4
D．绝对值是它本身的数只有1和0
【分析】直接利用立方根以及绝对值、算术平方根的定义分别分析得出答案．
【解答】解：、立方根是它本身的数只有1和0、，故此选项错误；
、算术平方根是它本身的数只有1和0，故此选项正确；
、的算术平方根是2，故此选项错误；
、绝对值是它本身的数是非负数，故此选项错误．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
33．下列各组数中互为相反数的一组是
A．2与 B．与 C．与 D．2与
【分析】直接利用互为相反数的定义，分别分析得出答案．
【解答】解：、2与不是互为相反数，不合题意；
、与，两数相等，不是互为相反数，不合题意；
、与是互为相反数，符合题意；
、2与两数相等，不是互为相反数，不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
34．下列说法中，不正确的是
A．的绝对值是 B．的相反数是
C．的立方根是2 D．的倒数是
【分析】根据绝对值的意义，相反数，倒数和立方根的定义进行判定．
【解答】解：、的绝对值是，不正确；
、的相反数是，正确；
、，所以的立方根是2，正确；
、的倒数是，正确．
故选：．
【点评】本题考查了绝对值的意义，算术平方根和立方根的定义，相反数和倒数，熟练掌握这些定义是关键．
九．实数与数轴（共4小题）
35．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据、在数轴上的位置和它们与原点的距离可得答案．
【解答】解：由数轴可得，，
故选：．
【点评】本题考查实数与数轴，掌握实数的大小比较方法是解题关键．
36．如图，数轴上两点、所对应的实数分别为、，则的结果可能为
A．4 B．3 C．2 D．
【分析】根据为正数，所以就等于，即点，之间的距离，根据数轴可知，距离大于3，所以只有选项符合题意．
【解答】解：，，
，
，
由数轴可知，点与点之间的距离大于3，
的结果只可能为4．
故选：．
【点评】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是牢记数轴上两点之间的距离公式．
37．数轴上、、三点分别对应实数、、，点、关于点对称，若，，则下列各数中，与最接近的数是
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【分析】先求得的长度，根据点、关于点对称，即可得出的长，再用的长度加上4可得出点所对应的实数．
【解答】解：、两点对应的实数是和4，
，
点与点关于点对称，
，
点所对应的实数是．
故选：．
【点评】本题考查了实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．
38．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0和1，若正方形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2020所对应的点是
A．点 B．点 C．点 D．点
【分析】由题意可知转一周后，、、、分别对应的点为1、2、3、4，可知其四次一循环，由次可确定出2019所对应的点．
【解答】解：当正方形在转动第一周的过程中，1所对应的点是，2所对应的点是，3所对应的点是，4所对应的点是，
四次一循环，
，
所对应的点是．
故选：．
【点评】本题主要考查实数与数轴以及正方形的性质，确定出点的变化规律是解题的关键．
一十．实数大小比较（共3小题）
39．若，，表示、、三个数中的最小值，则当且，，时，的最大值为
A． B．4 C． D．
【分析】用特殊值法得出答案．
【解答】解：时，，2，．
当时，，3，．
当时，，6，．
当时，，11，．
当时，，6，．
当时，，4.5，．
的最大值是．
故选：．
【点评】本题考查用新定义解决数学问题，理解新定义是求解本题的关键．
40．下列四个实数中，最小的数是
A． B． C．0 D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：，
所给的四个实数中，最小的数是．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
41．下列四个数：，，，中，绝对值最大的数是
A． B． C． D．
【分析】根据实数的大小比较解答即可．
【解答】解：四个数：，，，中，，
故绝对值最大的数是．
故选：．
【点评】此题考查实数的大小比较，关键是根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小解答．
一十一．估算无理数的大小（共2小题）
42．已知，介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【分析】先估算出的范围，即可求得答案．
【解答】解：，
，
在2和3之间，即．
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解题关键．
43．与最接近的整数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用算术平方根的性质估算确定出所求即可．
【解答】解：，
，
则与最接近的整数是3．
故选：．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键．
一十二．实数的运算（共5小题）
44．实数在数轴上的位置如图所示，则化简 ．
【分析】直接利用数轴得出各式符号，进而化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：，，
则原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
45．已知，、互为倒数，、互为相反数，求 0 ．
【分析】根据、互为倒数，、互为相反数求出，，然后代入求值即可．
【解答】解：、互为倒数，
，
、互为相反数，
，
．
故答案为0．
【点评】本题考查了实数的运算，熟悉倒数、相反数的定义是解题的关键．
46．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
47．对于任意实数，，定义一种新的运算公式：⊕，如6⊕．
（1）计算：⊕；
（2）已知⊕，求的值．
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；
（2）根据新定义得出，再去括号、整理即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）由题意知，，
，
则．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是根据新定义列出相关算式．
48．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
3．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
4．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
5．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
6．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
7．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
8．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
9．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
10．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
11．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
12．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
13．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
14．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
15．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
16．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
专题02实数（含解析）
一．平方根（共5小题）
1．16的平方根是
A． B． C．4 D．
2．若，则是
A． B．2 C．或2 D．4
3．下列各数中，没有平方根的是
A． B． C． D．
4．已知正数的两个平方根是和，则 ．
5．的平方根是 ．
二．算术平方根（共4小题）
6．实数9的算术平方根是
A． B．81 C．3 D．
7．若方程的解分别为，，且，下列说法正确的是
A．是5的平方根 B．是5的平方根
C．是5的算术平方根 D．是5的算术平方根
8．下列式子中，正确的是
A． B． C． D．
9．9的算术平方根等于 ．
三．非负数的性质：算术平方根（共3小题）
10．如果，则 ．
11．若，则的取值范围是 ．
12．当 时，有最大值，最大值是 ．
四．立方根（共5小题）
13．下列计算正确的是
A． B． C． D．
14．给出下列4个说法：
①只有正数才有平方根；
②2是4的平方根；
③平方根等于它本身的数只有0；
④27的立方根是．其中，正确的有
A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④
15．下列式子中，正确的是
A． B． C． D．
16．的平方根是，64的立方根是，则的值为
A．3 B．7 C．3或7 D．1或7
17．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根．
五．计算器—数的开方（共5小题）
18．有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值
A． B． C． D．
19．用计算器求2012的平方根时，下列四个键中，必须按的键是
A． B． C． D．
20．用计算器计算： ．（精确到
21．（1）方程的解是 ．
（2）用计算器计算： ．（结果保留三个有效数字）
22．按要求填空：
（1）填表：
0.0004
0.04
4
400
（2）根据你发现规律填空：
已知：，则 ， ；
已知：，，则 ．
六．无理数（共4小题）
23．下列各数中，不是无理数的是
A． B．
C． D．
24．下列四个数中，无理数是
A． B．0 C．0.12 D．
25．下列各数：，0，，，，（相邻两个3之间多一个，中，无理数的个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
26．在3.14、，，，，这5个数中，无理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
七．实数（共5小题）
27．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“”．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：
①圆周率是一个有理数；
②圆周率是一个无理数；
③圆周率是一个与圆的大小有关的常数；
④圆周率是一个与圆的大小无关的常数．
其中表述正确的序号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
28．下列各数中，是有理数的是
A． B．2.2 C． D．
29．下列关于的说法，错误的是
A．是无理数 B．面积为2的正方形边长为
C．是2的算术平方根 D．的倒数是
30．下列说法正确的是
A．任何实数都有平方根 B．无限小数是无理数
C．负数没有立方根 D．的立方根是
31．在，，这三个实数中，分数是 ．
八．实数的性质（共3小题）
32．下列说法中正确的是
A．立方根是它本身的数只有1和0
B．算术平方根是它本身的数只有1和0
C．的算术平方根是4
D．绝对值是它本身的数只有1和0
33．下列各组数中互为相反数的一组是
A．2与 B．与 C．与 D．2与
34．下列说法中，不正确的是
A．的绝对值是 B．的相反数是
C．的立方根是2 D．的倒数是
九．实数与数轴（共4小题）
35．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是
A． B． C． D．
36．如图，数轴上两点、所对应的实数分别为、，则的结果可能为
A．4 B．3 C．2 D．
37．数轴上、、三点分别对应实数、、，点、关于点对称，若，，则下列各数中，与最接近的数是
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
38．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0和1，若正方形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2020所对应的点是
A．点 B．点 C．点 D．点
一十．实数大小比较（共3小题）
39．若，，表示、、三个数中的最小值，则当且，，时，的最大值为
A． B．4 C． D．
40．下列四个实数中，最小的数是
A． B． C．0 D．
41．下列四个数：，，，中，绝对值最大的数是
A． B． C． D．
一十一．估算无理数的大小（共2小题）
42．已知，介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
43．与最接近的整数是
A．1 B．2 C．3 D．4
一十二．实数的运算（共5小题）
44．实数在数轴上的位置如图所示，则化简 ．
45．已知，、互为倒数，、互为相反数，求 ．
46．计算：
（1）；
（2）．
47．对于任意实数，，定义一种新的运算公式：⊕，如6⊕．
（1）计算：⊕；
（2）已知⊕，求的值．
48．计算：
（1）；
（2）．
专题02实数（含解析）
参考答案与试题解析
一．平方根（共5小题）
1．16的平方根是
A． B． C．4 D．
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：因为，
所以16的平方根是，
故选：．
【点评】此题考查了平方根的定义，熟知一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数是解题的关键．．
2．若，则是
A． B．2 C．或2 D．4
【分析】先求出，再开平方求出的值．
【解答】解：，
，
解得：．
故选：．
【点评】本题考查了平方和平方根有关知识，注意不要漏解．
3．下列各数中，没有平方根的是
A． B． C． D．
【分析】根据平方根的性质即可进行求解．
【解答】解：、，负数没有平方根，符合题意；
、，正数有两个平方根，不符合题意；
、，正数有两个平方根，不符合题意；
、，正数有两个平方根，不符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解本题的关键．
4．已知正数的两个平方根是和，则 4 ．
【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此可得关于的一元一次方程，解一元一次方程可得的值．
【解答】解：正数的两个平方根是和，
，
解得：，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
5．的平方根是 ．
【分析】根据平方根的意义即可得出答案．
【解答】解：因为，
所以的平方根是，
故答案为：．
【点评】本题考查平方根的意义，理解平方根的意义是得出正确答案的前提．
二．算术平方根（共4小题）
6．实数9的算术平方根是
A． B．81 C．3 D．
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【解答】解：实数9的算术平方根是：3．
故选：．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
7．若方程的解分别为，，且，下列说法正确的是
A．是5的平方根 B．是5的平方根
C．是5的算术平方根 D．是5的算术平方根
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：若方程的解分别为，，且，
则是5的算术平方根．
故选：．
【点评】本题主要考查看平方根与算术平方根，熟记相关定义是解答本题的关键，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；平方根的定义：如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
8．下列式子中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根的定义逐一判断即可得．
【解答】解：．没有意义，此选项错误；
．，此选项错误；
．，此选项正确；
．，此选项错误；
故选：．
【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
9．9的算术平方根等于 3 ．
【分析】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为．
【解答】解：，
故答案为：3．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，解题时注意算术平方根与平方根的区别．
三．非负数的性质：算术平方根（共3小题）
10．如果，则 ．
【分析】根据两个非负数的和是0，即可得到这两个数都等于0，从而得到关于，的方程求得，的值，进而求得代数式的值．
【解答】解：根据题意得：，，
解得：，，
则．
故答案是：．
【点评】本题考查了非负数的性质，正确理解几个非负数的和是0，则每个数都等于0是解题的关键．
11．若，则的取值范围是 ．
【分析】根据非负数的性质列出关于的不等式，求出的值即可．
【解答】解：，
，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键．
12．当 时，有最大值，最大值是 ．
【分析】根据算术平方根非负数的性质求解即可．
【解答】解：，
时，即时，有最大值3．
故答案为：，3．
【点评】本题考查了算术平方根非负数的性质，初中阶段共有绝对值非负数，平方数非负数，算术平方根非负数三种，需熟练掌握．
四．立方根（共5小题）
13．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据立方根和算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：、没有意义，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了立方根，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义正确进行计算．
14．给出下列4个说法：
①只有正数才有平方根；
②2是4的平方根；
③平方根等于它本身的数只有0；
④27的立方根是．其中，正确的有
A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④
【分析】分别根据平方根与立方根的定义判断即可．
【解答】解：①只有正数才有平方根，错误，0的平方根是0；
②2是4的平方根，正确；
③平方根等于它本身的数只有0，正确；
④27的立方根是3，故原说法错误．
所以正确的有②③．
故选：．
【点评】本题主要考查了平方根与立方根的定义，熟记定义是解答本题的关键．
15．下列式子中，正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根，平方根，立方根求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了算术平方根，平方根，立方根的应用，主要考查学生的计算能力和理解能力．
16．的平方根是，64的立方根是，则的值为
A．3 B．7 C．3或7 D．1或7
【分析】分别求出、的值，再代入求出即可．
【解答】解：，
的平方根是，
即，
的立方根是，
，
当时，，
当时，．
故选：．
【点评】本题考查了平方根和立方根的应用，关键是求出的值．
17．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义求出、即可解决问题．
【解答】解：的平方根是，的立方根是3，
，，
，，
，
的平方根为．
【点评】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
五．计算器—数的开方（共5小题）
18．有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值
A． B． C． D．
【分析】因为计算器只能显示十三位（包括小数点），要想知道7后面的数字是什么，必须想办法让7后面的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让7后面的数据出现．
【解答】解：，总的位数还是13位，
所以不可能出现7后面的数字，故错误；
一共12位，
这样7后面的数字一定会出现，故正确；
，总的位数还是13位，
所以不可能出现7后面的数字，故错误；
一共13位，
这样7后面的数字不可能出现，故错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了数的规律，以及计算器的开方性质，得出让7后面的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键．
19．用计算器求2012的平方根时，下列四个键中，必须按的键是
A． B． C． D．
【分析】首先了解各个符号表示的意义，然后结合计算器不同按键功能即可解决问题．
【解答】解：由于表示加号；表示乘号；表示根号；表示除号；
根据计算器的知识可知求2012的平方根时，必须按的键是．
故选：．
【点评】此题主要考查了利用计算器求平方根，要让学生接触了解计算器，学会运用计算器进行一些复杂的计算．
20．用计算器计算： 1.57 ．（精确到
【分析】利用计算器分别求得5的3次方根，求得，再按照从左往右的顺序计算即可．
【解答】解：
．
故答案为：1.57．
【点评】考查用计算器进行估算．熟练使用计算器是解决本题的关键．
21．（1）方程的解是 4 ．
（2）用计算器计算： ．（结果保留三个有效数字）
【分析】（1）根据等式性质：两边同除以0.25即可解答；
（2）首先利用计算器求出13的算术平方根，然后即可求出结果．
【解答】解：（1），
两边同时乘以4得，
．
（2）
．
【点评】本题除了考查解方程之外，还要熟知有效数字的概念：从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位止，所有的数字叫做这个数的有效数字．
22．按要求填空：
（1）填表：
0.0004
0.04
4
400
（2）根据你发现规律填空：
已知：，则 26.38 ， ；
已知：，，则 ．
【分析】（1）分别用计算器将0.0004、0.04、4、400开方即可得出答案．
（2）将720化为，将0.00072化为，继而可得出答案；再根据61.64化为可得出第二空的答案．
【解答】解：（1），，，；
（2），
；
，，
．
故答案为：0.02、0.2、2、20；26.38、0.02638；3800．
【点评】此题考查了计算器数的开方，属于基础题，解答本题的关键是熟练计算机的运用，难度一般．
六．无理数（共4小题）
23．下列各数中，不是无理数的是
A． B．
C． D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：、是无理数，故本选项不合题意；
、是分数，属于有理数，故本选项符合题意；
、是无理数，故本选项不合题意；
、是无理数，故本选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
24．下列四个数中，无理数是
A． B．0 C．0.12 D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
、0.12是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
、是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
25．下列各数：，0，，，，（相邻两个3之间多一个，中，无理数的个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：，
故无理数有，（相邻两个3之间多一个，，共3个．
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
26．在3.14、，，，，这5个数中，无理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：，
故在3.14、，，，，这5个数中，无理数有，，共2个．
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
七．实数（共5小题）
27．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“”．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：
①圆周率是一个有理数；
②圆周率是一个无理数；
③圆周率是一个与圆的大小有关的常数；
④圆周率是一个与圆的大小无关的常数．
其中表述正确的序号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案．
【解答】解：因为圆周率是一个无限不循环的小数，
所以圆周率是无理数；
因为圆周率是圆的周长与其直径的比，
所以圆周率与圆的大小无关，
所以②④表述正确．
故选：．
【点评】此题考查了实数的意义，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．
28．下列各数中，是有理数的是
A． B．2.2 C． D．
【分析】根据有理数和无理数的定义即可判断．
【解答】解：、是无理数，不合题意；
、2.2是有理数，符合题意；
、是无理数，不合题意；
、是无理数，不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
29．下列关于的说法，错误的是
A．是无理数 B．面积为2的正方形边长为
C．是2的算术平方根 D．的倒数是
【分析】根据无理数的定义，倒数的定义，算术平方根定义，平方根的定义逐个判断即可．
【解答】解：、是无理数是正确的，不符合题意；
、面积为2的正方形边长为是正确的，不符合题意；
、是2的算术平方根是正确的，不符合题意；
、的倒数是，原来的说法是错误的，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了无理数的定义，倒数的定义，算术平方根定义，平方根的定义的应用，能理解知识点的意义是解此题的关键，难度不大．
30．下列说法正确的是
A．任何实数都有平方根 B．无限小数是无理数
C．负数没有立方根 D．的立方根是
【分析】根据平方根、立方根、无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：、只有正数和0有平方根，原说法错误，故本选项不符合题意；
、无限不循环小数才是无理数，原说法错误，故本选项不符合题意；
、任何实数都有立方根，原说法错误，故本选项不符合题意；
、的立方根是，原说法正确，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了平方根、立方根、无理数的定义，能熟记平方根、立方根、无理数的定义的内容是解此题的关键．
31．在，，这三个实数中，分数是 ．
【分析】根据分数的定义求解可得．
【解答】解：在，，这三个实数中，分数是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查实数，解题的关键熟练掌握分数的定义．
八．实数的性质（共3小题）
32．下列说法中正确的是
A．立方根是它本身的数只有1和0
B．算术平方根是它本身的数只有1和0
C．的算术平方根是4
D．绝对值是它本身的数只有1和0
【分析】直接利用立方根以及绝对值、算术平方根的定义分别分析得出答案．
【解答】解：、立方根是它本身的数只有1和0、，故此选项错误；
、算术平方根是它本身的数只有1和0，故此选项正确；
、的算术平方根是2，故此选项错误；
、绝对值是它本身的数是非负数，故此选项错误．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
33．下列各组数中互为相反数的一组是
A．2与 B．与 C．与 D．2与
【分析】直接利用互为相反数的定义，分别分析得出答案．
【解答】解：、2与不是互为相反数，不合题意；
、与，两数相等，不是互为相反数，不合题意；
、与是互为相反数，符合题意；
、2与两数相等，不是互为相反数，不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
34．下列说法中，不正确的是
A．的绝对值是 B．的相反数是
C．的立方根是2 D．的倒数是
【分析】根据绝对值的意义，相反数，倒数和立方根的定义进行判定．
【解答】解：、的绝对值是，不正确；
、的相反数是，正确；
、，所以的立方根是2，正确；
、的倒数是，正确．
故选：．
【点评】本题考查了绝对值的意义，算术平方根和立方根的定义，相反数和倒数，熟练掌握这些定义是关键．
九．实数与数轴（共4小题）
35．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据、在数轴上的位置和它们与原点的距离可得答案．
【解答】解：由数轴可得，，
故选：．
【点评】本题考查实数与数轴，掌握实数的大小比较方法是解题关键．
36．如图，数轴上两点、所对应的实数分别为、，则的结果可能为
A．4 B．3 C．2 D．
【分析】根据为正数，所以就等于，即点，之间的距离，根据数轴可知，距离大于3，所以只有选项符合题意．
【解答】解：，，
，
，
由数轴可知，点与点之间的距离大于3，
的结果只可能为4．
故选：．
【点评】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是牢记数轴上两点之间的距离公式．
37．数轴上、、三点分别对应实数、、，点、关于点对称，若，，则下列各数中，与最接近的数是
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【分析】先求得的长度，根据点、关于点对称，即可得出的长，再用的长度加上4可得出点所对应的实数．
【解答】解：、两点对应的实数是和4，
，
点与点关于点对称，
，
点所对应的实数是．
故选：．
【点评】本题考查了实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．
38．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为0和1，若正方形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2020所对应的点是
A．点 B．点 C．点 D．点
【分析】由题意可知转一周后，、、、分别对应的点为1、2、3、4，可知其四次一循环，由次可确定出2019所对应的点．
【解答】解：当正方形在转动第一周的过程中，1所对应的点是，2所对应的点是，3所对应的点是，4所对应的点是，
四次一循环，
，
所对应的点是．
故选：．
【点评】本题主要考查实数与数轴以及正方形的性质，确定出点的变化规律是解题的关键．
一十．实数大小比较（共3小题）
39．若，，表示、、三个数中的最小值，则当且，，时，的最大值为
A． B．4 C． D．
【分析】用特殊值法得出答案．
【解答】解：时，，2，．
当时，，3，．
当时，，6，．
当时，，11，．
当时，，6，．
当时，，4.5，．
的最大值是．
故选：．
【点评】本题考查用新定义解决数学问题，理解新定义是求解本题的关键．
40．下列四个实数中，最小的数是
A． B． C．0 D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：，
所给的四个实数中，最小的数是．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
41．下列四个数：，，，中，绝对值最大的数是
A． B． C． D．
【分析】根据实数的大小比较解答即可．
【解答】解：四个数：，，，中，，
故绝对值最大的数是．
故选：．
【点评】此题考查实数的大小比较，关键是根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小解答．
一十一．估算无理数的大小（共2小题）
42．已知，介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【分析】先估算出的范围，即可求得答案．
【解答】解：，
，
在2和3之间，即．
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解题关键．
43．与最接近的整数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用算术平方根的性质估算确定出所求即可．
【解答】解：，
，
则与最接近的整数是3．
故选：．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键．
一十二．实数的运算（共5小题）
44．实数在数轴上的位置如图所示，则化简 ．
【分析】直接利用数轴得出各式符号，进而化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：，，
则原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
45．已知，、互为倒数，、互为相反数，求 0 ．
【分析】根据、互为倒数，、互为相反数求出，，然后代入求值即可．
【解答】解：、互为倒数，
，
、互为相反数，
，
．
故答案为0．
【点评】本题考查了实数的运算，熟悉倒数、相反数的定义是解题的关键．
46．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
47．对于任意实数，，定义一种新的运算公式：⊕，如6⊕．
（1）计算：⊕；
（2）已知⊕，求的值．
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；
（2）根据新定义得出，再去括号、整理即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）由题意知，，
，
则．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是根据新定义列出相关算式．
48．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
3．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
4．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
5．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
6．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
7．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
8．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
9．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
10．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
11．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
12．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
13．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
14．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
15．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
16．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
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