2020年山东省潍坊市中考数学试卷

这是一份2020年山东省潍坊市中考数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）（2020•潍坊）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）（2020•潍坊）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．a3•a2＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2D．（a2b）3＝a6b
3．（3分）（2020•潍坊）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ）
A．1.109×107B．1.109×106C．0.1109×108D．11.09×106
4．（3分）（2020•潍坊）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）（2020•潍坊）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．平均数是144B．众数是141
C．中位数是144.5D．方差是5.4
6．（3分）（2020•潍坊）若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．（3分）（2020•潍坊）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DEAE=12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．21B．28C．34D．42
8．（3分）（2020•潍坊）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
9．（3分）（2020•潍坊）如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y=mx（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞mx的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1
10．（3分）（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（ ）
A．12B．34C．1D．32
11．（3分）（2020•潍坊）若关于x的不等式组3x-5≥12x-a＜8有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤2B．0≤a＜2C．0＜a≤2D．0＜a＜2
12．（3分）（2020•潍坊）若定义一种新运算：a⊗b=a-b(a≥2b)a+b-6(a＜2b)，例如：3⊗1＝3﹣1＝2；5⊗4＝5+4﹣6＝3．则函数y＝（x+2）⊗（x﹣1）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）
13．（3分）（2020•潍坊）因式分解：x2y﹣9y＝ ．
14．（3分）（2020•潍坊）若|a﹣2|+b-3=0，则a+b＝ ．
15．（3分）（2020•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝ °．
16．（3分）（2020•潍坊）若关于x的分式方程3xx-2=m+3x-2+1有增根，则m＝ ．
17．（3分）（2020•潍坊）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AC，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则sin∠DAE＝ ．
18．（3分）（2020•潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：DA1的圆心为点A，半径为AD；A1B1的圆心为点B，半径为BA1；B1C1的圆心为点C，半径为CB1；C1D1的圆心为点D，半径为DC1；⋯DA1，A1B1，B1C1，C1D1，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则A2020B2020的长是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应与出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（2020•潍坊）先化简，再求值：（1-x+1x2-2x+1）÷x-3x-1，其中x是16的算术平方根．
20．（2020•潍坊）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度．
21．（2020•潍坊）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
22．（2020•潍坊）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
23．（2020•潍坊）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
24．（2020•潍坊）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC=2+1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．
（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；
（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；
（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．
25．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC=35S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年山东省潍坊市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分．）
1．（3分）（2020•潍坊）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）（2020•潍坊）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．a3•a2＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2D．（a2b）3＝a6b
【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故选项A计算错误；
B、a3•a2＝a5，故选项B计算正确；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项C计算错误；
D、（a2b）3＝a6b3，故选项D计算错误．
故选：B．
3．（3分）（2020•潍坊）今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ）
A．1.109×107B．1.109×106C．0.1109×108D．11.09×106
【解答】解：∵1109万＝11090000，
∴11090000＝1.109×107．
故选：A．
4．（3分）（2020•潍坊）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线，
故选：D．
5．（3分）（2020•潍坊）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．平均数是144B．众数是141
C．中位数是144.5D．方差是5.4
【解答】解：根据题目给出的数据，可得：
平均数为：x=141×5+144×2+145×1+146×25+2+1+2=143，故A选项错误；
众数是：141，故B选项正确；
中位数是：141+1442=142.5，故C选项错误；
方差是：S2=110[(141-143)2×5+(144-143)2×2+(145-143)2×1+(146-143)2×2]=4.4，故D选项错误；
故选：B．
6．（3分）（2020•潍坊）若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：∵m2+2m＝1，
∴4m2+8m﹣3
＝4（m2+2m）﹣3
＝4×1﹣3
＝1．
故选：D．
7．（3分）（2020•潍坊）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DEAE=12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．21B．28C．34D．42
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴DEAE=FDAB=12，
∵DE＝3，DF＝4，
∴AE＝6，AB＝8，
∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．
故选：C．
8．（3分）（2020•潍坊）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【解答】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．（3分）（2020•潍坊）如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y=mx（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞mx的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1
【解答】解：∵函数y＝kx+b（k≠0）与y=mx(m≠0)的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，
∴不等式kx+b＞mx的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：D．
10．（3分）（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（ ）
A．12B．34C．1D．32
【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．
∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
又∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO
∴BCBO=CDAO
∵OC＝2，OB＝4，
∴BC＝2，
∴24=CD3，解得，CD=32；
∵CD∥AO，
∴EOEC=PODC，即24=PO3，解得，PO=34
故选：B．
11．（3分）（2020•潍坊）若关于x的不等式组3x-5≥12x-a＜8有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤2B．0≤a＜2C．0＜a≤2D．0＜a＜2
【解答】解：解不等式3x﹣5≥1得：x≥2，
解不等式2x﹣a＜8得：x＜8+a2，
∴不等式组的解集为：2≤x＜8+a2，
∵不等式组3x-5≥12x-a＜8有三个整数解，
∴三个整数解为：2，3，4，
∴4＜8+a2≤5，
解得：0＜a≤2，
故选：C．
12．（3分）（2020•潍坊）若定义一种新运算：a⊗b=a-b(a≥2b)a+b-6(a＜2b)，例如：3⊗1＝3﹣1＝2；5⊗4＝5+4﹣6＝3．则函数y＝（x+2）⊗（x﹣1）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵当x+2≥2（x﹣1）时，x≤4，
∴当x≤4时，（x+2）⊗（x﹣1）＝（x+2）﹣（x﹣1）＝x+2﹣x+1＝3，
即：y＝3，
当x＞4时，（x+2）⊗（x﹣1）＝（x+2）+（x﹣1）﹣6＝x+2+x﹣1﹣6＝2x﹣5，
即：y＝2x﹣5，
∴k＝2＞0，
∴当x＞4时，y＝2x﹣5，函数图象向上，y随x的增大而增大，
综上所述，A选项符合题意．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）
13．（3分）（2020•潍坊）因式分解：x2y﹣9y＝ y（x+3）（x﹣3） ．
【解答】解：x2y﹣9y，
＝y（x2﹣9），
＝y（x+3）（x﹣3）．
14．（3分）（2020•潍坊）若|a﹣2|+b-3=0，则a+b＝ 5 ．
【解答】解：根据题意得，a﹣2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝2，b＝3，
∴a+b＝2+3＝5．
故答案为：5．
15．（3分）（2020•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝ 55 °．
【解答】解：如图，
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝20°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣20°＝70°，
∵AM是∠BAC的平分线，
∴∠2=12∠BAC=12×70°=35°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AMQ是直角三角形，
∴∠AMQ+∠2＝90°，
∴∠AMQ＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，
∵∠α与∠AMQ是对顶角，
∴∠α＝∠AMQ＝55°．
故答案为：55°．
16．（3分）（2020•潍坊）若关于x的分式方程3xx-2=m+3x-2+1有增根，则m＝ 3 ．
【解答】解：去分母得：3x＝m+3+（x﹣2），整理得：2x＝m+1，
∵关于x的分式方程3xx-2=m+3x-2+1有增根，即x﹣2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1，
解得：m＝3；
故答案为：3．
17．（3分）（2020•潍坊）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AC，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则sin∠DAE＝ 725 ．
【解答】解：矩形ABCD中，GC＝4，CE＝3，∠C＝90°，
∴GE=GC2+CE2=42+32=5，
根据折叠的性质：BG＝GF，GF＝GC＝4，CE＝EF＝3，∠AGB＝∠AGF，∠EGC＝∠EGF，∠GFE＝∠C＝90°，∠B＝∠AFG＝90°，
∴BG＝GF＝GC＝4，∠AFG+∠EFG＝90°，
∴BC＝AD＝8，点A，点F，点E三点共线，
∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF＝180°，
∴∠AGE＝90°，
∴Rt△EGF∽Rt△EAG，
∴EGEA=EFEG，即5EA=35，
∴EA=253，
∴DE=AE2-AD2=(253)2-82=73，
∴sin∠DAE=DEAE=73253=725，
故答案为：725．
18．（3分）（2020•潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：DA1的圆心为点A，半径为AD；A1B1的圆心为点B，半径为BA1；B1C1的圆心为点C，半径为CB1；C1D1的圆心为点D，半径为DC1；⋯DA1，A1B1，B1C1，C1D1，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则A2020B2020的长是 4039π ．
【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，
故A2020B2020的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，A2020B2020的弧长=90180×8078π=4039π．
故答案为：4039π．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应与出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（2020•潍坊）先化简，再求值：（1-x+1x2-2x+1）÷x-3x-1，其中x是16的算术平方根．
【解答】解：原式=(x2-2x+1x2-2x+1-x+1x2-2x+1)÷x-3x-1，
=(x2-3xx2-2x+1)×x-1x-3，
=x(x-3)(x-1)2×x-1x-3，
=xx-1．
∵x是16的算术平方根，
∴x＝4，
当x＝4时，原式=43．
20．（2020•潍坊）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度．
【解答】解：如图示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得，∠MCA＝∠A＝60°，∠NCB＝∠B＝45°，CD＝120，
在Rt△ACD中，AD=CDtan60°=1203=403（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝120（米），
∴AB＝AD+BD＝（403+120）（米）．
答：桥AB的长度为（403+120）米．
21．（2020•潍坊）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【解答】解：（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
因此A档共有：12﹣4＝8人，
8÷20%＝40人，
补全图形如下：
（2）1200×1640=480（人），
答：全校B档的人数为480．
（3）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，
因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，
所以P（2名学生来自不同年级）=1012=56．
22．（2020•潍坊）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，
∵CE⊥AD，
∴BF∥CE，
连接OC，
∵点C为劣弧BF的中点，
∴OC⊥BF，
∵BF∥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连接OF，
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵点C为劣弧BF的中点，
∴FC=BC，
∴∠FOC＝∠BOC＝60°，
∵AB＝4，
∴FO＝OC＝OB＝2，
∴S扇形FOC=60⋅π×22360=23π，
即阴影部分的面积为：23π．
23．（2020•潍坊）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：100=60k+b80=70k+b，
解得：k=-2b=220，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为W元，由题意得：
w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，函数有最大值，
∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
24．（2020•潍坊）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC=2+1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．
（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；
（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；
（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．
【解答】（1）证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE＝BD；
（2）证明：如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，
在△ACE和△ABD中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB＝90°，
∴∠EFB＝90°，
∴CF⊥BD，
∵AB＝AC=2+1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴BC=2AB=2+2，CD＝AC+AD=2+2，
∴BC＝CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中：
∵∵AB＝AC=2+1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，DG⊥BC于G，
∴AG=12BC=2+22，∠GAB＝45°，
∴DG＝AG+AD=2+22+1=2+42，∠DAB＝180°﹣45°＝135°，
∴△BCD的面积的最大值为：12BC⋅DG=12(2+2)(2+42)=32+52，
旋转角α＝135°．
25．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC=35S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0），
∴4a-2b+8=064a+8b+8=0，解得a=-12b=3，
∴抛物线解析式为：y=-12x2+3x+8；
（2）当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，
∵S△ABC=12⋅AB⋅OC=12×10×8=40，
∴S△PBC=35S△ABC=24，
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
设P(t，-12t2+3x+8)，
∴F（t，﹣t+8），
∴PF=-12t2+4t，
∴S△PBC=12PF⋅OB=24，
即12×(-12t2+4t)×8=24，
∴t1＝2，t2＝6，
∴P1（2，12），P2（6，8）；
（3）∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线y=-12x2+3x+8的对称轴为x=-b2a=-32×(-12)=3，
∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为5，
∴E（3，5），
设M(3，m)，N(n，-12n2+3n+8)，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，
当△NME～△COB时，则m-5=n-3-12n2+3n+8=m，
解得n=6m=8或n=-2m=0（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8），
②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，
则m-5=n-3-12n2+3n+8=5，解得：m=5+15n=3+15或m=5-15n=3-15（舍去），
∴此时点M的坐标为(3，5+15)；
③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
连接CM，故当N为C关于对称轴l的对称点时，△MNE～△COB，
此时四边形CMNE为正方形，
∴CM＝CE，
∵C（0，8），E（3，5），M（3，m），
∴CM=32+(m-8)2，CE=32+(5-8)2=32，
∴32+(m-8)2=32，
解得：m1＝11，m2＝5（舍去），
此时点M的坐标为（3，11）；
故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8），(3，5+15)或（3，11）．一分钟跳绳个数（个）
141
144
145
146
学生人数（名）
5
2
1
2
一分钟跳绳个数（个）
141
144
145
146
学生人数（名）
5
2
1
2