2020年重庆市中考数学试卷（b卷）

这是一份2020年重庆市中考数学试卷（b卷），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年重庆市中考数学试卷（B卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）5的倒数是（　　）
A．5 B．15 C．﹣5 D．-15
2．（4分）围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（　　）
A．长方体 B．圆柱体
C．球体 D．圆锥体
3．（4分）计算a•a2结果正确的是（　　）
A．a B．a2 C．a3 D．a4
4．（4分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°
5．（4分）已知a+b＝4，则代数式1+a2+b2的值为（　　）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
6．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
7．（4分）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（4分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21
9．（4分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
10．（4分）若关于x的一元一次不等式组2x-1≤3(x-2)，x-a2＞1的解集为x≥5，且关于y的分式方程yy-2+a2-y=-1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0
11．（4分）如图，在△ABC中，AC＝22，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　）

A．6 B．3 C．23 D．4
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A．163 B．8 C．10 D．323
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算：（15）﹣1-4=　 　．
14．（4分）经过多年的精准扶贫，截至2019年底，我国的农村贫困人口减少了约94000000人．请把数94000000用科学记数法表示为　 　．
15．（4分）盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是　 　．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝120°，AB＝23，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）

17．（4分）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚　 　分钟到达B地．

18．（4分）为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为　 　元．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（x+y）2+y（3x﹣y）；
（2）（4-a2a-1+a）÷a2-16a-1．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE＝DF．

21．（10分）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．


22．（10分）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
23．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y=-12x2+2的图象并探究该函数的性质．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
-23
a
﹣2
﹣4
b
﹣4
﹣2
-1211
-23
…
（1）列表，写出表中a，b的值：a＝　 　，b＝　 　；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称；
②当x＝0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为﹣6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数y=-23x-103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-12x2+2＜-23x-103的解集．

24．（10分）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加209a%．求a的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（-2，0），直线BC的解析式为y=-23x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝23．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．

2020年重庆市中考数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）5的倒数是（　　）
A．5 B．15 C．﹣5 D．-15
【解答】解：5得倒数是15，
故选：B．
2．（4分）围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（　　）
A．长方体 B．圆柱体
C．球体 D．圆锥体
【解答】解：A、六个面都是平面，故本选项正确；
B、侧面不是平面，故本选项错误；
C、球面不是平面，故本选项错误；
D、侧面不是平面，故本选项错误；
故选：A．
3．（4分）计算a•a2结果正确的是（　　）
A．a B．a2 C．a3 D．a4
【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3．
故选：C．
4．（4分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°，
故选：B．
5．（4分）已知a+b＝4，则代数式1+a2+b2的值为（　　）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
【解答】解：当a+b＝4时，
原式＝1+12（a+b）
＝1+12×4
＝1+2
＝3，
故选：A．
6．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：C．
7．（4分）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：设还可以买x个作业本，
依题意，得：2.2×7+6x≤40，
解得：x≤4110．
又∵x为正整数，
∴x的最大值为4．
故选：B．
8．（4分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21
【解答】解：∵第①个图形中实心圆点的个数5＝2×1+3，
第②个图形中实心圆点的个数8＝2×2+4，
第③个图形中实心圆点的个数11＝2×3+5，
……
∴第⑥个图形中实心圆点的个数为2×6+8＝20，
故选：C．
9．（4分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
【解答】解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，

∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BE＝CD＝78米，
∴设EF＝x，则DF＝2.4x．
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，
解得x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米，
∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．
∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．
故选：D．
10．（4分）若关于x的一元一次不等式组2x-1≤3(x-2)，x-a2＞1的解集为x≥5，且关于y的分式方程yy-2+a2-y=-1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0
【解答】解：不等式组整理得：x≥5x＞2+a，
由解集为x≥5，得到2+a≤5，即a≤3，
分式方程去分母得：y﹣a＝﹣y+2，即2y﹣2＝a，
解得：y=a2+1，
由y为非负整数，且y≠2，得到a＝0，﹣2，之和为﹣2，
故选：B．
11．（4分）如图，在△ABC中，AC＝22，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　）

A．6 B．3 C．23 D．4
【解答】解：如图，延长BC交AE于H，

∵∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，
∴∠ACB＝120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°，
∵∠DAE＝∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝15°，
∴∠CAE＝30°，
∵∠ADC＝∠DAE+∠AED，
∴∠AED＝45°﹣15°＝30°，
∴∠AED＝∠EAC，
∴AC＝EC，
又∵∠BCE＝360°﹣∠ACB﹣∠ACE＝120°＝∠ACB，BC＝BC，
∴△ABC≌△EBC（SAS），
∴AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°，
∴∠ABE＝90°，
∵AB＝BE，∠ABC＝∠EBC，
∴AH＝EH，BH⊥AE，
∵∠CAE＝30°，
∴CH=12AC=2，AH=3CH=6，
∴AE＝26，
∵AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴BE=AE2=23，
故选：C．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A．163 B．8 C．10 D．323
【解答】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC＝90°，
∵点D（﹣2，3），AD＝5，
∴DE＝3，
∴AE=AD2-DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠DCH，
∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，
∠CPD＝∠APO，
∴∠DCP＝∠DAE，
∴∠CBH＝∠DAE，
∵∠AED＝∠BHC＝90°，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴BH＝AE＝4，
∵OE＝2，
∴OA＝2，
∴AF＝2，
∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B（4，83），
∴k=323，
故选：D．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）计算：（15）﹣1-4=　3　．
【解答】解：原式＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
14．（4分）经过多年的精准扶贫，截至2019年底，我国的农村贫困人口减少了约94000000人．请把数94000000用科学记数法表示为　9.4×107　．
【解答】解：94000000＝9.4×107，
故答案为：9.4×107．
15．（4分）盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是　23　．
【解答】解：列表如下

1
2
3
1

3
4
2
3

5
3
4
5

由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为46=23，
故答案为：23．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝120°，AB＝23，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　33-π　．（结果保留π）

【解答】解：如图，设连接以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与AB，AD相交于E，F，连接EO，FO，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝23，∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴BO＝DO=3，
∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，
∴BO＝OE＝OD＝OF，
∴△BEO，△DFO是等边三角形，
∴∠DOF＝∠BOE＝60°，
∴∠EOF＝60°，
∴阴影部分的面积＝2×（S△ABD﹣S△DFO﹣S△BEO﹣S扇形OEF）＝2×（34×12-34×3-34×3-60°×π×3360°）＝33-π，
故答案为：33-π．
17．（4分）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚　12　分钟到达B地．

【解答】解：由题意乙的速度为1500÷5＝300（米/分），设甲的速度为x米/分．
则有：7500﹣20x＝2500，
解得x＝250，
25分钟后甲的速度为250×85=400（米/分）．
由题意总里程＝250×20+61×400＝29400（米），
86分钟乙的路程为86×300＝25800（米），
∴29400-25800300=12（分钟）．
故答案为12．
18．（4分）为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为　1230　元．
【解答】解：设第一时段摸到红球x次，摸到黄球y次，摸到绿球z次，（x，y，z均为非负整数），则第一时段返现金额为（50x+30y+10z），
第二时段摸到红球3x次，摸到黄球2y次，摸到绿球4z次，则第二时段返现金额为（50×3x+30×2y+10×4z），
第三时段摸到红球x次，摸到黄球4y次，摸到绿球2z次，则第三时段返现金额为（50x+30×4y+10×2z），
∵第三时段返现金额比第一时段多420元，
∴（50x+30×4y+10×2z）﹣（50x+30y+10z）＝420，
∴z＝42﹣9y①，
∵z为非负整数，
∴42﹣9y≥0，
∴y≤429，
∵三个时段返现总金额为2510元，
∴（50x+30y+10z）+（50x+30×4y+10×2z）+（50x+30×4y+10×2z）＝2510，
∴25x+21y+7z＝251②，
将①代入②中，化简整理得，25x＝42y﹣43，
∴x=42y-4325④，
∵x为非负整数，
∴42y-4325≥0，
∴y≥4342，
∴4342≤y≤429，
∵y为非负整数，
∴y＝2，34，
当y＝2时，x=4125，不符合题意，
当y＝3时，x=8325，不符合题意，
当y＝4时，x＝5，则z＝6，
∴第二时段返现金额为50×3x+30×2y+10×4z＝10（15×5+6×4+4×6）＝1230（元），
故答案为：1230．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）（x+y）2+y（3x﹣y）；
（2）（4-a2a-1+a）÷a2-16a-1．
【解答】解：（1）（x+y）2+y（3x﹣y），
＝x2+2xy+y2+3xy﹣y2，
＝x2+5xy；
（2）（4-a2a-1+a）÷a2-16a-1，
＝（4-a2a-1+a2-aa-1）×a-1(a+4)(a-4)，
=4-aa-1×a-1(a+4)(a-4)，
=-1a+4．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE＝DF．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD＝2∠BCF，
∵∠BCF＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCE，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝CF．
21．（10分）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　7.5　，b＝　8　，c＝　8　；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．

【解答】解：（1）由图表可得：a=7+82=7.5，b=8+82=8，c＝8，
故答案为：7.5，8，8；
（2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数＝800×5+540=200（人），
答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人；
（3）∵八年级的合格率高于七年级的合格率，
∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．

22．（10分）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
【解答】解：（1）312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且3+1＝4，6能被2整除，
675不是“好数”，因为6+7＝13，13不能被5整除；

（2）611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：
设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），
∴a+a+5＝2a+5，
当a＝1时，2a+5＝7，
∴7能被1，7整除，
∴满足条件的三位数有611，617，
当a＝2时，2a+5＝9，
∴9能被1，3，9整除，
∴满足条件的三位数有721，723，729，
当a＝3时，2a+5＝11，
∴11能被1整除，
∴满足条件的三位数有831，
当a＝4时，2a+5＝13，
∴13能被1整除，
∴满足条件的三位数有941，
即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．
23．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y=-12x2+2的图象并探究该函数的性质．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
-23
a
﹣2
﹣4
b
﹣4
﹣2
-1211
-23
…
（1）列表，写出表中a，b的值：a＝　-1211　，b＝　﹣6　；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称；
②当x＝0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为﹣6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数y=-23x-103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-12x2+2＜-23x-103的解集．

【解答】解：（1）x＝﹣3、0分别代入y=-12x2+2，得a=-129+2=-1211，b=-120+2=-6，
故答案为-1211，﹣6；
画出函数的图象如图：
，
故答案为-1211，﹣6；
（2）根据函数图象：
①函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称，说法正确；
②当x＝0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为﹣6，说法正确；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误．
（3）由图象可知：不等式-12x2+2＜-23x-103的解集为x＜﹣4或﹣2＜x＜1．
24．（10分）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加209a%．求a的值．
【解答】解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；
根据题意得，y-x=10010×2.4(x+y)=21600，
解得：x=400y=500，
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；
（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+209a%），
解得：a＝0.1，
答：a的值为0.1．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（-2，0），直线BC的解析式为y=-23x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）直线BC的解析式为y=-23x+2，令y＝0，则x＝32，令x＝0，则y＝2，
故点B、C的坐标分别为（32，0）、（0，2）；
则y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝a（x2﹣22x﹣6）＝ax2﹣22a﹣6a，
即﹣6a＝2，解得：a=13，
故抛物线的表达式为：y=-13x2+223x+2①；

（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，

∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y=-23（x+2）②，
联立①②并解得：x＝42，故点D（42，-103），
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=-223x+2，
当x＝32时，yBC=-23x+2＝﹣2，即点H（32，﹣2），故BH＝2，
设点E（x，-13x2+223x+2），则点F（x，-23x+2），
则四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（xD﹣xC）×BH=12×（-13x2+223x+2+23x﹣2）×32+12×42×2=-22x2+3x+42，
∵-22＜0，故S有最大值，当x=322时，S的最大值为2524，此时点E（322，52）；

（3）存在，理由：
y=-13x2+223x+2=-13（x-2）2+83，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，
则新抛物线的表达式为：y=-13x2+83，
点A、E的坐标分别为（-2，0）、（322，52）；设点M（2，m），点N（n，s），s=-13n2+83；
①当AE是平行四边形的边时，
点A向右平移522个单位向上平移52个单位得到E，同样点M（N）向右平移522个单位向上平移52个单位得到N（M），
即2±522=n，
则s=-13n2+83=-112或56，
故点N的坐标为（722，-112）或（-322，56）；
②当AE是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：-2+322=n+2，解得：n=-22，
s=-13n2+83=156，
故点N的坐标（-22，156）；
综上点N的坐标为：（722，-112）或（-322，56）或（-22，156）．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝23．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．
【解答】解：（1）如图1中，连接BE，CF．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，
∴AD=3BD＝43，
∵AE＝23，
∴DE＝AE＝23，
∴BE=BD2+DE2=42+(23)2=27，
∵△ABC，△AEF答等边三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝BE＝27，
∵EN＝CN，EG＝FG，
∴GN=12CF=7．

（2）结论：∠DNM＝120°是定值．

理由：连接BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，
∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，
∵EN＝NC，EM＝MF，
∴MN∥CF，
∴∠ENM＝∠ECM，
∵BD＝DC，EN＝NC，
∴DN∥BE，
∴∠CDN＝∠EBC，
∵∠END＝∠NDC+∠ACB，
∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACN+∠ECM＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠BCF＝120°．

（3）如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．

∵AJ＝CJ，EN＝NC，
∴JN=12AE=3，
∵BJ＝AD＝43，
∴BN≤BJ+JN，
∴BN≤53，
∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．

∵KJ＝AJ•tan30°=433，JN=3，
∴KN=733，
在Rt△HKN中，∵∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，
∴HN＝NK•sin60°=733×32=72，
∴S△ADN=12•AD•NH=12×43×72=73．