初中人教版第十五章 分式15.3 分式方程教学设计

专题15.9  分式方程的解法及应用

（知识讲解）

【学习目标】

1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．

2. 会列出分式方程解简单的应用问题．

【要点梳理】

 要点一、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫分式方程.

要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.

（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.

（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.

要点二、分式方程的解法

解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.

解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

要点三、解分式方程产生增根的原因

方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.

要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.

          （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.

要点四、分式方程的应用

分式方程的应用主要就是列方程解应用题.

列分式方程解应用题按下列步骤进行：

（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；

（2）设未知数；

（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；

（4）解这个分式方程；

（5）验根，检验是否是增根；

（6）写出答案.

【典型例题】

类型一、判别分式方程 

1、下列方程中，是分式方程的是（   ）．

A．    B．

C．        D．，（，为非零常数）

【答案】B；

【解析】A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B项中的方程符合分式方程的定义．

【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．

类型二、解分式方程 

2、 解分式方程（1）；（2）．

【答案与解析】

解：（1），

将方程两边同乘，得

．

解方程，得．

检验：将代入，得．

∴  是原方程的解．

（2），

方程两边同乘以，得．

解这个方程，得．

检验：把代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0．

∴  原方程的解是．

【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根．

举一反三：

【变式】解方程：．

【答案】

解：，

方程两边都乘，得，

解这个方程，得，

检验：当时，，

∴  是增根，

∴  原方程无解．

类型三、分式方程的增根

3、 若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．

【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．

【答案与解析】

解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得

2（x+2）+mx=3（x﹣2）

∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），

∴原方程增根为x=±2，

∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．

把x=﹣2代入整式方程，得m=6．

综上，可知m=﹣4或6．

【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

举一反三：

【变式】如果方程有增根，那么增根是________．

【答案】；

提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母或可得．所以增根是．

类型四、分式方程的应用

4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?

【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．

【答案与解析】解：设甲班每小时种棵树，则乙班每小时种棵树．

由题意可得，解这个方程，得．

经检验是原方程的根且符合题意．

所以(棵)．

答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．

【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含的分式表示甲、乙两班种树所用的时间．

举一反三：

【变式】 王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？

【答案】

解：设原计划每小时检修管道x米．                                            

由题意，得．                                             

解得 ．                                                         

经检验，是原方程的解．且符合题意．                              

答：原计划每小时检修管道50米．