高考数学一轮复习试题　椭圆定义的应用、焦点三角形、最值问题

这是一份高考数学一轮复习试题　椭圆定义的应用、焦点三角形、最值问题，共26页。试卷主要包含了椭圆定义及应用，焦点三角形，椭圆有关最值等内容，欢迎下载使用。
椭圆定义的应用、焦点三角形、最值问题一、椭圆定义及应用1．平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．“”是“曲线表示椭圆”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知命题：，；命题：，表示焦点在轴上的椭圆，则下列命题为真命题的是（    ）A． B． C． D．4．已知椭圆C：的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则（    ）A．4 B．6 C．8 D．105．已知，分别是椭圆的左、右两焦点，过点的直线交椭圆于点，，若为等边三角形，则的值为（    ）A．3 B． C． D．6．如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点的距离为2，N是的中点，O是坐标原点，则线段ON的长为（    ）A．2 B．4 C．8 D．7．已知直线与椭圆：交于两点，点，分别是椭圆的右焦点和右顶点，若，则（    ）A．4 B．2 C． D．8．已知点F1，F2分别是椭圆E：=1的左、右焦点，P为E上一点，直线l为∠F1PF2的外角平分线，过点F2作l的垂线，交F1P的延长线于M，则|F1M|=（　　）A．10 B．8 C．6 D．49．已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，，则（    ）A． B． C． D．10．已知椭圆C：，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝（    ）A．4 B．8C．12 D．16二、焦点三角形11．设，为椭圆的两焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为（    ）A． B． C． D．12．已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在点，使得（点为坐标原点）为正三角形，则椭圆的焦距为（   ）A． B． C． D．13．设，是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．14．已知椭圆的右焦点是，直线与椭圆交于、两点，则的最小值是（    ）A． B． C． D．15．设、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为（    ）A． B． C． D．16．已知椭圆的左､右焦点分别为，点P在椭圆上.若，则点P到x轴的距离为（    ）A． B．3 C． D．17．已知点F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝（    ）A．4 B．6C．8 D．1218．已知、是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，，且，则与的面积之比为（    ）A． B．C． D．         三、椭圆有关最值19．设椭圆：()的左､右焦点分别为，，直线：交椭圆于点，，若的周长的最大值为12，则的离心率为（    ）A． B． C． D． 20．已知椭圆的右焦点，是椭圆上任意一点，点，则的周长最大值为（    ）A． B． C．14 D． 21．已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最小值为（    ）       A． B． C． D． 22．已知为椭圆上的一个点，点M，N分别为圆和圆上的动点，则的最小值为（    ）        A．6 B．7 C．10 D．1323． 24．已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 24.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值为（    ）      A．1 B． C． D． 25．已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为(     )A． B． C． D．  二、多选题26．已知是左右焦点分别为的椭圆上的动点， ,下列说法正确的有（ ）A． B．的最大值为C．存在点，使 D．的最大值为
参考答案1．B【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】解：若点的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点到两定点的距离之和 ，且为常数）成立是定值．若动点到两定点的距离之和 ，且为常数），当，此时的轨迹不是椭圆．甲是乙的必要不充分条件．故选：．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键．2．B【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为曲线为椭圆，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分条件.故选：B3．B【分析】由指数函数的图象及椭圆的性质可判断为假命题、为真命题，再由复合命题的真假即可得解.【详解】由指数函数的图象可得，当时，函数的图象恒在的上方，所以，，故命题为假命题；，，所以，所以，表示焦点在轴上的椭圆，故命题为真命题；所以、、均为假命题，为真命题.故选：B.4．A【分析】利用椭圆的定义得到 ，再根据求解.【详解】由椭圆知：a=3，由椭圆的定义得：，所以，又因为，所以，故选：A5．B【分析】由已知求得，再由为等边三角形，可得直线与轴垂直，然后求解直角三角形得值．【详解】由题意可得，，则．又为等边三角形，得直线与轴垂直，，则，，则，可得，即，求得．故选：B 6．C【分析】设椭圆的另一个焦点为，根据椭圆的定义可得，再根据中位线定理可得结果.【详解】设椭圆的另一个焦点为，因为，所以，因为，所以，所以.故选：C.7．D【解析】 【分析】 设椭圆的另一焦点为，根据椭圆对称性可得四边形 为平行四边形，得到，从而有 ，得到关系，利用，即可求出结论.  【详解】 设椭圆的另一焦点为，连 ，直线过原点， 所以坐标原点为中点， 互相平分，  所以四边形为平行四边形， ，  ，  .  故选：D.   【点睛】 本题考查椭圆的标准方程以及简单几何性质，注意椭圆定义在解题中的应用，属于基础题. 8．A【分析】由题意可得三角形PMF2为等腰三角形，|PM|=|PF2|，运用椭圆的定义，计算可得所求值．【详解】如图，由直线1为∠F1PF2的外角平分线，l⊥F2M，可得|PM|=|PF2|，而椭圆E: 的a=5，2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10，故选A．【点睛】本题考查椭圆的定义，以及等腰三角形的性质，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．9．B【分析】根据正弦定理，结合椭圆定义化简求结果.【详解】中，所以故选：B【点睛】本题考查正弦定理、椭圆定义，考查综合分析求解能力，属中档题.10．B【分析】根据已知条件，作出图形，的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为即可求出．【详解】设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，，如图，连接，，是的中点，是的中点，是的中位线；，同理；，在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：，．故选：．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用三角形中位线定理得到，然后再利用椭圆的定义解答.11．C【分析】根据题意可得轴，从而可得，再利用椭圆的定义可得，即求.【详解】因为线段的中点在y轴上，所以轴，，，所以．故选：C12．D【分析】不妨设为椭圆的右焦点，为椭圆的左焦点，连接，利用椭圆的定义，以及的最小值，列方程组可得椭圆的焦距．【详解】不妨设为椭圆的右焦点，为椭圆的左焦点，连接因为为等边三角形，所以，所以是直角三角形，所以．因为，所以．因为的最小值为，所以，所以，椭圆的焦距为故选：D13．C【分析】分类讨论焦点在轴与轴两种情况，由题意，写出，利用，在直角三角形中利用正切值列不等式求解的范围.【详解】由题意可知，若焦点在轴上，，则，椭圆上存在点满足，如图所示，则，即，所以，即，得；若焦点在轴上，，则，则，即，所以，即，得；所以的取值范围是.故选：C.14．D【分析】求得，结合，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】设椭圆的左焦点为，在椭圆中，，，则，由题意可知，点、关于原点对称，且为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，，由椭圆的定义可得，，，即，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.15．D【分析】设点，求出的值，由此可求得的面积.【详解】在椭圆中，，，则，所以，，设点，则，可得，，解得，，因此，的面积为.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，常用以下两种方法求解：（1）求出顶点的坐标，利用三角形面积公式求解；（2）利用余弦定理和椭圆的定义求得的值，利用三角形面积公式求解.16．C【分析】设，则由椭圆定义和勾股定理可得，再根据直角三角形面积可得.【详解】由椭圆方程可得，设，，即，，，，设P到x轴的距离为，则.故选：C.【点睛】本题考查焦点三角形的问题，解题的关键是利用定义和勾股定理得出.17．A【分析】根据椭圆定义，可得|PF1|＋|PF2|＝4，利用余弦定理，变形整理，即可求得结果.【详解】由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝4，利用余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，所以，解得3|PF1|·|PF2|＝12，即|PF1|·|PF2|＝4，故选：A.18．D【分析】设，则，由已知条件得出，利用椭圆的定义可得，，则，利用勾股定理可求得，进而可得出，代入计算即可得解.【详解】可设，则，，则，由椭圆的定义可得，，则，则，即，即有，解得，则与的面积之比为.故选：D.【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.19．B【分析】先利用椭圆的定义求出的周长的最大值可得的值，根据椭圆方程即可求得值，进而可求离心率.【详解】的周长等于 ，因为当且仅当三点共线时等号成立，所以，即的周长的最大为，所以，解得：，由椭圆的方程可得：，所以，所以的离心率为，故选：B【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：（1）直接利用公式；（2）利用变形公式；（3）根据条件列出关于 的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解.20．C【分析】设椭圆的左焦点为，，，利用，即可得出．【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，，则，，的周长，当且仅当三点，，共线时取等号．的周长最大值等于14．故选：．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用椭圆的定义将三角形周长转化为求解，解答与椭圆焦点有关的试题时往往用到椭圆的定义：.21．C【分析】由题意知，进而根据椭圆的第二定义可得：过 A作右准线的垂线，交与B点，可知最小值为.【详解】由椭圆可得：，，，，根据椭圆的第二定义：过A作左准线的垂线，交与B点，如图，
 则的最小值为，的最小值为 ,故选：C22．B【分析】先求椭圆焦点和定义定值，圆心、半径，利用圆的性质判定与焦点连线时最小，再计算即得结果.【详解】依题意可知，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，根据定义，两圆半径为，故椭圆上动点与焦点连线时与圆相交于M，N时， 最小，最小值为.故选：B.【点睛】本题考查了圆的性质和椭圆的定义，属于中档题.解题关键在于两圆圆心是椭圆的焦点，结合椭圆定义和圆的性质即解决最小距离问题.23．D【分析】计算出的取值范围，结合椭圆的定义可求得的取值范围.【详解】对于椭圆，，，，根据椭圆的定义可得，设，则，且，即，则，所以，.故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的定义求解代数式的取值范围，考查计算能力，属于中等题.24．C【分析】先求出，由椭圆的定义得，，所以为椭圆的通径时最小，此时取得最大值5，即可得，从而求出b的值.【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，可知，因为过的直线交椭圆于A，B两点，所以由椭圆的定义知：，所以，当轴时，最小，的值最大，此时为椭圆的通径，由通径公式可得：所以，解得：，故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，属于中档题.25．D【分析】先求出椭圆的方程，借助于椭圆的定义把|MF1|+|MB|=2a﹣（|MF2﹣MB|），结合三角形中的两边之差小于第三边得答案【详解】由题意可得：，解得∴椭圆方程为：|MF1|+|MB|=|=2a﹣（|MF2﹣MB|）≥2a﹣|BF2|=8﹣，当且仅当M，F2，B共线时取得最小值．故选D．【点睛】本题考查了与椭圆有关的最值的求法，考查了椭圆定义，考查了等价转化思想方法，是中档题．26．ABD【分析】对于选项 由椭圆的定义可得选项正确；对于选项由椭圆的性质可知，故选项正确；对于选项，又由椭圆的性质可知：当点为椭圆的上顶点或下顶点时，最大，所以，即，故选项错误；对于选项设，则，当时，，故选项正确，【详解】对于选项由题设可得：，，由椭圆的定义可得：，故选项正确；对于选项由椭圆的性质可知：（当为椭圆的右顶点时取““，故选项正确；对于选项，又由椭圆的性质可知：当点为椭圆的上顶点或下顶点时，最大，此时，所以，即，故选项错误；对于选项设，则，当时，，故选项正确，故选：ABD【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.（5）利用数形结合分析解答.