2021年江苏省南京市鼓楼区九年级中考一模数学试卷

【鼓楼区数学】2021一模考试

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．计算的结果是（    ）

A．      B．      C．2      D．4

2．计算的结果是（    ）

A．      B．      C．      D．

3．根据国家电影局发布的数据显示，2021年2月11日（除夕）至17日（正月初六），全国电影票房达7822000000元，刷新了春节档全国电影票房纪录，用科学记数法表示7822000000是（    ）

A．      B．      C．      D．

4．已知，若对于所有的实数x，A的值始终比B的值大，则a的值可能（    ）

A．      B．0      C．1      D．2

5．数轴上A、B、C三点分别对应实数a、b、c，点A、C关于点B对称，若，则下列各数中，与c最接近的数是（    ）

A．4      B．4.5      C．5      D．5.5

6．如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（    ）

A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为

B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为

C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为

D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）

7．4的平方根是___________，27的立方根是__________．

8．若分式的值为0，则x的值是__________．

9．方程的解是__________．

10．已知反比例函数的图像经过点，则___________．

11．计算的结果是___________．

12．某校国旗护卫队有5名学生，身高（单位：）分别为173、174、174、174、175，则这5名学生身高的方差为________．

13．如图，五边形是正五边形，过点B作的垂线交于点F，则________．

14．如图，点O是的外心，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则_______．

15．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且与x轴的夹角为，则直线l与坐标轴所围成的三角形的周长是_________．

16．已知二次函数（m为常数），如果当自变量x分别取，，1时，所对应的y值只有一个小于0，那么m的取值范围是________．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（7分）解不等式．

18．（7分）计算：．

19．（7分）某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有7名工人，每人每天可制作甲配件900个或者乙配件1200个．应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？

20．（7分）下表是某地某个月中午12时的气温（单位：℃）的统计数据．

某地某个月中午12时的气温频数分布表

根据统计的数据，回答下列问题：

（1）该地该月中午12时的气温的中位数落在第_________组内；

（2）求该地该月中午12时的平均气温．

21．（7分）一只不透明的袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出2个球．

（1）若这个袋子中共有4个球，求摸出红球的概率；

（2）若这个袋子中共有n（且n为正整数）个球，则摸出红球的概率是__________（用含n的代数式表示）．

22．（8分）已知关于x的方程（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；

（2）若该方程有两个实数根、，求的值．

23．（8分）如图，矩形的对角线、相交于点O，点E与点O关于对称．

（1）连接、，求证：四边形是菱形；

（2）若．求点E、O之间的距离．

24．（8分）如图，为测量直立在建筑物上的广告牌的高度，小莉在地面上D的处测得A的仰角为，然后她沿正对建筑物方向前进了到达E处，此时测试A、C的仰角分别为、，求广告牌的高度．（参考数据：，，，，，．）

25．（8分）某宾馆有8位旅客要在当日上午10点前到达火车站，他们上午9点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐5人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客．在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计．设汽车从宾馆出发后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆的地方，图中的折线表示与x之间的函数关系，折线表示与x之间的函数关系．

（1）宾馆与火车站相距________，第二批旅客的步行速度是_______；

（2）解释图中点B的实际意义；

（3）第二批旅客能否在上午10点前到达火车站？如果能，请说明理由；如果不能，汽车在接到第二批旅客后至少提速多少，才能保证不晚于10点到达？

26．（9分）如图①，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，、、的延长线分别交于点G、H、I，过点G、H、I分别作、、的平行线，从上截得六边形．通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边．

（1）求证：六边形的对角相等；

（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，如图②，连接、、、，他发现、，于是猜想六边形的对边也相等．请你证明他的发现与猜想．

27．（12分）【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：

如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形形状的联动装置，顶点P、Q只能在边框上滑动，顶点M、N可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况．试确定金属杆的位置，使通风口（矩形）面积最大．

设窗子的边框、分别为，，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为．

【初步探究】

（1）若（即点E到的距离为2），与之间的距离为，通风口的面积为．

①分别求出当和时y与x之间的函数表达式；

②金属杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？

【深入探究】

（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．

①c需要满足的条件是_______________，通风口的最大面积是_______________（用含a、b、c的代数式表示）．

②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大时金属杆所在的位置（保留作图痕迹，不写作法）．

（3）若将窗子的上部分边框改为以的中点O为圆心的圆弧（）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆移动到什么位置时，通风口面积最大（直接写出答案，不必说明理由）．

【鼓楼区数学】2021一模考试参考答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

第6题解析：圆心运动的路径即为圆滚动的距离．

当点P离地面最高时，圆滚动半圈，圆心O运动的路径的长为，故A正确．

当点P再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心O运动的路径的长为，故B正确．

当点P第一次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故C错误．

当点P第二次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故D正确．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）

第16题解析：二次函数对称轴为．

①时，时取最小值，

∴解得；

②时，时取最小值，

∴解得；

③时，时取最小值，

∴解得．综上所述且．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题7分）解：

18．（本题7分）解：原式

19．（本题7分）解：设该车间安排x名工人制作甲零件，安排名工人制作乙零件．

  解得

答：可安排4名工人制作甲零件，3名工人制作乙零件．

20．（本题7分）（1）4

（2）分别计算出各组数据的组中值，

第一组组中值，第二组组中值，第三组组中值

第四组组中值，第五组组中值

∴（℃）

因此，该地该月中午12时的平均气温为24.8℃

21．（本题7分）

解：（1）记袋中的3个白球分别为白1、白2、白3．从袋中随机摸出2个球，共有6种等可能的情况，分别是（红，白1）、（红，白2）、（红，白3）、（白1，白2）、（白1，白3）、（白2，白3），满足摸出红球的结果有3种，因此摸出红球的概率为．

（2）

22．（本题8分）

解：（1）当时，原方程化为，

∴

∴该方程有实数根．

当，由题可得

∴

∴方程总有两个实数根

因此，不论m为何值，该方程总有实数根．

（2）∵

∴

23．（本题8分）

（1）证明：连接

∵四边形是矩形，∴且，∴

又∵点E与点O关于对称，∴垂直平分，∴

∴，∴四边形是菱形．

（2）∵四边形是矩形，∴，

∵，∴为等腰三角形

∵，∴为等边三角形，∴

∵垂直平分，∴，∴点E、O之间的距离为

24．（本题8分）

解：在中，

∴

在中，

∴

∵

∴

∴

在中，

∴

∴

因此，广告牌的高度是．

25．（本题8分）

解：（1）20，5；

（2）汽车从宾馆出发后到达距离旅店处与第二批旅客相遇．

（3）第二批旅客不能在上午10点前到达火车站．

∵

∴

∴至少提速

26．（本题9分）

证明：（1）∵，

∴．

∵，

∴．

∴

同理．

即六边形的对角相等．

（2）∵与切于点D，

∴

∴．

∵，

∴

与切于点E，

∴．

∴．

∴．

又，

∴．

∴．

同理．

∵，

∴．

∵．

∴．

同理．

∴．

∴．

即．

同理．

即六边形的对边相等．

27．（本题12分）

解：（1）①如图1，过E作，垂足为F，分别与、相交于点G、H．

当时，．

当时，

∵四边形是矩形，

∴．

∵，

∴．

∴四边形是矩形．

∴．

∵四边形是矩形，

∴．

∴

由题意可知， ，

∴，

∵，

∴．

又、分别是、的对应高，

∴，即，化简，得．

∴．

②当时，．因此，当时，y最大，最大值是2．

当时，，因此，当时，y最大，最大值是2．

综上所述，当时，y最大，最大值是2．

因此，金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是．

（2）①；．

【解析】已知在中有内接矩形，其中M、N在、边上，P、Q在边上，易证当为中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半，即．在图②中，延长、交直线于F、G，则为的中位线时，矩形的面积最大，所以要想金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需与边平行的中位线在上方即可，即．此时的最大面积为的面积的一半．

作于S交于J，因为，所以，所以，即，∴．所以矩形面积的最大值面积的一半．

②如图，线段即为所求．

（3）当（等同于）时，金属杆移动到所在位置时，通风口面积最大；

当（等同于）时，金属杆移动到与相距时，通风口面积最大．

【解析】易知当M在上时，y随x增大而增大

当M在上时，如图，，则

，则当即时，y随x增大而增大，

当时，y随x增大而减小．

所以当，即时：当时，y随x增大而增大；当时，，所以y随x增大而减小，所以在中，当时，y最大．

当，即时：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，所以在中，当时，y最大．

因为，所以，所以，所以等同于，等同于．