2021学年19.3 课题学习 选择方案同步练习题

一次函数应用题（方案问题）

例1：为迎接六•一儿童节的到来，某玩具厂每天生产A、B两种玩具共60件，这两种玩具每件的成本和售价如表：

设每天生产A种玩具x件，每天获得的利润为y元：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果该玩具厂每天最多投入成本为2640元，那么每天生产多少件A种玩具时，所获得利润最大，并求出这个最大利润．

习题1：某玩具厂每天生产喜羊羊与灰太狼两种毛绒玩具共450个，两种玩具的成本和售价如下表所示．如果设每天生产喜羊羊毛绒玩具x个，两种毛绒玩具共获利y元．

（1）求出y与x之间的函数关系及自变量x的取值范围；

（2）如果该厂每天投入的成本不超过10000元，那么该厂要想每天获利最大，应该生产喜羊羊与灰太狼两种毛绒玩具各多少个？每天获利的最大值是多少？

例2：某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共

需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．

（1）求A，B两种树木每棵各多少元？

（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．

习题2：某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？

例3：A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t．设从A城调往C乡肥料xt．

（1）根据题意，填写下表：

（2）设调运肥料的总运费y（单位：元）是x的函数，求y与x的函数解析式；

（3）请根据（2）给出完成调运任务总费用最少的调运方案，并说明理由．

习题3：在抗击新冠状病毒战斗中，有152箱公共卫生防护用品要运到A、B两城镇，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批防护用品，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其中用大货车运往A、B两城镇的运费分别为每辆800元和900元，用小货车运往A、B两城镇的运费分别为每辆400元和600元．

（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？

（2）现安排其中10辆货车前往A城镇，其余货车前往B城镇，设前往A城镇的大货车为x辆，前往A、B两城镇总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．若运往A城镇的防护用品不能少于100箱，请你写出符合要求的最少费用．

习题4．某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系．则当该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润．（注：利润＝售价﹣成本）

一次函数应用题（方案问题）答案解析

例1：解：（1）由题意，得y＝（70﹣50）x+（50﹣35）（60﹣x）

＝20x+15（60﹣x）

＝5x+900．

所以y与x之间的函数关系式为y＝5x+900；

（2）50x+35（60﹣x）≤2640，

解得x≤36．

∵k＝5＞0，y随x的增大而增大，

∴当x＝36时，y取得取大值，y＝5×36+900＝1080．

∴当每天生产A种玩具最多36件时，所获利润最大，最大是1080元．

习题1：解：（1）由题意可得，

y＝（23﹣20）x+（35﹣30）×（450﹣x）＝﹣2x+2250，

即y与x之间的函数关系是y＝﹣2x+2250（0≤x≤450）；

（2）∵该厂每天投入的成本不超过10000元，

∴20x+30（450﹣x）≤10000，

解得，x≥350，

∴350≤x≤450，

∵y＝﹣2x+2250，k＝﹣2，

∴y随x的增大而减小，

∴当x＝350时，y取得最大值，此时y＝1550，450﹣x＝100，

即该厂要想每天获利最大，应该生产喜羊羊与灰太狼两种毛绒玩具分别为350个、100个，每天获利的最大值是1550元．

例2．解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，

依题意得：，

解得．

答：A种树每棵100元，B种树每棵80元；

（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，

则a≥3（100﹣a），

解得a≥75．

设实际付款总金额是y元，则

y＝0.9[100a+80（100﹣a）]，即y＝18a+7200．

∵18＞0，y随a的增大而增大，

∴当a＝75时，y最小．

即当a＝75时，y最小值＝18×75+7200＝8550（元）．

答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．

习题2：解：（1）由题意可得，

y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000，

即y与x的函数关系是y＝﹣20x+14000；

（2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，

∴100﹣x≤3x，

解得，x≥25，

∵y＝﹣20x+14000，

∴y随x的增大而减小，

∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝13500，100﹣x＝75

答：该商店购进A型、B型电脑分别为25台、75台时，才能使销售利润最大，最大利润是1350元。

例3：解：（1）根据题意，填写下表如下：

（2）设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200﹣x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240﹣x）吨和（60+x）吨．

由总运费与各运输量的关系可知，

反映y与x之间的函数关系为y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x），

化简得y＝4x+10040（0≤x≤200）

（3）由解析式和图象可看出：当x＝0时，y有最小值10040．

因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少。

习题3：解：（1）设这15辆车中大货车有a辆，则小货车有（15﹣a）辆，

12a+8（15﹣a）＝152

解得，a＝8，

则15﹣a＝7，

答：这15辆车中大货车8辆，小货车7辆；

（2）设前往A城镇的大货车为x辆，则前往A城镇的小货车为（10﹣x）辆，前往B城镇的大货车有（8﹣x）辆，前往B城镇的小货车有7﹣（10﹣x）＝（x﹣3）辆，

由题意可得，y＝800x+400（10﹣x）+900（8﹣x）+600（x﹣3）＝100x+9400，

即y与x的函数关系式为y＝100x+9400，

∵运往A城镇的防护用品不能少于100箱，

∴12x+8（10﹣x）≥100，解得，x≥5，

∴当x＝5时，y取得最小值，此时y＝9900，

答：y与x的函数解析式y＝100x+9400，符合要求的最少费用为9900元．

习题4：某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系．则当该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润．（注：利润＝售价﹣成本）

【解答】解：（1）设每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间函数关系为y＝kx+b，

，解得，，

即y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.5x+65；

（2）当x＝40时，y＝﹣0.5×40+65＝45，

设z与a之间的函数关系式为z＝ma+n，

，解得，，

即z与a之间的函数关系式为z＝﹣a+90，

当z＝40时，40＝﹣a+90，解得，a＝50，

（50﹣45）×40

＝5×40

＝200（万元），

答：该厂第一个月销售这种机器的总利润是200万元．