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山东省滨州市惠民县2020-2021学年八年级下学期期末数学模拟试卷（三）（word版 含答案）
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这是一份山东省滨州市惠民县2020-2021学年八年级下学期期末数学模拟试卷（三）（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省滨州市惠民县八年级（下）期末数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．1，2， C．1，，2 D．4，5，6
3．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
4．已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝3x上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
5．用配方法解方程x2+6x+4＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝±
6．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm
7．如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
8．如图，直线y1＝﹣x+m与y2＝kx+n相交于点A，若点A的横坐标为2，则下列结论中错误的是（ ）
A．k＞0 B．m＞n
C．当x＜2时，y2＞y1 D．2k+n＝m﹣2
9．已知O为数轴原点，如图，
（1）在数轴上截取线段OA＝2；
（2）过点A作直线n垂直于OA；
（3）在直线n上截取线段AB＝3；
（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C．
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③3＜OC＜4；④AC＝1．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
10．点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（ ）
A． B． C． D．8
12．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
14．（4分）某市对在当地召开的一个大型国际展览会开幕后连续八天的每日参观人数做了一项调查，并将相关数据绘制成了如下的统计图．请根据所给信息解决下列问题：
（1）这八天中，每日参观人数的众数是 ，中位数是 ，平均数是 ；
（2）请你估计这个为期60天的大型国际展览会共接待 万人参观．
15．（4分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0），则关于x的方程kx+b＝0的解为x＝ ．
16．（4分）方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 ．
17．（4分）将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的 ．
18．（4分）为庆祝建党90周年，美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，如菱形ABCD、EFGH、CIJK…，要求每个菱形的两条对角线长分别为4m和6m．
（1）若使这块草坪的总面积是39m2，则需要 个这样的菱形；
（2）若有n个这样的菱形（n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是 m2．
三、解答题
19．（8分）（1）计算：（）（﹣1）+（﹣2）2；
（2）解方程（x﹣1）（x﹣3）＝5．
20．（9分）关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根．
21．（9分）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 ；
（2）请证明你的结论．
22．（10分）某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：
运力（箱/辆）
租金（元/辆）
大货车
45
400
小货车
35
320
（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
23．（10分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
24．（14分）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．
在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？ （填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．
2020-2021学年山东省滨州市惠民县八年级（下）期末数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．
【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式；
B、＝，不是最简二次根式；
C、不能开方，是最简二次根式；
D、＝|a|，不是最简二次根式．
故选：C．
2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．1，2， C．1，，2 D．4，5，6
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵12+22＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵12+（）2＝22，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵52+42≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
3．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，再证明AB＝BC即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵两直尺的宽度相等，
∴DE＝DF．
又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
故选：B．
4．已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝3x上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
【分析】先根据正比例函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣3＜2即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝3x，k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵﹣3＜2，
∴y1＜y2．
故选：A．
5．用配方法解方程x2+6x+4＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝±
【分析】把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．
【解答】解：∵x2+6x+4＝0，
∴x2+6x＝﹣4，
∴x2+6x+9＝5，即（x+3）2＝5．
故选：C．
6．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm
【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，根据三角形的中位线求出BC，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，
∵AM＝BM，
∴BC＝2MO＝2×5cm＝10cm，
即AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，
即菱形ABCD的周长为40cm，
故选：D．
7．如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【分析】连接AC，根据正方形ABCD的面积为8，求得AC＝4，根据菱形的面积，即可得到结论．
【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为8，
∴AC＝4，
∵菱形AECF的面积为4，
∴EF＝＝2，
故选：C．
8．如图，直线y1＝﹣x+m与y2＝kx+n相交于点A，若点A的横坐标为2，则下列结论中错误的是（ ）
A．k＞0 B．m＞n
C．当x＜2时，y2＞y1 D．2k+n＝m﹣2
【分析】由函数图象可判断A；由直线与y轴的交点位置可判断B；由函数图象可知当x＞2时，对应的函数值的大小关系可判断C；把A点横坐标代入两函数解析式可判断D；可得出答案．
【解答】解：∵y2＝kx+n在第一、三、四象限，
∴k＞0，
故A正确；
由图象可知直线y1与y轴的交点在直线y2相与y轴交点的上方，
∴m＞n，
故B正确；
由函数图象可知当x＜2时，直线y1的图象在y2的上方，
∴y1＞y2，
故C不正确；
∵A点为两直线的交点，
∴2k+n＝m﹣2，
故D正确；
故选：C．
9．已知O为数轴原点，如图，
（1）在数轴上截取线段OA＝2；
（2）过点A作直线n垂直于OA；
（3）在直线n上截取线段AB＝3；
（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C．
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③3＜OC＜4；④AC＝1．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【分析】由勾股定理求得OB，进而得OC，AC，再判断结论的正误．
【解答】解：根据题意得，OA＝2，AB＝3，∠OAB＝90°，
∴OB＝，
故②正确；
∵OC＝OB，
∴OC＝，
∴③正确，①错误；
∴AC＝OC﹣OA＝﹣2≠1，
故④错误；
故选：C．
10．点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为（4，0），从而可以得到S关于x的函数关系式，从而可以解答本题．
【解答】解：∵点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为（4，0），
∴S＝＝2y＝2（6﹣x）＝﹣2x+12，0＜x＜6，
∴0＜S＜12，
故选：B．
11．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（ ）
A． B． C． D．8
【分析】先图形折叠的性质得到BF＝EF，AE＝AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE＝x，则AF＝2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解．
【解答】解：由折叠的性质得BF＝EF，AE＝AB，
因为CD＝6，E为CD中点，故ED＝3，
又因为AE＝AB＝CD＝6，
所以∠EAD＝30°，
则∠FAE＝（90°﹣30°）＝30°，
设FE＝x，则AF＝2x，
在△AEF中，根据勾股定理，（2x）2＝62+x2，
x2＝12，x1＝2，x2＝﹣2（舍去）．
AF＝2×2＝4．
故选：A．
12．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由四边形ABCD是正方形可以得出AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝45°，作PH⊥AB于H，可以得出四边形BEPH为正方形，可以得出AH＝CE，由条件可以得出四边形PECF是矩形，就有CE＝PF，利用三角形全等可以得出AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，由勾股定理可以得出PD＝PF，可以得出PD＝EC，点P在BD上要使△APD一定是等腰三角只有AP＝AD、PA＝PD或DA＝DP时才成立，故可以得出答案．
【解答】解：作PH⊥AB于H，
∴∠PHB＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEB＝∠PEC＝∠PFC＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝∠BDC＝45°，∠ABC＝∠C＝90°，
∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE＝BE，DF＝PF，
∴四边形BEPH为正方形，
∴BH＝BE＝PE＝HP，
∴AH＝CE，
∴△AHP≌△FPE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故①、②正确，
在Rt△PDF中，由勾股定理，得
PD＝PF，
∴PD＝CE．
故③正确．
∵点P在BD上，
∴当AP＝AD、PA＝PD或DA＝DP时△APD是等腰三角形．
∴△APD是等腰三角形只有三种情况．
故④错误，
∴正确的个数有3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x＞2或x≤1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，基本都是在得到答案．
【解答】解：由题意得，≥0，
则或，
解得，x＞2或x≤1，
故答案为：x＞2或x≤1．
14．（4分）某市对在当地召开的一个大型国际展览会开幕后连续八天的每日参观人数做了一项调查，并将相关数据绘制成了如下的统计图．请根据所给信息解决下列问题：
（1）这八天中，每日参观人数的众数是 24 ，中位数是 30 ，平均数是 30 ；
（2）请你估计这个为期60天的大型国际展览会共接待 1800 万人参观．
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的意义和计算方法进行计算即可；
（2）样本估计总体，根据样本的游览人数所占的百分比，即可估计总体中游览人数所占的百分比．
【解答】解：（1）这八天中，每日参观人数出现次数最多的是24，共出现2次，因此众数是24，
将这8天每日参观人数从小到大后，处在中间位置的两个数的平均数为＝30，因此这8天中每天参观人数的中位数是30，
这8天参观人数的平均数为：（38+24+24+27+29+31+33+34）÷8＝30，因此平均数为30，
故答案为：24，30，30；
（2）30×60＝1800（人），
故答案为：1800．
15．（4分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0），则关于x的方程kx+b＝0的解为x＝ ﹣4 ．
【分析】方程kx+b＝0的解其实就是当y＝0时一次函数y＝kx+b与x轴的交点横坐标．
【解答】解：由图知：直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣4，0），
即当x＝﹣4时，y＝kx+b＝0；
因此关于x的方程kx+b＝0的解为：x＝﹣4．
故答案为：﹣4
16．（4分）方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 4或 ．
【分析】先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可．
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，
即直角三角形的两边为3或5，
当5为直角边时，第三边为：＝；
当5为斜边时，第三边为：＝4；
故答案为：4或．
17．（4分）将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的 ．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质．
【解答】解：在图1中，∠GBF+∠DBF＝∠CBD+∠DBF＝90°，
∴∠GBF＝∠CBD，∠BGF＝∠CDB＝45°，BD＝BG，
∴△FBG≌△CBD，
∴阴影部分的面积等于△DGB的面积，且是小正方形的面积的，是大正方形的面积的；
设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，则有x2＝y2，
∴y＝x，
同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的，为y2＝x2，
∴阴影部分面积是正方形B面积的．
18．（4分）为庆祝建党90周年，美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，如菱形ABCD、EFGH、CIJK…，要求每个菱形的两条对角线长分别为4m和6m．
（1）若使这块草坪的总面积是39m2，则需要 4 个这样的菱形；
（2）若有n个这样的菱形（n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是 （9n+3） m2．
【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，可分别作出四个满足条件的菱形，另外菱形重合的部分也是菱形，并且这些小菱形的对角线分别为2，3，结合菱形的面积＝对角线×另一条对角线÷2，即可求出图形的面积和需要的菱形个数；
（2）由（1）可知若有n个这样的菱形（n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积
【解答】解：（1）∵每个菱形的两条对角线长分别为4m和6m．
∴小菱形的对角线分别为2，3，
∵菱形的面积＝对角线×另一条对角线÷2，
∴占地面积为4×6÷2×n﹣3×2÷2×n＝39m2．
∴则需要 4个这样的菱形，
故答案为4；
（2）当有一个这样的菱形，则草坪的面积为4×6÷2＝12＝9×1+3，
当有2个这样的菱形，则草坪的面积为4×6×2÷2﹣2×3÷2＝21＝9×2+3，
…依此类推
若有n个这样的菱形（n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是（9n+3），
故答案为：（9n+3）．
三、解答题
19．（8分）（1）计算：（）（﹣1）+（﹣2）2；
（2）解方程（x﹣1）（x﹣3）＝5．
【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、计算加减即可；
（2）先整理为一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+（3+4﹣4）
＝1+7﹣4
＝8﹣4；
（2）整理为一般式，得：x2﹣4x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，
则x＝＝＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
20．（9分）关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出△＝﹣8k+8＞0，解之即可得出k的取值范围；
（2）取k＝0，将k＝0代入原方程，再利用公式法求出方程的两根即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8＞0，
解得：k＜1．
（2）取k＝0，此时方程为x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
21．（9分）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 平行四边形 ；
（2）请证明你的结论．
【分析】（1）根据四边形的形状，及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH是平行四边形；
（2）连接AC、利用三角形的中位线定理可得出HG＝EF、EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状；
【解答】解：（1）平行四边形．
（2）证明：连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，
同理HG∥AC，HG＝AC，
综上可得：EF∥HG，EF＝HG，
故四边形EFGH是平行四边形．
22．（10分）某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：
运力（箱/辆）
租金（元/辆）
大货车
45
400
小货车
35
320
（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最低费用和此时的租车方案．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝400x+320（8﹣x）＝80x+2560，
即y与x的函数关系式为y＝80x+2560；
（2）由题意可得，
45x+35（8﹣x）≥340，
解得，x≥6，
∵y＝80x+2560，
∴k＝80，y随x的增大而增大，
∴当x＝6时，y取得最小值，此时y＝3040，8﹣x＝2，
答：最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元．
23．（10分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD＝DE，再根据E是AD的中点，可得AD＝2CD，依据AD＝BC，即可得到BC＝2CD．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC＝2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE＝45°，
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE，
∴AD＝2CD，
∵AD＝BC，
∴BC＝2CD．
24．（14分）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．
在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？ 是 （填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．
【分析】（1）在AB上截取BH＝BE，连接HE，由“ASA”可证△AHE≌△ECF，可得AE＝EF；
（2）在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE，由“ASA”可证△AHE≌△ECF，可得AE＝EF；
（3）在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），由等腰直角三角形的性质可得HE＝a，由全等三角形的性质等腰直角三角形的性质可求点F坐标，代入解析式可求a的值，即可求解．
【解答】解：（1）仍然成立，
如图2，在AB上截取BH＝BE，连接HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵BH＝BE，AB＝BC，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，AH＝CE，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．
∵AB＝BC，AN＝CE，
∴BN＝BE，
∴∠N＝∠FCE＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠NAE＝∠CEF，
在△ANE和△ECF中，
，
∴△ANE≌△ECF（ASA）
∴AE＝EF，
故答案是：是；
（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，
设点E（a，0），
∴BE＝a＝BH，
∴HE＝a，
由（1）可得△AHE≌△ECF，
∴CF＝HE＝a，
∵CF平分∠DCM，
∴∠DCF＝∠FCM＝45°，
∵FM⊥CM，
∴∠CFM＝∠FCM＝45°，
∴CM＝FM＝＝a，
∴BM＝1+a，
∴点F（1+a，a），
∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，
∴a＝﹣2（1+a）+3，
∴a＝，
∴点E（，0）．
2020-2021学年山东省滨州市惠民县八年级（下）期末数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．1，2， C．1，，2 D．4，5，6
3．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
4．已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝3x上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
5．用配方法解方程x2+6x+4＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝±
6．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm
7．如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
8．如图，直线y1＝﹣x+m与y2＝kx+n相交于点A，若点A的横坐标为2，则下列结论中错误的是（ ）
A．k＞0 B．m＞n
C．当x＜2时，y2＞y1 D．2k+n＝m﹣2
9．已知O为数轴原点，如图，
（1）在数轴上截取线段OA＝2；
（2）过点A作直线n垂直于OA；
（3）在直线n上截取线段AB＝3；
（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C．
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③3＜OC＜4；④AC＝1．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
10．点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（ ）
A． B． C． D．8
12．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
14．（4分）某市对在当地召开的一个大型国际展览会开幕后连续八天的每日参观人数做了一项调查，并将相关数据绘制成了如下的统计图．请根据所给信息解决下列问题：
（1）这八天中，每日参观人数的众数是 ，中位数是 ，平均数是 ；
（2）请你估计这个为期60天的大型国际展览会共接待 万人参观．
15．（4分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0），则关于x的方程kx+b＝0的解为x＝ ．
16．（4分）方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 ．
17．（4分）将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的 ．
18．（4分）为庆祝建党90周年，美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，如菱形ABCD、EFGH、CIJK…，要求每个菱形的两条对角线长分别为4m和6m．
（1）若使这块草坪的总面积是39m2，则需要 个这样的菱形；
（2）若有n个这样的菱形（n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是 m2．
三、解答题
19．（8分）（1）计算：（）（﹣1）+（﹣2）2；
（2）解方程（x﹣1）（x﹣3）＝5．
20．（9分）关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根．
21．（9分）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 ；
（2）请证明你的结论．
22．（10分）某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：
运力（箱/辆）
租金（元/辆）
大货车
45
400
小货车
35
320
（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
23．（10分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
24．（14分）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．
在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？ （填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．
2020-2021学年山东省滨州市惠民县八年级（下）期末数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．
【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式；
B、＝，不是最简二次根式；
C、不能开方，是最简二次根式；
D、＝|a|，不是最简二次根式．
故选：C．
2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．1，2， C．1，，2 D．4，5，6
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵12+22＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵12+（）2＝22，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵52+42≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
3．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，再证明AB＝BC即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵两直尺的宽度相等，
∴DE＝DF．
又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
故选：B．
4．已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝3x上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
【分析】先根据正比例函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣3＜2即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝3x，k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵﹣3＜2，
∴y1＜y2．
故选：A．
5．用配方法解方程x2+6x+4＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝±
【分析】把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．
【解答】解：∵x2+6x+4＝0，
∴x2+6x＝﹣4，
∴x2+6x+9＝5，即（x+3）2＝5．
故选：C．
6．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm
【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，根据三角形的中位线求出BC，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，
∵AM＝BM，
∴BC＝2MO＝2×5cm＝10cm，
即AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，
即菱形ABCD的周长为40cm，
故选：D．
7．如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【分析】连接AC，根据正方形ABCD的面积为8，求得AC＝4，根据菱形的面积，即可得到结论．
【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为8，
∴AC＝4，
∵菱形AECF的面积为4，
∴EF＝＝2，
故选：C．
8．如图，直线y1＝﹣x+m与y2＝kx+n相交于点A，若点A的横坐标为2，则下列结论中错误的是（ ）
A．k＞0 B．m＞n
C．当x＜2时，y2＞y1 D．2k+n＝m﹣2
【分析】由函数图象可判断A；由直线与y轴的交点位置可判断B；由函数图象可知当x＞2时，对应的函数值的大小关系可判断C；把A点横坐标代入两函数解析式可判断D；可得出答案．
【解答】解：∵y2＝kx+n在第一、三、四象限，
∴k＞0，
故A正确；
由图象可知直线y1与y轴的交点在直线y2相与y轴交点的上方，
∴m＞n，
故B正确；
由函数图象可知当x＜2时，直线y1的图象在y2的上方，
∴y1＞y2，
故C不正确；
∵A点为两直线的交点，
∴2k+n＝m﹣2，
故D正确；
故选：C．
9．已知O为数轴原点，如图，
（1）在数轴上截取线段OA＝2；
（2）过点A作直线n垂直于OA；
（3）在直线n上截取线段AB＝3；
（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C．
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③3＜OC＜4；④AC＝1．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【分析】由勾股定理求得OB，进而得OC，AC，再判断结论的正误．
【解答】解：根据题意得，OA＝2，AB＝3，∠OAB＝90°，
∴OB＝，
故②正确；
∵OC＝OB，
∴OC＝，
∴③正确，①错误；
∴AC＝OC﹣OA＝﹣2≠1，
故④错误；
故选：C．
10．点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为（4，0），从而可以得到S关于x的函数关系式，从而可以解答本题．
【解答】解：∵点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝6，点A的坐标为（4，0），
∴S＝＝2y＝2（6﹣x）＝﹣2x+12，0＜x＜6，
∴0＜S＜12，
故选：B．
11．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（ ）
A． B． C． D．8
【分析】先图形折叠的性质得到BF＝EF，AE＝AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE＝x，则AF＝2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解．
【解答】解：由折叠的性质得BF＝EF，AE＝AB，
因为CD＝6，E为CD中点，故ED＝3，
又因为AE＝AB＝CD＝6，
所以∠EAD＝30°，
则∠FAE＝（90°﹣30°）＝30°，
设FE＝x，则AF＝2x，
在△AEF中，根据勾股定理，（2x）2＝62+x2，
x2＝12，x1＝2，x2＝﹣2（舍去）．
AF＝2×2＝4．
故选：A．
12．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由四边形ABCD是正方形可以得出AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝45°，作PH⊥AB于H，可以得出四边形BEPH为正方形，可以得出AH＝CE，由条件可以得出四边形PECF是矩形，就有CE＝PF，利用三角形全等可以得出AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，由勾股定理可以得出PD＝PF，可以得出PD＝EC，点P在BD上要使△APD一定是等腰三角只有AP＝AD、PA＝PD或DA＝DP时才成立，故可以得出答案．
【解答】解：作PH⊥AB于H，
∴∠PHB＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEB＝∠PEC＝∠PFC＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝∠BDC＝45°，∠ABC＝∠C＝90°，
∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE＝BE，DF＝PF，
∴四边形BEPH为正方形，
∴BH＝BE＝PE＝HP，
∴AH＝CE，
∴△AHP≌△FPE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故①、②正确，
在Rt△PDF中，由勾股定理，得
PD＝PF，
∴PD＝CE．
故③正确．
∵点P在BD上，
∴当AP＝AD、PA＝PD或DA＝DP时△APD是等腰三角形．
∴△APD是等腰三角形只有三种情况．
故④错误，
∴正确的个数有3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x＞2或x≤1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，基本都是在得到答案．
【解答】解：由题意得，≥0，
则或，
解得，x＞2或x≤1，
故答案为：x＞2或x≤1．
14．（4分）某市对在当地召开的一个大型国际展览会开幕后连续八天的每日参观人数做了一项调查，并将相关数据绘制成了如下的统计图．请根据所给信息解决下列问题：
（1）这八天中，每日参观人数的众数是 24 ，中位数是 30 ，平均数是 30 ；
（2）请你估计这个为期60天的大型国际展览会共接待 1800 万人参观．
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的意义和计算方法进行计算即可；
（2）样本估计总体，根据样本的游览人数所占的百分比，即可估计总体中游览人数所占的百分比．
【解答】解：（1）这八天中，每日参观人数出现次数最多的是24，共出现2次，因此众数是24，
将这8天每日参观人数从小到大后，处在中间位置的两个数的平均数为＝30，因此这8天中每天参观人数的中位数是30，
这8天参观人数的平均数为：（38+24+24+27+29+31+33+34）÷8＝30，因此平均数为30，
故答案为：24，30，30；
（2）30×60＝1800（人），
故答案为：1800．
15．（4分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0），则关于x的方程kx+b＝0的解为x＝ ﹣4 ．
【分析】方程kx+b＝0的解其实就是当y＝0时一次函数y＝kx+b与x轴的交点横坐标．
【解答】解：由图知：直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣4，0），
即当x＝﹣4时，y＝kx+b＝0；
因此关于x的方程kx+b＝0的解为：x＝﹣4．
故答案为：﹣4
16．（4分）方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 4或 ．
【分析】先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可．
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，
即直角三角形的两边为3或5，
当5为直角边时，第三边为：＝；
当5为斜边时，第三边为：＝4；
故答案为：4或．
17．（4分）将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的 ．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质．
【解答】解：在图1中，∠GBF+∠DBF＝∠CBD+∠DBF＝90°，
∴∠GBF＝∠CBD，∠BGF＝∠CDB＝45°，BD＝BG，
∴△FBG≌△CBD，
∴阴影部分的面积等于△DGB的面积，且是小正方形的面积的，是大正方形的面积的；
设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，则有x2＝y2，
∴y＝x，
同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的，为y2＝x2，
∴阴影部分面积是正方形B面积的．
18．（4分）为庆祝建党90周年，美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，如菱形ABCD、EFGH、CIJK…，要求每个菱形的两条对角线长分别为4m和6m．
（1）若使这块草坪的总面积是39m2，则需要 4 个这样的菱形；
（2）若有n个这样的菱形（n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是 （9n+3） m2．
【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，可分别作出四个满足条件的菱形，另外菱形重合的部分也是菱形，并且这些小菱形的对角线分别为2，3，结合菱形的面积＝对角线×另一条对角线÷2，即可求出图形的面积和需要的菱形个数；
（2）由（1）可知若有n个这样的菱形（n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积
【解答】解：（1）∵每个菱形的两条对角线长分别为4m和6m．
∴小菱形的对角线分别为2，3，
∵菱形的面积＝对角线×另一条对角线÷2，
∴占地面积为4×6÷2×n﹣3×2÷2×n＝39m2．
∴则需要 4个这样的菱形，
故答案为4；
（2）当有一个这样的菱形，则草坪的面积为4×6÷2＝12＝9×1+3，
当有2个这样的菱形，则草坪的面积为4×6×2÷2﹣2×3÷2＝21＝9×2+3，
…依此类推
若有n个这样的菱形（n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是（9n+3），
故答案为：（9n+3）．
三、解答题
19．（8分）（1）计算：（）（﹣1）+（﹣2）2；
（2）解方程（x﹣1）（x﹣3）＝5．
【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、计算加减即可；
（2）先整理为一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+（3+4﹣4）
＝1+7﹣4
＝8﹣4；
（2）整理为一般式，得：x2﹣4x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，
则x＝＝＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
20．（9分）关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出△＝﹣8k+8＞0，解之即可得出k的取值范围；
（2）取k＝0，将k＝0代入原方程，再利用公式法求出方程的两根即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8＞0，
解得：k＜1．
（2）取k＝0，此时方程为x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
21．（9分）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 平行四边形 ；
（2）请证明你的结论．
【分析】（1）根据四边形的形状，及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH是平行四边形；
（2）连接AC、利用三角形的中位线定理可得出HG＝EF、EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状；
【解答】解：（1）平行四边形．
（2）证明：连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，
同理HG∥AC，HG＝AC，
综上可得：EF∥HG，EF＝HG，
故四边形EFGH是平行四边形．
22．（10分）某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：
运力（箱/辆）
租金（元/辆）
大货车
45
400
小货车
35
320
（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最低费用和此时的租车方案．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝400x+320（8﹣x）＝80x+2560，
即y与x的函数关系式为y＝80x+2560；
（2）由题意可得，
45x+35（8﹣x）≥340，
解得，x≥6，
∵y＝80x+2560，
∴k＝80，y随x的增大而增大，
∴当x＝6时，y取得最小值，此时y＝3040，8﹣x＝2，
答：最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元．
23．（10分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD＝DE，再根据E是AD的中点，可得AD＝2CD，依据AD＝BC，即可得到BC＝2CD．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC＝2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE＝45°，
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE，
∴AD＝2CD，
∵AD＝BC，
∴BC＝2CD．
24．（14分）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．
在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？ 是 （填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．
【分析】（1）在AB上截取BH＝BE，连接HE，由“ASA”可证△AHE≌△ECF，可得AE＝EF；
（2）在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE，由“ASA”可证△AHE≌△ECF，可得AE＝EF；
（3）在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），由等腰直角三角形的性质可得HE＝a，由全等三角形的性质等腰直角三角形的性质可求点F坐标，代入解析式可求a的值，即可求解．
【解答】解：（1）仍然成立，
如图2，在AB上截取BH＝BE，连接HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵BH＝BE，AB＝BC，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，AH＝CE，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．
∵AB＝BC，AN＝CE，
∴BN＝BE，
∴∠N＝∠FCE＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠NAE＝∠CEF，
在△ANE和△ECF中，
，
∴△ANE≌△ECF（ASA）
∴AE＝EF，
故答案是：是；
（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，
设点E（a，0），
∴BE＝a＝BH，
∴HE＝a，
由（1）可得△AHE≌△ECF，
∴CF＝HE＝a，
∵CF平分∠DCM，
∴∠DCF＝∠FCM＝45°，
∵FM⊥CM，
∴∠CFM＝∠FCM＝45°，
∴CM＝FM＝＝a，
∴BM＝1+a，
∴点F（1+a，a），
∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，
∴a＝﹣2（1+a）+3，
∴a＝，
∴点E（，0）．
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