初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时复习练习题

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1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是 ，对称轴是 ，
（1）当a 时，开口向上，此时二次函数有最 值，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小；
（2）当a 时，开口向下，此时二次函数有最 值，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小．
2．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即y＝ .因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 ，顶点坐标是 .
3．从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看出：
如果a>0，当x<－eq \f(b,2a)，y随x的增大而 ，当x>－eq \f(b,2a)，y随x的增大而 ；如果a<0，当x<－eq \f(b,2a)，y随x的增而 ，当x>－eq \f(b,2a)，y随x的增大而 .
4．已知二次函数y＝－x2＋4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式为 ，对称轴是直线 ，顶点是 .
互动训练
知识点一：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k的形式．
1．用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25
C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
2．将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2
3. 将下列二次函数写成y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴．
(1) y＝eq \f(1,4)x2－3x＋21； (2) y＝－3x2－18x－22.
知识点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点坐标．
4．抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为 ( )
A．(1, 1) B．(－1, 1) C．(1, 3) D．(－1, 3)
5．关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( )
A．图象与y轴的交点坐标为(0,1) B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为－3
6．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A．m＝－1 B．m＝3 C．m≤－1 D．m≥－1
7．若点M(－2，y1)，N(－1，y2)，P(8，y3)都在抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋2x上，则下列结论正确的是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
8．已知函数y＝－x2＋bx＋c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是( )
9．已知二次函数y＝－eq \f(1,2)x2－2x＋6.
(1)求函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？y随x的增大而减小？
10. 用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？
(1)S与l有何函数关系？ (2)怎样求S的最大值呢？
课时达标
1．抛物线y＝－3x2＋6x＋5的对称轴是( )
A．直线x＝2 B．直线x＝－2 C．直线x＝1 D．直线x＝－1
2．将抛物线y＝eq \f(1,2)x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为( )
A．y＝eq \f(1,2)(x－8)2＋5 B．y＝eq \f(1,2)(x－4)2＋5
C．y＝eq \f(1,2)(x－8)2＋3 D．y＝eq \f(1,2)(x－4)2＋3
3．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
则该函数图象的对称轴是( )
A．直线x＝－3 B．直线x＝－2
C．直线x＝－1 D．直线x＝0
4．二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________．
5．已知点A(4，y1)，B(eq \r(2)，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2 ，y3的大小关系是____________(用“<”连接)．
6．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并判断函数有最大值还是最小值．
(1)y＝x2－4x＋5； (2)y＝－eq \f(1,4)x2－eq \f(3,2)x＋4；
(3)y＝－3x2－2x＋1； (4)y＝－eq \f(1,2)x2＋2x＋1.
7．已知二次函数y＝x2－4x＋3.
(1)用配方法求函数的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；
(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
拓展探究
1．当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )
A．－1 B．2 C．0或2 D．－1或2
2. 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第1课时）答案
自主预习
1. (h，k)，x＝h，（1） >0， 小， ＞h， 2. aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))2＋eq \f(4ac－b2,4a)，x＝－eq \f(b,2a)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
3. 减小，增大；增大，减小.
4. y＝－(x－2)2＋9， x=2，（2， 9）.
互动训练
1. B.
2. D.
3. 解：(1)y＝eq \f(1,4)x2－3x＋21＝eq \f(1,4)(x2－12x)＋21＝eq \f(1,4)(x2－12x＋36－36)＋21＝eq \f(1,4)(x－6)2＋12
∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x＝6.
(2)y＝－3x2－18x－22＝－3(x2＋6x)－22＝－3(x2＋6x＋9－9)－22＝－3(x＋3)2＋5
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x＝－3.
4. A.
5. D.
6. D.
7. C.
8. D.
9. 解：(1)∵y＝－eq \f(1,2)x2－2x＋6＝－eq \f(1,2)(x2＋4x)＋6＝－eq \f(1,2)[(x＋2)2－4]＋6＝－eq \f(1,2)(x＋2)2＋8，
∴顶点坐标为(－2,8)，对称轴为直线x＝－2.
(2)令y＝0得到－eq \f(1,2)x2－2x＋6＝0，解得x＝－6或2，
∴观察图象可知，－6＜x＜2时，y＞0，
当x＞－2时，y随x的增大而减小．
10. 解：S＝l(30－l)＝－l2＋30l(0＜l＜30)＝－(l2－30l)＝－(l－15)2＋225
画出此函数的图象，
如图．∴l＝15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)．
课时达标
1．C 2.D 3.B
4．7
5.y26．解：(1)∵y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1.
∴开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2,1)，y有最小值．
(2)∵y＝－eq \f(1,4)x2－eq \f(3,2)x＋4＝－eq \f(1,4)(x＋3)2＋eq \f(25,4)，
∴开口向下，对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(25,4)))，y有最大值．
(3)∵y＝－3x2－2x＋1＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))2＋eq \f(4,3)，
∴开口向下，对称轴为直线x＝－eq \f(1,3)，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(4,3)))，y有最大值．
(4)∵y＝－eq \f(1,2)x2＋2x＋1＝－eq \f(1,2)(x－2)2＋3，
∴开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2,3)，y有最大值．
7. 解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴函数的顶点C的坐标为(2，－1)，
∴当x<2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大．
(2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴当点A在点B左侧时，A(1,0)，B(3,0)；
当点A在点B右侧时，A(3,0)，B(1,0)．∴AB＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－3))＝2，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·|yC|＝eq \f(1,2)×2×1＝1.
拓展探究
1. D. 解析：y＝x2－2x＋1＝ (x－1)2，该函数在实数范围内的最小值为0，但当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，因此，当x＝a或x＝a＋1时，函数值为1.令y＝1，
可得x1＝0，x2＝2，再由该函数的增减性可知a＋1＝0或a＝2，即a＝－1或2.故选D.
2.解：设该直角三角形的一条直角边为x，面积是S，则另一直角边为8－x.
根据题意，得S＝eq \f(1,2)x(8－x)(0＜x＜8)，配方，得S＝－eq \f(1,2)(x－4)2＋8.
∴当x＝4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，最大面积是8.
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…