2020-2021学年24.1.4 圆周角第1课时练习

24.1.4   圆周角（第1课时）

自主预习

1．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角     ，都等于                       ．

2．半圆（或直径）所对的圆周角是          ，90°的圆周角所对的弦是           ．

3．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上的点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠ABC＝40°，则∠BAC＝        ,  ∠BAD＝        ,  ∠ABD＝            .

4．如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于（    ）

A．100°         B．80°       C．50°                D．40°

3题图         4题图            5题图              6题图

5．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(     )

A．∠B        B．∠C           C．∠D          D．∠DEB

6．如图在⊙O中，AB为直径，C，E在圆周上，若∠COB＝100°，则∠AEC的度数为（　）

A．30° B．20° C．40° D．50°

互动训练

知识点一：圆周角及其性质

1．下列图形中的角是圆周角的是(    )

2．如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（　　）

A．              B．               C．              D． 

3．如图，⊙O中，＝，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．70°

3题图             4题图

4．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOC＝60°，则∠B的度数是(    )

A．20°    B．30°        C．50°      D．60°

5．如图，D是弧AC的中点，与∠ABD相等的角的个数是（    ）．

A．4        B．3           C．2          D．1

            5题图                        6题图

6．已知如图，⊙O的两条弦AE，BC相交于点D，连结AC，BE，AO，BO，若∠ACB=60°，则下列结论中正确的是（    ）

A．∠AOB=60°     B．∠ADB=60°    C．∠AEB=60°    D．∠AEB=30°

7．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝25°，求∠BAD的度数．

7题图

知识点二：圆周角性质的简单应用

8．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD=______度．

      8题图               9题图             10题图

9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B=50°，则∠A等于（    ）

A．80°       B．60°         C．50°         D．40°

10．如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE，求证：∠D=∠B．

11．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.

11题图 

12．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，若＝，∠E＝70°，求∠ABC的度数．

12题图 

13．已知：如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，，BF与AD交于E，求证：AE=BE．

13题图

课时达标

1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是(  )

A．35°       B．45°       C．55°      D．65°

1题图            2题图           3题图        

2．如图，在⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为(     )

A．65°      B．75°        C．50°       D．55°

3. 如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°, 则∠DCF等于（   ）

A. 80°        B. 50°         C. 40°        D. 20°  

4. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（   ）

A. 40°        B. 30°         C. 45°         D. 50°      

4题图               5题图             6题图

5. 如图，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（   ）

A. 45°         B. 60°         C. 75°        D. 90°

6. 如图，△ABC三个顶点在⊙O上, AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=______.

7. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，∠AOC=100°，则∠D=_______.

7题图                   8题图              9题图

8.如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=       .

9.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=__________.

10．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．

求证：∠ACO＝∠BCD．

10题图

11．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.

(1)求BC的长；

(2)求BD的长．

11题图 

12.如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB，P为BA延长线上一点，PC交⊙O于点Q，若∠P=30°，求∠B的度数.

12题图

13. 如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E, ∠BAC=45°．

（1）求∠EBC的度数；

（2）求证：BD=CD．

13题图

拓展探究

1.（2020•黑龙江牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）

A．125° B．130° C．135° D．140°

1题图                 2题图

2．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．

（1）求证：DE平分∠CDF；

（2）求证：∠ACD＝∠AEB．

3．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.

(1)求证：∠E＝∠C；

(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．

3题图

24.1.4   圆周角（第1课时）答案

自主预习

1．相等  该弧所对的圆心角的一半 ，

2．直角  直径

3.  50°，25°，65°.

4. D.   5. C.

6. C. 解析：∵OC＝OB，∠COB＝100°，

∴∠B＝∠BCO＝（180°﹣100°）＝40°，

∴∠AEC＝∠B＝40°，故选：C．

互动训练

1. B. 解析：根据圆周角的定义，图B符合条件，故选B.

2. C. 解析：∵∠FEG＝50°，若P点圆心，

∴∠FPG＝2∠FEG＝100°．故选：C．

3. C. 解析：∵＝，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，

∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，

∴∠BOC＝2∠A＝80°．故选：C．

4. B. 解析：∵∠AOC＝60°∠AOC＝2∠B，∴∠B＝30°. 故选：B．

5. B.

6. C.

7. 解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.

∵∠C＝25°，∴∠B＝∠C＝25°.

∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.

8．45.  

9.  D.

10．∵AB、CD是⊙O直径，∴∠AOD=∠COB，

∴．又，

∴DF=DE，∴．

∴．∴．

∴．∴∠D=∠B．

11. 证明：∵AB＝BC，∴＝.

∴∠ADB＝∠BDC. ∴DB平分∠ADC.

12.解：连接DB．

∵∠E＝70°，∴∠A＝70°，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，

∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，

∵＝，

∴∠DBC＝∠DBA＝20°，

∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°．

12题图

13．证明：连结AC．

∵ ，∴∠ABE=∠C．

∵BC是⊙O的直径，∴∠BAD+∠DAC=90°，

∵AD⊥BC，∴∠C+∠DAC=90°，

∴∠C=∠BAD，

∴∠ABE=∠BAD．∴AE=BE．

13题图

课时达标

1. C. 解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠B=90°-∠A＝90°-35°=55°，选C.

2. A. 解析：∵＝，∴AB=AC，∵∠BAC＝50°，∠B=∠AEC＝ (180°-50°) ÷ 2=65°.

3. D. 解析：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∴CD⊥EF, ,

∵∠EOD=40°, ∴∠DCF=20°.  选D.

4. A. 解析：∵OA=OB, ∠ABO=50°，∴∠OAB=∠ABO=50°，∴∠AOB= 80°，

∴∠ACB=40°, 故选：A. 

5. A. 解析：∵正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，∴正方形的每条边所对的弧是90°，

∴∠BPC的度数是45°. 故选：A.

6. 60°. 解析：∵∠ABC=30°，∴∠ADC =∠ABC=30°，∵AD是⊙O的直径，∴∠CAD=60°.

7. 40°. 解析：∵∠AOC=100°，∴∠BOC =80°，则∠D=40°.

8. 90°. 解析：∵AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C=90°.

9. 90°. 解析：∵AB是⊙O的直径，则∠1＋∠2=90°.

10. 证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴，∴∠A＝∠BCD，

又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A．

∴∠ACO＝∠BCD．

11. 解：(1)∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°.

∴在Rt△ABC中，

BC＝＝＝5.

(2)∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°.

∴∠BAD＝∠ABD＝45°. ∴AD＝BD.

设BD＝AD＝x，

在Rt△ABD中，由勾股定理，得

AD2＋BD2＝AB2.  ∴x2＋x2＝102.

解得x＝5.   ∴BD＝5.

12.解：连结OQ, ∵OC⊥AB，∠P=30°，∴∠C=60°,

在△OCQ中，OC=OQ, ∠C=60°, ∴∠COQ=60°,

∴∠POQ=30°, ∴∠B=15°. 

12题图

13. （1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°．

又∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°．

又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=67.5°．

∴∠EBC=22.5°．

（2）证明：连结AD．∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．

又∵AB=AC，∴BD=CD．

13题图

拓展探究

1. B. 解析：连接OA，OB，OC，

∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，

∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，

∴∠ABC＝∠AOC＝50°，

∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．

1题图

2．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CDE＝∠ABC，

由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，

∴∠ACB＝∠FDE，

∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，

∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；

（2）∵∠ACB＝∠ABC，

∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，

又∠CAE＝∠DBC，

∴∠E＝∠ABD，

∴∠ACD＝∠AEB．

3. (1)证明：连接AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.

∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.

又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.

(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，

∴∠AFD＝180°－∠E.

又∵∠CFD＝180°－∠AFD，

∴∠CFD＝∠E＝55°.

∵∠E＝∠C＝55°，

∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.

3题图