初中24.1.2 垂直于弦的直径学案设计

24.1 圆的有关性质

24.1.2 垂直于弦的直径

教学目标：掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论．

教学重难点：垂径定理的综合应用

知识点一：圆的轴对称性

圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．

例题．下列命题中，正确的是（　　）

A．圆只有一条对称轴

B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条

C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴

D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴

变式1．下列语句中，不正确的是（　　）

A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形

B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合

D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

变式2．下列结论正确的是（　　）

A．经过圆心的直线是圆的对称轴

B．直径是圆的对称轴

C．与圆相交的直线是圆的对称轴

D．与直径相交的直线是圆的对称轴

知识点二：垂径定理

（1）垂径定理
     垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
     推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
     推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
     推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

例题．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

变式1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（　　）

A． B．2 C．6 D．8

变式2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．8

变式3．（2017•丰润区一模）如图．⊙O的直径AB垂直弦CD于E点，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）

A．4 B．8 C．2 D．4

变式4．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，CD=2，BD=，则AB的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

变式5．如图，已知⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为3，则过点A的所有弦中，最短弦的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

变式6．A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，则过点A且长小于10的整数弦的条数是（　　）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

变式7．如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是　　cm．

拓展点一：垂径定理及其推论的简单应用

例题．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于E，则下列结论错误的是（　　）

A．∠AOC=∠AOD B．BE=OE C．CE=DE D．AC=AD

变式1．已知：如图，弦AB的垂直平分线交⊙O于点C、D，则下列说法中不正确的是（　　）

A．弦CD一定是⊙O的直径 B．点O到AC、BC的距离相等

C．∠A与∠ABD互余 D．∠A与∠CBD互补

变式2．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，CD=6，AB∥CD且在圆心的同侧，则两条平行弦之间的距离为（　　）

A．2 B．3或4 C．1 D．1或7

变式3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　　）

A．OE=BE B．=

C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形

变式2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠BCD=30°，下列结论：①AE=BE；②OE=DE；③AB=BC；④BE=DE．其中正确的是（　　）

A．① B．①②③ C．①③ D．①②③④

变式5．如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC=2，BC=6，⊙O的半径为5，则OC=（　　）

A． B．4 C．3 D．

变式6．如图，过⊙O内一点M的最长弦长为12cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（　　）

A．6cm B．cm C．cm D．9cm

拓展点二：垂径定理在实际生活中的应用

例题．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）

A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm

变式1．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（　　）

A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米

变式2．如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离CD为6m，桥拱半径OC为4m，则水面宽AB为（　　）

A．m B．2m C．4m D．6m

变式3．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面上升1m，油面宽度为8m，圆柱形油槽的直径为（　　）

A．6m B．8m C．10m D．12m

变式4．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为　26　．

易错点：解决平行弦问题时，因考虑问题不全面而造成漏解

例题．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（　　）

A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm

变式．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，CD=6，AB∥CD且在圆心的同侧，则两条平行弦之间的距离为（　　）

A．2 B．3或4 C．1 D．1或7